分類討論思想在數列問題中的應用

林明霞

摘 要：分類討論思想是中學數學學習中一種重要的策略，數列是中學中的重要知識，分類討論思想在數列問題中應用廣泛，那么數列中哪些問題會涉及分類討論呢？就數列中求通項公式、求和這兩種最常見的數列問題中涉及分類討論思想的情況做簡單的歸納與分析。

關鍵詞：分類討論思想；通項；分類標準

在解答某些數學問題時，有時需要對各種情況進行分類，并逐步求解，然后綜合得解，這就是分類討論思想。分類討論體現了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法，也是中學數學學習中的一種重要策略。數列是中學中的重要知識，也是高考的必考知識，數列在求通項公式、求前n項和等許多問題中，都涉及分類討論思想。本文通過舉例說明分類討論思想在解決數列問題中的應用。

一、求數列通項

例1.已知數列{an}的前n項和Sn=n2-10n+9，求數列{an}的通項公式。

分析：數列通項an與前n項和Sn之間的關系為an=S1，n=1Sn-Sn-1，n≥2

解：當n≥2時，an=Sn-Sn-1=（n2-10n+9）-[（n-1）2-10（n-1）+9]=2n-11

當n=1時，a1=S1=0不符合上式 ∴an=0，n=12n-11，n≥2

例2.數列{an}：1，2，3，4，5，8，7，16，…寫出它的通項公式。

二、數列求和

例3.求和S=1+x+x2+…+xn

例4.已知數列{an}的通項公式an=2n-11，求數列{|an|}的前n項和Tn。

分析：絕對值是分段定義的，從而要分an≥0和an<0討論；

∴Tn=10n-n2，1≤n≤5n2-10n+50，n≥6

例5.已知數列{an}的通項公式an=（-1）n（2n-11），求數列{an}的前n項和Sn。

分析：an=（-1）n（2n-11）=-（2n-11），n為奇數2n-11，n為偶數，因此分n為奇數和偶數討論。

總之，用分類討論思想解決數列問題時要遵守一定的原則：（1）分類的對象確定，標準統一；（2）不重復，不遺漏；（3）分層次，不越級討論。另外數列問題中引起分類討論的原因有（1）等差數列、等比數列的定義中的限制條件引發；（2）公式an=S1，n=1Sn-Sn-1，n≥2的限制引發；（3）數列的通項公式分段表示引發；（4）數列求和時正負項，奇偶項，等比數列公比q引發等。

（作者單位 浙江省蒼南縣錢庫高級中學）

編輯 劉青梅