針對數學學習的各種缺陷設計針對性題組

鄔仁勇

摘 要：從數學教學的實踐出發，針對數學學習的各種缺陷設計相應的針對性題組，通過針對性題組的訓練或教學來彌補學生數學學習的各種缺陷，并提升學生的數學思維品質。

關鍵詞：數學學習缺陷；針對性；題組；數學思維品質

一、問題的提出

數學是高中學科中一門相對較難學習的學科，主要是由于學科具有以下幾個特點：（1）綜合性強。一道題往往不只考查一個知識點，而是多知識點的融合；（2）學科性強。對函數與方程、數形結合等思想方法要求高；（3）應用性強。數學是一門實用性科學，要求學生能靈活地將所學知識遷移應用解決事實情景問題。

由于高中數學特點的變化，導致數學學習過程中產生以下問題：（1）相對于初中數學來說，高中數學課堂容量大，知識內化、整合節奏容易脫節，學習過程較為吃力；（2）前后知識聯系緊密，變式因素復雜，類型多樣，導致課堂例題能懂，作業訓練不會做；（3）高中學科數增加，數學應有的學習時間受到較大擠壓，自主整理過程缺乏，囫圇吞棗現象存在，造成知識技能遺忘率高。

二、數學題組的概述

1.數學題組界定

所謂題組，就是老師根據專題教學內容，依據教學目標和學生的實際，精選一些有代表性、系統性的習題（相同的或相似、相近的），重新進行組合，通過變題、編題、聯題（即聯系不同或相同的題目）等角度入手組織教學，探究發現題組內蘊涵的知識和方法，以提高學生的解題能力。

2.數學題組彌補數學學習缺陷的意義

（1）通過針對性題組的設計，可以揭示題源，讓學生進行自主探究，給學生豐富的解題體驗，彌補數學學習知識性缺陷和經驗貧乏的缺陷；（2）通過針對性題組的變式訓練，形散而神不散，滲透數學思想方法，讓學生能夠解有所悟，彌補數學學習策略無效的缺陷；（3）通過針對性題組的設計實現遷移拓展，揭示本質，開啟智慧，提升數學素養。

三、設計數學題組教學的策略

1.針對知識性缺陷設計變式題組

能積極聯系學生的初中基礎，促進初高中數學的銜接，使學生從初中數學的基礎上逐步理解高中數學，并且根據學生在高中所欠的初中基礎進行有計劃、有步驟地補足，將舊知與新知融合編題，完善初高中數學的銜接，讓學生在理解的基礎上自然過渡，也符合學生的認知規律。題組：記扇形的半徑為r，圓心角為n° 在上述題組中，由學生熟知的扇形弧長和面積公式出發，引入弧度制，對老公式進行變形，讓學生體會新制度的優越性，及掌握“知二求三”的運算方法，也充分結合高中數學內容進行提升，達到綜合解題的能力。

2.針對程序性缺陷設計誘錯型題組

題組1：利用函數的奇偶性和其中一段的解析式求對稱的另一段的解析式：

已知y=f（x）是定義在R上的偶函數，當x≥0時，f（x）=x2-2x則（1）f（1）= ；（2）f（-1）= ；（3）f（-3）= ；（4）畫出x<0時函數y=f（x）的圖象；（5）當x<0時，f（x）= .

為了求（5），設置了前四個小題來彌補學生可能存在的程序性缺陷，體會由特殊到一般的過程，并體會數形結合思想，提升數學思維品質。

在上述題組中，因為學生初學高中的三角函數定義，對三角函數值的正負往往不敏感，想當然或者不嚴謹的現象很普遍，可能跟初中銳角的三角函數值都是正數有關，通過上述誘錯型題組來檢測學生能否利用終邊在不同的象限得到準確的三角函數值（主要是正負情況）。

3.針對策略無效設計豐富型題組

在上述針對性題組中，學生由（1）的成功經驗想到可以在（2）中應用，當然的（2）中學生也可能嘗試用兩次基本不等式來求解，這樣也可以比較兩種方法得出的結論，很明顯由（1）的方法得出的值會更小，而且滿足取等號的條件，所以法（2）是錯誤的，（3）是（2）的變形，都可以由（1）的成功經驗想到，即體會“1”的妙用，而（4）相當于推廣到（3）的妙用，即一個定值的妙用，而（4）就更具一般性，也說明高考題對學生的靈活解題能力提出了較高要求，如果沒有一定的功力，還是較難拿下的，這個針對性題組讓學生利用所學的知識一個一個攻下來，理解了題與題之間的聯系，也理解了方法的本質，也達到靈活應用的境界。

4.針對經驗貧乏或思維緩慢設計應用型題組

在必修五第三章第二節“基本不等式”第二課時的教學時，對于應用基本不等式解決最大（?。┲祮栴}時，學生的解題經驗往往比較貧乏，且解題速度較慢，為此我設置了以下題組：

（1）若正數x，y滿足xy=x+y+3，則xy的最小值為 .

（2）若正數x，y滿足xy=x+y+3，則x+y的最小值為 .

（3）（2010浙江文15）若正實數x，y滿足2x+y+6=xy，則xy的最小值是 .

（4）（2011浙江文6）若實數x，y滿足x2+y2+xy=1，則x+y的最大值是 .

（5）（2011浙江理16）若實數x，y滿足4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值是 .

在上述針對性題組中，學生由（1）掌握“和化積”的方法，由（2）掌握“積化和”的方法，由（3）感受高考題中的“和化積”的方法，體會不同的取等號條件，由（4）需要學生先將平方和轉化為和與積的形式，然后再利用“積化和”的方法求解，由（5）讓學生掌握在（4）的基礎上體會配湊方法，當然（5）還可以實現一題多解，基于本課的重點，不便展開，讓學生通過此針對性題組，逐級感受“和化積”“積化和”“取等號的條件”，將知識方法的教學融入具體的題目中，好比闖關游戲，而且還有一題多解，收獲頗豐，另外浙江考生對浙江的高考題還有著天然的興趣，真題通常會成為很多模擬題的母題，這樣真題的訓練意義也更大，針對性題組能有效地激發學生的求知欲，興趣逐漸提升，學生的解題能力也步步提升，成就感很足，對不同層次的學生都有幫助。

5.針對元認知缺乏設計解說型題組

在高三復習雙曲線的圓心率時，許多學生表現出對元認知的缺乏，為此結合2004～2013浙江高考理科命題中關于圓錐曲線小題的考查內容的統計，其中有6年都是考查雙曲線的離心率：

在上述針對性題組中，由高考題導入（由于高考內容有刪減，進行適當的改編），還有可以改編成跟最近做過的模擬題相近的題，讓學生感受高考的母題地位。

6.針對注意不當設計強化型題組

在基本不等式的學習中，學生經常會出現“無證駕駛”或“無視取等號的條件”等錯誤，為此設計以下強化型題組：

通過強化型題組的梯度推進，讓學生一步一步提升對高中數學知識的理解，發展了數學思維品質，也提高了學習效率。

相比初中來說，高中的節奏和任務都有較大的增加，學生的訓練效果嚴重縮水，筆者通過編制相關的矯正與補償性習題，在后續學習中，在不增加學生新的課業負擔的前提下，讓學生進行周期性再現訓練，促進對高中數學的再理解和提升，效果比較明顯。

四、設計針對性題組的幾點反思

1.設計前需收集學生的錯誤資源，做好學生的學情分析，通過學生反饋的信息進行有針對性的題組設計，如，教師批改作業“反饋”和輔導學生“反思”的活動，通常考慮：

（1）哪些題錯得多？

（2）為什么這些題錯得多？

（3）做錯學生主要什么層次？如何補救？

（4）針對性題組如何設計？（哪些知識點？題型？難度？）

讓針對性題組起著鏈接數學的“學”和“習”的橋梁，“學”中有“習”，“習”中有“學”。

2.在新授課中，應當多關注知識本身的邏輯體系，問題的順序應當考慮知識本身的發展進程及學生的思維發展，在思維的轉折處設計問題，同時也要把問題的突破口暴露出來，引起學生關注，使學生在每完成一個問題后，在知識的理解和運用上都有一定的收獲。

參考文獻：

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[4]王瑩.多變并舉 科學增效：例談高中數學變式教學的方法[J].數學學習與研究，2012（07）.

（作者單位 浙江省玉環中學）

編輯 郭曉云