函數與方程中的三個等價關系孫春生

肖愛國

函數的思想，就是用運動變化的觀點，分析和研究具體問題中的數量關系，建立函數關系，運用函數的知識，使問題得到解決；方程與函數是兩個不同概念，但他們之間有著密切的聯系.方程f（x）=0的解就是函數y=f（x）的圖像與x軸的交點的橫坐標，即函數f（x）的零點.若設函數F（x）=f（x）-g（x），則根據函數與方程的關系，可得到三個等價式：

函數F（x）=f（x）-g（x）的零點方程f（x）-g（x）=0的根函數y=f（x）的圖像與函數y=g（x）的圖像交點的橫坐標.

合理運用這三個等價關系，能解決函數問題中零點個數問題，方程的根滿足的條件及函數圖像交點坐標位置等問題.

1方程的根與函數的零點的轉化

1.1方程的根轉化為函數的零點

當方程f（x）-g（x）=0的根無法求出（也不需要求出具體的根）時，而要求方程f（x）-g（x）=0的根的個數，可轉化為求函數F（x）=f（x）-g（x）的零點個數，利用零點存在定理，可得出方程根的情況.

例1（2014屆山東濟寧高三聯考）設f（x）=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，f（0）>0，f（1）>0.

（1）求ba的取值范圍；

（2）判斷方程f（x）=0在（0，1）內實根的個數.

分析第二問判定方程根的個數，由于方程的根無法求出，利用解方程的方法無法求出在區間內根的個數，因此需要利用等價轉化思想，將方程的根轉化為函數的零點問題.

1.2函數的零點轉化為方程的根

當函數的零點無法利用零點存在定理判斷時，可利用等價轉化關系轉化為相應方程根的分布情況.

2方程的根與兩個函數圖像交點的轉化

2.1方程的根轉化為兩個函數圖像交點問題

當方程f（x）-g（x）=0是現有知識無法求解時，要判斷方程的根的個數或方程根滿足的條件時，常需將方程拆分成兩個函數y=f（x）與y=g（x），通過兩個函數的大致圖像，來找到根的個數或方程根滿足的條件.

2.2兩個函數圖像交點問題轉化為方程的根

當函數f（x）與g（x）的圖像無法畫出，或通過兩函數的圖像的交點無法判斷參數的取值范圍時，則需要將函數y=f（x）的圖像與函數y=g（x）的圖像交點情況，轉化為方程f（x）-g（x）=0根的情況來解.

3函數的零點與兩個函數圖像的交點的轉化

3.1函數的零點轉化為兩個函數圖像的交點

函數的零點存在定理只能判斷函數在某個區間上零點是否存在，但無法判斷函數零點的個數，更無法通過零點個數來解決參數的取值范圍等問題.因此，與函數零點個數的相關問題，常轉化為兩個函數圖像的交點問題.

問題.

評注利用兩個函數的圖像來分析交點的情況，只能從大致的圖像中得出一些粗略的結論，但要更細化的結果，還是需要將問題轉化為函數零點，利用零點存在定理，有時還需結合二分法來解決.

函數的思想，就是用運動變化的觀點，分析和研究具體問題中的數量關系，建立函數關系，運用函數的知識，使問題得到解決；方程與函數是兩個不同概念，但他們之間有著密切的聯系.方程f（x）=0的解就是函數y=f（x）的圖像與x軸的交點的橫坐標，即函數f（x）的零點.若設函數F（x）=f（x）-g（x），則根據函數與方程的關系，可得到三個等價式：

函數F（x）=f（x）-g（x）的零點方程f（x）-g（x）=0的根函數y=f（x）的圖像與函數y=g（x）的圖像交點的橫坐標.

合理運用這三個等價關系，能解決函數問題中零點個數問題，方程的根滿足的條件及函數圖像交點坐標位置等問題.

1方程的根與函數的零點的轉化

1.1方程的根轉化為函數的零點

當方程f（x）-g（x）=0的根無法求出（也不需要求出具體的根）時，而要求方程f（x）-g（x）=0的根的個數，可轉化為求函數F（x）=f（x）-g（x）的零點個數，利用零點存在定理，可得出方程根的情況.

例1（2014屆山東濟寧高三聯考）設f（x）=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，f（0）>0，f（1）>0.

（1）求ba的取值范圍；

（2）判斷方程f（x）=0在（0，1）內實根的個數.

分析第二問判定方程根的個數，由于方程的根無法求出，利用解方程的方法無法求出在區間內根的個數，因此需要利用等價轉化思想，將方程的根轉化為函數的零點問題.

1.2函數的零點轉化為方程的根

當函數的零點無法利用零點存在定理判斷時，可利用等價轉化關系轉化為相應方程根的分布情況.

2方程的根與兩個函數圖像交點的轉化

2.1方程的根轉化為兩個函數圖像交點問題

當方程f（x）-g（x）=0是現有知識無法求解時，要判斷方程的根的個數或方程根滿足的條件時，常需將方程拆分成兩個函數y=f（x）與y=g（x），通過兩個函數的大致圖像，來找到根的個數或方程根滿足的條件.

2.2兩個函數圖像交點問題轉化為方程的根

當函數f（x）與g（x）的圖像無法畫出，或通過兩函數的圖像的交點無法判斷參數的取值范圍時，則需要將函數y=f（x）的圖像與函數y=g（x）的圖像交點情況，轉化為方程f（x）-g（x）=0根的情況來解.

3函數的零點與兩個函數圖像的交點的轉化

3.1函數的零點轉化為兩個函數圖像的交點

函數的零點存在定理只能判斷函數在某個區間上零點是否存在，但無法判斷函數零點的個數，更無法通過零點個數來解決參數的取值范圍等問題.因此，與函數零點個數的相關問題，常轉化為兩個函數圖像的交點問題.

問題.

評注利用兩個函數的圖像來分析交點的情況，只能從大致的圖像中得出一些粗略的結論，但要更細化的結果，還是需要將問題轉化為函數零點，利用零點存在定理，有時還需結合二分法來解決.

函數的思想，就是用運動變化的觀點，分析和研究具體問題中的數量關系，建立函數關系，運用函數的知識，使問題得到解決；方程與函數是兩個不同概念，但他們之間有著密切的聯系.方程f（x）=0的解就是函數y=f（x）的圖像與x軸的交點的橫坐標，即函數f（x）的零點.若設函數F（x）=f（x）-g（x），則根據函數與方程的關系，可得到三個等價式：

函數F（x）=f（x）-g（x）的零點方程f（x）-g（x）=0的根函數y=f（x）的圖像與函數y=g（x）的圖像交點的橫坐標.

合理運用這三個等價關系，能解決函數問題中零點個數問題，方程的根滿足的條件及函數圖像交點坐標位置等問題.

1方程的根與函數的零點的轉化

1.1方程的根轉化為函數的零點

當方程f（x）-g（x）=0的根無法求出（也不需要求出具體的根）時，而要求方程f（x）-g（x）=0的根的個數，可轉化為求函數F（x）=f（x）-g（x）的零點個數，利用零點存在定理，可得出方程根的情況.

例1（2014屆山東濟寧高三聯考）設f（x）=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，f（0）>0，f（1）>0.

（1）求ba的取值范圍；

（2）判斷方程f（x）=0在（0，1）內實根的個數.

分析第二問判定方程根的個數，由于方程的根無法求出，利用解方程的方法無法求出在區間內根的個數，因此需要利用等價轉化思想，將方程的根轉化為函數的零點問題.

1.2函數的零點轉化為方程的根

當函數的零點無法利用零點存在定理判斷時，可利用等價轉化關系轉化為相應方程根的分布情況.

2方程的根與兩個函數圖像交點的轉化

2.1方程的根轉化為兩個函數圖像交點問題

當方程f（x）-g（x）=0是現有知識無法求解時，要判斷方程的根的個數或方程根滿足的條件時，常需將方程拆分成兩個函數y=f（x）與y=g（x），通過兩個函數的大致圖像，來找到根的個數或方程根滿足的條件.

2.2兩個函數圖像交點問題轉化為方程的根

當函數f（x）與g（x）的圖像無法畫出，或通過兩函數的圖像的交點無法判斷參數的取值范圍時，則需要將函數y=f（x）的圖像與函數y=g（x）的圖像交點情況，轉化為方程f（x）-g（x）=0根的情況來解.

3函數的零點與兩個函數圖像的交點的轉化

3.1函數的零點轉化為兩個函數圖像的交點

函數的零點存在定理只能判斷函數在某個區間上零點是否存在，但無法判斷函數零點的個數，更無法通過零點個數來解決參數的取值范圍等問題.因此，與函數零點個數的相關問題，常轉化為兩個函數圖像的交點問題.

問題.

評注利用兩個函數的圖像來分析交點的情況，只能從大致的圖像中得出一些粗略的結論，但要更細化的結果，還是需要將問題轉化為函數零點，利用零點存在定理，有時還需結合二分法來解決.