一線一圓，芻議解析幾何的通性通法

數(shù)學(xué)解題方法一般分為通法與巧法，通法著眼基礎(chǔ)，巧法著眼提高.對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，前者是雪中送炭，后者是錦上添花.在目前的數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，大多師生對(duì)通性通法推崇有加，而對(duì)特技巧法敬而遠(yuǎn)之，甚至談“巧”色變，久而久之，我們的學(xué)生習(xí)慣于套用解題的固有套路與程式死算硬推，思維毫無(wú)創(chuàng)新色彩，“韌”性有余而“靈”性不足.這就違背了數(shù)學(xué)教育根本價(jià)值.尤其在解析幾何方面這個(gè)問(wèn)題尤為突出，經(jīng)常聽(tīng)數(shù)學(xué)老師說(shuō)：“不繁就不叫解析幾何”，這里要給通性通法“潑點(diǎn)冷水”！在解題教學(xué)中我們既要著眼基礎(chǔ)，守住通法，雪中送炭，錘煉學(xué)生思維之“韌”，更要適當(dāng)提高，催生巧法，錦上添花，激發(fā)學(xué)生思維之“靈”[1].

解析幾何的通性通法是直線與圓錐曲線方程聯(lián)立，得到一元二次方程，在判別式Δ>0的前提下，應(yīng)用韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、弦長(zhǎng)公式等設(shè)而不求的方法解決相關(guān)問(wèn)題.其思維方式本質(zhì)上是定勢(shì)思維，易于理解、易于掌握和運(yùn)用，但過(guò)分強(qiáng)調(diào)通法會(huì)束縛學(xué)生思維的發(fā)散性與創(chuàng)造性，久而久之，他們只會(huì)拘泥于固有的套路和程式，不敢越雷池半步，思維永遠(yuǎn)沒(méi)有靈光！

以上兩種解法中，解法一按照以D′E′為直徑的圓的產(chǎn)生過(guò)程，順藤摸瓜，思路自然流暢，但計(jì)算繁雜，容易出錯(cuò)，尤其用通法求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程后，為了找到圓所過(guò)的定點(diǎn)，還要把圓的標(biāo)準(zhǔn)方程化為一般方程，再利用Q（s，t）在圓上，即s2+t2=1，才能解決；而解法二中無(wú)論是發(fā)現(xiàn)QD⊥QE（等同于Q是圓O上異于D，E的任意一點(diǎn)），還是求以D′E′為直徑的圓O′的方程時(shí)充分利用了直徑所對(duì)的圓周角是直角這一性質(zhì)，靈活、簡(jiǎn)潔、巧妙！

圖4例2如圖4，已知⊙C：（x-3）2+（y-4）2=4，直線l1過(guò)定點(diǎn)A（1，0）與⊙C相交于P、Q兩點(diǎn)，線段PQ的中點(diǎn)為M，又l1與l2：x+2y+2=0的交點(diǎn)為N，判斷AM·AN是否為定值，若是求

上述解析中，解析1是通法.要判斷是否為定值，就要看怎么來(lái)的，顯然AM可用勾股定理解決，而要求AN，就要看N點(diǎn)的來(lái)歷，是由直線與直線相交得來(lái).這樣順藤摸瓜，搞清點(diǎn)與直線的來(lái)龍去脈，問(wèn)題就得以解決.順藤摸瓜的思想方法就是解析幾何中直線與曲線相關(guān)問(wèn)題的通性通法，易于理解掌握，只是計(jì)算量偏大.盡管道路可能曲折，我們堅(jiān)信經(jīng)過(guò)艱辛的努力，有一股韌勁，持之以恒，一定能獲得成功！這正是通法的教育價(jià)值之所在.

解析2是巧法.由于AM，AN共線，聯(lián)想到向量，思維具有創(chuàng)造性，但更具思維含金量的是這種解法把AM拆成AC+CM，再利用CM⊥AN，CM·AN=0，可為巧哉！如果只講解析（1）的通法而回避這種解法，顯然失去了一次創(chuàng)造性思維培養(yǎng)的絕佳機(jī)會(huì)！

解析3是妙法.這種解法發(fā)現(xiàn)直線BC與直線l2垂直，CM⊥PQ，充分利用這兩個(gè)垂直，由三角形相似解決.可謂妙法，妙就妙在這種解法牢牢地抓住了學(xué)生的知識(shí)的最近發(fā)展區(qū)和本題的個(gè)性特點(diǎn).（因?yàn)閷W(xué)生初中的三角形相似知識(shí)運(yùn)用非常熟練，甚至超過(guò)部分高中教師）

以上例題意在說(shuō)明解析幾何中不要拘泥于通性通法，要根據(jù)題目特點(diǎn)靈活解決.但是，片面追求巧法會(huì)導(dǎo)致缺乏對(duì)基本思想方法的挖掘和相應(yīng)的訓(xùn)練，從而沖淡和掩蓋了對(duì)基本思想方法的滲透，有時(shí)會(huì)陷于對(duì)通法不屑一顧而巧法又一時(shí)想不起的尷尬境界.通法是巧法的基礎(chǔ)，巧法是通法的升華.我們要“通”“巧”結(jié)合，“韌”“靈”并舉.既要注重基礎(chǔ)，守住通法，如山之穩(wěn)重；在此基礎(chǔ)之上，更要催生巧法，如水之靈動(dòng).脫離通法的巧法是空中樓閣，沒(méi)有根基；不談巧法的通法更是死山一座，毫無(wú)生機(jī)！青山愛(ài)拂碧水，碧水滋潤(rùn)青山，碧水圍著青山轉(zhuǎn)是我們數(shù)學(xué)人追求的理想境界.

參考文獻(xiàn)

[1]陳敏.就解題方法論學(xué)生思維的“靈”與“韌”[J].教學(xué)月刊·中學(xué)版，2013（8）：45.

作者簡(jiǎn)介吳寶瑩，男，1970年生，江蘇徐州人，江蘇省特級(jí)教師，中國(guó)奧數(shù)優(yōu)秀教練員，中國(guó)管理科學(xué)研究院學(xué)術(shù)委員會(huì)特約研究員，《發(fā)現(xiàn)》雜志社副理事長(zhǎng)、高級(jí)編審，江蘇省高考命題專家成員，江蘇省“333”高層次人才培養(yǎng)對(duì)象，江蘇省新課程改革實(shí)驗(yàn)先進(jìn)個(gè)人，無(wú)錫市領(lǐng)軍人才，享受政府專項(xiàng)津貼，無(wú)錫市數(shù)學(xué)名師工作室主持人、導(dǎo)師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究.

數(shù)學(xué)解題方法一般分為通法與巧法，通法著眼基礎(chǔ)，巧法著眼提高.對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，前者是雪中送炭，后者是錦上添花.在目前的數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，大多師生對(duì)通性通法推崇有加，而對(duì)特技巧法敬而遠(yuǎn)之，甚至談“巧”色變，久而久之，我們的學(xué)生習(xí)慣于套用解題的固有套路與程式死算硬推，思維毫無(wú)創(chuàng)新色彩，“韌”性有余而“靈”性不足.這就違背了數(shù)學(xué)教育根本價(jià)值.尤其在解析幾何方面這個(gè)問(wèn)題尤為突出，經(jīng)常聽(tīng)數(shù)學(xué)老師說(shuō)：“不繁就不叫解析幾何”，這里要給通性通法“潑點(diǎn)冷水”！在解題教學(xué)中我們既要著眼基礎(chǔ)，守住通法，雪中送炭，錘煉學(xué)生思維之“韌”，更要適當(dāng)提高，催生巧法，錦上添花，激發(fā)學(xué)生思維之“靈”[1].

解析幾何的通性通法是直線與圓錐曲線方程聯(lián)立，得到一元二次方程，在判別式Δ>0的前提下，應(yīng)用韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、弦長(zhǎng)公式等設(shè)而不求的方法解決相關(guān)問(wèn)題.其思維方式本質(zhì)上是定勢(shì)思維，易于理解、易于掌握和運(yùn)用，但過(guò)分強(qiáng)調(diào)通法會(huì)束縛學(xué)生思維的發(fā)散性與創(chuàng)造性，久而久之，他們只會(huì)拘泥于固有的套路和程式，不敢越雷池半步，思維永遠(yuǎn)沒(méi)有靈光！

以上兩種解法中，解法一按照以D′E′為直徑的圓的產(chǎn)生過(guò)程，順藤摸瓜，思路自然流暢，但計(jì)算繁雜，容易出錯(cuò)，尤其用通法求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程后，為了找到圓所過(guò)的定點(diǎn)，還要把圓的標(biāo)準(zhǔn)方程化為一般方程，再利用Q（s，t）在圓上，即s2+t2=1，才能解決；而解法二中無(wú)論是發(fā)現(xiàn)QD⊥QE（等同于Q是圓O上異于D，E的任意一點(diǎn)），還是求以D′E′為直徑的圓O′的方程時(shí)充分利用了直徑所對(duì)的圓周角是直角這一性質(zhì)，靈活、簡(jiǎn)潔、巧妙！

圖4例2如圖4，已知⊙C：（x-3）2+（y-4）2=4，直線l1過(guò)定點(diǎn)A（1，0）與⊙C相交于P、Q兩點(diǎn)，線段PQ的中點(diǎn)為M，又l1與l2：x+2y+2=0的交點(diǎn)為N，判斷AM·AN是否為定值，若是求

上述解析中，解析1是通法.要判斷是否為定值，就要看怎么來(lái)的，顯然AM可用勾股定理解決，而要求AN，就要看N點(diǎn)的來(lái)歷，是由直線與直線相交得來(lái).這樣順藤摸瓜，搞清點(diǎn)與直線的來(lái)龍去脈，問(wèn)題就得以解決.順藤摸瓜的思想方法就是解析幾何中直線與曲線相關(guān)問(wèn)題的通性通法，易于理解掌握，只是計(jì)算量偏大.盡管道路可能曲折，我們堅(jiān)信經(jīng)過(guò)艱辛的努力，有一股韌勁，持之以恒，一定能獲得成功！這正是通法的教育價(jià)值之所在.

解析2是巧法.由于AM，AN共線，聯(lián)想到向量，思維具有創(chuàng)造性，但更具思維含金量的是這種解法把AM拆成AC+CM，再利用CM⊥AN，CM·AN=0，可為巧哉！如果只講解析（1）的通法而回避這種解法，顯然失去了一次創(chuàng)造性思維培養(yǎng)的絕佳機(jī)會(huì)！

解析3是妙法.這種解法發(fā)現(xiàn)直線BC與直線l2垂直，CM⊥PQ，充分利用這兩個(gè)垂直，由三角形相似解決.可謂妙法，妙就妙在這種解法牢牢地抓住了學(xué)生的知識(shí)的最近發(fā)展區(qū)和本題的個(gè)性特點(diǎn).（因?yàn)閷W(xué)生初中的三角形相似知識(shí)運(yùn)用非常熟練，甚至超過(guò)部分高中教師）

以上例題意在說(shuō)明解析幾何中不要拘泥于通性通法，要根據(jù)題目特點(diǎn)靈活解決.但是，片面追求巧法會(huì)導(dǎo)致缺乏對(duì)基本思想方法的挖掘和相應(yīng)的訓(xùn)練，從而沖淡和掩蓋了對(duì)基本思想方法的滲透，有時(shí)會(huì)陷于對(duì)通法不屑一顧而巧法又一時(shí)想不起的尷尬境界.通法是巧法的基礎(chǔ)，巧法是通法的升華.我們要“通”“巧”結(jié)合，“韌”“靈”并舉.既要注重基礎(chǔ)，守住通法，如山之穩(wěn)重；在此基礎(chǔ)之上，更要催生巧法，如水之靈動(dòng).脫離通法的巧法是空中樓閣，沒(méi)有根基；不談巧法的通法更是死山一座，毫無(wú)生機(jī)！青山愛(ài)拂碧水，碧水滋潤(rùn)青山，碧水圍著青山轉(zhuǎn)是我們數(shù)學(xué)人追求的理想境界.

參考文獻(xiàn)

[1]陳敏.就解題方法論學(xué)生思維的“靈”與“韌”[J].教學(xué)月刊·中學(xué)版，2013（8）：45.

作者簡(jiǎn)介吳寶瑩，男，1970年生，江蘇徐州人，江蘇省特級(jí)教師，中國(guó)奧數(shù)優(yōu)秀教練員，中國(guó)管理科學(xué)研究院學(xué)術(shù)委員會(huì)特約研究員，《發(fā)現(xiàn)》雜志社副理事長(zhǎng)、高級(jí)編審，江蘇省高考命題專家成員，江蘇省“333”高層次人才培養(yǎng)對(duì)象，江蘇省新課程改革實(shí)驗(yàn)先進(jìn)個(gè)人，無(wú)錫市領(lǐng)軍人才，享受政府專項(xiàng)津貼，無(wú)錫市數(shù)學(xué)名師工作室主持人、導(dǎo)師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究.

數(shù)學(xué)解題方法一般分為通法與巧法，通法著眼基礎(chǔ)，巧法著眼提高.對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，前者是雪中送炭，后者是錦上添花.在目前的數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，大多師生對(duì)通性通法推崇有加，而對(duì)特技巧法敬而遠(yuǎn)之，甚至談“巧”色變，久而久之，我們的學(xué)生習(xí)慣于套用解題的固有套路與程式死算硬推，思維毫無(wú)創(chuàng)新色彩，“韌”性有余而“靈”性不足.這就違背了數(shù)學(xué)教育根本價(jià)值.尤其在解析幾何方面這個(gè)問(wèn)題尤為突出，經(jīng)常聽(tīng)數(shù)學(xué)老師說(shuō)：“不繁就不叫解析幾何”，這里要給通性通法“潑點(diǎn)冷水”！在解題教學(xué)中我們既要著眼基礎(chǔ)，守住通法，雪中送炭，錘煉學(xué)生思維之“韌”，更要適當(dāng)提高，催生巧法，錦上添花，激發(fā)學(xué)生思維之“靈”[1].

解析幾何的通性通法是直線與圓錐曲線方程聯(lián)立，得到一元二次方程，在判別式Δ>0的前提下，應(yīng)用韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、弦長(zhǎng)公式等設(shè)而不求的方法解決相關(guān)問(wèn)題.其思維方式本質(zhì)上是定勢(shì)思維，易于理解、易于掌握和運(yùn)用，但過(guò)分強(qiáng)調(diào)通法會(huì)束縛學(xué)生思維的發(fā)散性與創(chuàng)造性，久而久之，他們只會(huì)拘泥于固有的套路和程式，不敢越雷池半步，思維永遠(yuǎn)沒(méi)有靈光！

以上兩種解法中，解法一按照以D′E′為直徑的圓的產(chǎn)生過(guò)程，順藤摸瓜，思路自然流暢，但計(jì)算繁雜，容易出錯(cuò)，尤其用通法求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程后，為了找到圓所過(guò)的定點(diǎn)，還要把圓的標(biāo)準(zhǔn)方程化為一般方程，再利用Q（s，t）在圓上，即s2+t2=1，才能解決；而解法二中無(wú)論是發(fā)現(xiàn)QD⊥QE（等同于Q是圓O上異于D，E的任意一點(diǎn)），還是求以D′E′為直徑的圓O′的方程時(shí)充分利用了直徑所對(duì)的圓周角是直角這一性質(zhì)，靈活、簡(jiǎn)潔、巧妙！

圖4例2如圖4，已知⊙C：（x-3）2+（y-4）2=4，直線l1過(guò)定點(diǎn)A（1，0）與⊙C相交于P、Q兩點(diǎn)，線段PQ的中點(diǎn)為M，又l1與l2：x+2y+2=0的交點(diǎn)為N，判斷AM·AN是否為定值，若是求

上述解析中，解析1是通法.要判斷是否為定值，就要看怎么來(lái)的，顯然AM可用勾股定理解決，而要求AN，就要看N點(diǎn)的來(lái)歷，是由直線與直線相交得來(lái).這樣順藤摸瓜，搞清點(diǎn)與直線的來(lái)龍去脈，問(wèn)題就得以解決.順藤摸瓜的思想方法就是解析幾何中直線與曲線相關(guān)問(wèn)題的通性通法，易于理解掌握，只是計(jì)算量偏大.盡管道路可能曲折，我們堅(jiān)信經(jīng)過(guò)艱辛的努力，有一股韌勁，持之以恒，一定能獲得成功！這正是通法的教育價(jià)值之所在.

解析2是巧法.由于AM，AN共線，聯(lián)想到向量，思維具有創(chuàng)造性，但更具思維含金量的是這種解法把AM拆成AC+CM，再利用CM⊥AN，CM·AN=0，可為巧哉！如果只講解析（1）的通法而回避這種解法，顯然失去了一次創(chuàng)造性思維培養(yǎng)的絕佳機(jī)會(huì)！

解析3是妙法.這種解法發(fā)現(xiàn)直線BC與直線l2垂直，CM⊥PQ，充分利用這兩個(gè)垂直，由三角形相似解決.可謂妙法，妙就妙在這種解法牢牢地抓住了學(xué)生的知識(shí)的最近發(fā)展區(qū)和本題的個(gè)性特點(diǎn).（因?yàn)閷W(xué)生初中的三角形相似知識(shí)運(yùn)用非常熟練，甚至超過(guò)部分高中教師）

以上例題意在說(shuō)明解析幾何中不要拘泥于通性通法，要根據(jù)題目特點(diǎn)靈活解決.但是，片面追求巧法會(huì)導(dǎo)致缺乏對(duì)基本思想方法的挖掘和相應(yīng)的訓(xùn)練，從而沖淡和掩蓋了對(duì)基本思想方法的滲透，有時(shí)會(huì)陷于對(duì)通法不屑一顧而巧法又一時(shí)想不起的尷尬境界.通法是巧法的基礎(chǔ)，巧法是通法的升華.我們要“通”“巧”結(jié)合，“韌”“靈”并舉.既要注重基礎(chǔ)，守住通法，如山之穩(wěn)重；在此基礎(chǔ)之上，更要催生巧法，如水之靈動(dòng).脫離通法的巧法是空中樓閣，沒(méi)有根基；不談巧法的通法更是死山一座，毫無(wú)生機(jī)！青山愛(ài)拂碧水，碧水滋潤(rùn)青山，碧水圍著青山轉(zhuǎn)是我們數(shù)學(xué)人追求的理想境界.

參考文獻(xiàn)

[1]陳敏.就解題方法論學(xué)生思維的“靈”與“韌”[J].教學(xué)月刊·中學(xué)版，2013（8）：45.

作者簡(jiǎn)介吳寶瑩，男，1970年生，江蘇徐州人，江蘇省特級(jí)教師，中國(guó)奧數(shù)優(yōu)秀教練員，中國(guó)管理科學(xué)研究院學(xué)術(shù)委員會(huì)特約研究員，《發(fā)現(xiàn)》雜志社副理事長(zhǎng)、高級(jí)編審，江蘇省高考命題專家成員，江蘇省“333”高層次人才培養(yǎng)對(duì)象，江蘇省新課程改革實(shí)驗(yàn)先進(jìn)個(gè)人，無(wú)錫市領(lǐng)軍人才，享受政府專項(xiàng)津貼，無(wú)錫市數(shù)學(xué)名師工作室主持人、導(dǎo)師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究.