分類討論思想在數(shù)列問(wèn)題中的應(yīng)用

林明霞

摘 要：分類討論思想是中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一種重要的策略，數(shù)列是中學(xué)中的重要知識(shí)，分類討論思想在數(shù)列問(wèn)題中應(yīng)用廣泛，那么數(shù)列中哪些問(wèn)題會(huì)涉及分類討論呢？就數(shù)列中求通項(xiàng)公式、求和這兩種最常見的數(shù)列問(wèn)題中涉及分類討論思想的情況做簡(jiǎn)單的歸納與分析。

關(guān)鍵詞：分類討論思想；通項(xiàng)；分類標(biāo)準(zhǔn)

在解答某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，有時(shí)需要對(duì)各種情況進(jìn)行分類，并逐步求解，然后綜合得解，這就是分類討論思想。分類討論體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法，也是中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一種重要策略。數(shù)列是中學(xué)中的重要知識(shí)，也是高考的必考知識(shí)，數(shù)列在求通項(xiàng)公式、求前n項(xiàng)和等許多問(wèn)題中，都涉及分類討論思想。本文通過(guò)舉例說(shuō)明分類討論思想在解決數(shù)列問(wèn)題中的應(yīng)用。

一、求數(shù)列通項(xiàng)

例1.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2-10n+9，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

分析：數(shù)列通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn之間的關(guān)系為an=S1，n=1Sn-Sn-1，n≥2

解：當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=（n2-10n+9）-[（n-1）2-10（n-1）+9]=2n-11

當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=0不符合上式 ∴an=0，n=12n-11，n≥2

例2.數(shù)列{an}：1，2，3，4，5，8，7，16，…寫出它的通項(xiàng)公式。

二、數(shù)列求和

例3.求和S=1+x+x2+…+xn

例4.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=2n-11，求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和Tn。

分析：絕對(duì)值是分段定義的，從而要分an≥0和an<0討論；

∴Tn=10n-n2，1≤n≤5n2-10n+50，n≥6

例5.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=（-1）n（2n-11），求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn。

分析：an=（-1）n（2n-11）=-（2n-11），n為奇數(shù)2n-11，n為偶數(shù)，因此分n為奇數(shù)和偶數(shù)討論。

總之，用分類討論思想解決數(shù)列問(wèn)題時(shí)要遵守一定的原則：（1）分類的對(duì)象確定，標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一；（2）不重復(fù)，不遺漏；（3）分層次，不越級(jí)討論。另外數(shù)列問(wèn)題中引起分類討論的原因有（1）等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義中的限制條件引發(fā)；（2）公式an=S1，n=1Sn-Sn-1，n≥2的限制引發(fā)；（3）數(shù)列的通項(xiàng)公式分段表示引發(fā)；（4）數(shù)列求和時(shí)正負(fù)項(xiàng)，奇偶項(xiàng)，等比數(shù)列公比q引發(fā)等。

（作者單位 浙江省蒼南縣錢庫(kù)高級(jí)中學(xué)）

編輯 劉青梅