拋物線切線的一個優美性質

楊堯偉

優美性質拋物線C在點D處的切線為m，和直線m平行的直線l與拋物線C相交于A、B兩點，則直線l與拋物線所圍封閉圖形的面積和△DAB面積的比值為4∶3.

為證明此性質，先證明性質1.

性質1 直線l：y=kx+m與拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）相交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，則直線與拋物線所圍成封閉圖形的面積為：線段AB在x軸上投影的立方的六分之一乘以二次項系數的絕對值，即∫x1x2（kx+m-ax2-bx-c）dx=ax1-x236或∫x1x2（kx+m-ax2-bx-c）dx=

a（x1+x2）2-4x1x236.（利用韋達定理）

所以結論成立.

優美性質證明僅以拋物線x2=2py（p>0）為例證明，其它情況同理可證.

設直線l：y=kx+m，D（x0，y0），則由導數知識得x0p=k，所以D（pk，pk22），記D到直線l的距離為d.

由性質1得直線l與拋物線所圍成封閉圖形面積為112px1-x23，顯然直線l與拋物線所圍成封閉圖形面積與△DAB面積比值為4∶3.

通過上述性質的證明過程可以看出，利用定積分求面積時，有時并不需要把交點坐標具體求出來，只要充分利用兩曲線聯立后的方程就可以進行整體代換，這樣就把設而不求的方法運用得恰到好處.由此性質可以看出，不規則圖形總可以轉化為規則圖形求面積，其它曲線也理應如此.

優美性質拋物線C在點D處的切線為m，和直線m平行的直線l與拋物線C相交于A、B兩點，則直線l與拋物線所圍封閉圖形的面積和△DAB面積的比值為4∶3.

為證明此性質，先證明性質1.

性質1 直線l：y=kx+m與拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）相交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，則直線與拋物線所圍成封閉圖形的面積為：線段AB在x軸上投影的立方的六分之一乘以二次項系數的絕對值，即∫x1x2（kx+m-ax2-bx-c）dx=ax1-x236或∫x1x2（kx+m-ax2-bx-c）dx=

a（x1+x2）2-4x1x236.（利用韋達定理）

所以結論成立.

優美性質證明僅以拋物線x2=2py（p>0）為例證明，其它情況同理可證.

設直線l：y=kx+m，D（x0，y0），則由導數知識得x0p=k，所以D（pk，pk22），記D到直線l的距離為d.

由性質1得直線l與拋物線所圍成封閉圖形面積為112px1-x23，顯然直線l與拋物線所圍成封閉圖形面積與△DAB面積比值為4∶3.

通過上述性質的證明過程可以看出，利用定積分求面積時，有時并不需要把交點坐標具體求出來，只要充分利用兩曲線聯立后的方程就可以進行整體代換，這樣就把設而不求的方法運用得恰到好處.由此性質可以看出，不規則圖形總可以轉化為規則圖形求面積，其它曲線也理應如此.

優美性質拋物線C在點D處的切線為m，和直線m平行的直線l與拋物線C相交于A、B兩點，則直線l與拋物線所圍封閉圖形的面積和△DAB面積的比值為4∶3.

為證明此性質，先證明性質1.

性質1 直線l：y=kx+m與拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）相交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，則直線與拋物線所圍成封閉圖形的面積為：線段AB在x軸上投影的立方的六分之一乘以二次項系數的絕對值，即∫x1x2（kx+m-ax2-bx-c）dx=ax1-x236或∫x1x2（kx+m-ax2-bx-c）dx=

a（x1+x2）2-4x1x236.（利用韋達定理）

所以結論成立.

優美性質證明僅以拋物線x2=2py（p>0）為例證明，其它情況同理可證.

設直線l：y=kx+m，D（x0，y0），則由導數知識得x0p=k，所以D（pk，pk22），記D到直線l的距離為d.

由性質1得直線l與拋物線所圍成封閉圖形面積為112px1-x23，顯然直線l與拋物線所圍成封閉圖形面積與△DAB面積比值為4∶3.

通過上述性質的證明過程可以看出，利用定積分求面積時，有時并不需要把交點坐標具體求出來，只要充分利用兩曲線聯立后的方程就可以進行整體代換，這樣就把設而不求的方法運用得恰到好處.由此性質可以看出，不規則圖形總可以轉化為規則圖形求面積，其它曲線也理應如此.