關于幾個同余命題的分析與證明李新社

姚俊萍

摘 要：首先分析了中國剩余定理推廣原理的證明過程，指出該證明過程沒有證明解的唯一性，并補充了解的唯一性證明過程；然后給出了構造一個新排列的算法原理，指出該算法的重要性；最后針對二次互反律證明過程冗長難懂的事實，給出了其關鍵性證明環節的一種新型證明方法。

關鍵詞：同余命題；中國剩余定理；二次互反律

眾所周知，中國剩余定理在初等數論中具有重要的地位，它的應用非常廣泛，但中國剩余定理原型中各個模數是互素的，推

廣原理中個模數可以不是互素的，但文獻[1，2]中給出的證明過程在論述解唯一性時，筆者認為含糊且不清楚，本文給出另外一種證明過程，并用邏輯推理證明了解的唯一性。

一、中國剩余定理推廣原理證明過程的分析及其重新證明

定理1：設d=（m1，m2），m=[m1，m2]，同余式組x≡a1（modm1）x≡a2（modm2）

有解的充要條件是d/a1-a2，當此條件成立時，恰好有一個解x≡b（modm）。

上面證明過程思路由文獻給出，“因r的唯一性，所以a2+mr

也是唯一的”這難以理解，因為它們分別基于不同的模。另外證明過程中，針對同余方程m2y≡a1-a2（modm1），因d=（m1，m2）/（a1-a2），所以此同余方程應該有d個不同解，這d個不同解起的作用是否相同，為何導致最終只有唯一解？

下面給出另一種證明過程，其中必要性與上面一樣，核心是充分性。

二、序列1，2，…，（m-1）/2的一個排列的構造算法及其證明

定理2：設m≥3是正奇數，a是整數，（a，m）=1，如果整數ak

三、一種二次互反律關鍵性證明環節的新型證明方法

文獻[1，2]里的二次互反律證明環節都比較冗長難懂，這里將其核心關鍵部分抽取出來形成定理，并給出一種簡單而有效的新型證明方法。

四、定理應用分析

定理1的重新證明不僅使我們在應用中國剩余定理時更加自信和靈活，并且明白求得結果唯一，還是我們認識到文獻給出的解構造也是正確的。

定理2算法的構造和證明不僅對研究同余命題有支持和誘導作用，而且相對于文獻介紹相關內容時所給出的奇素數限制放寬了條件。

定理3抽取和形成對于二次互反律的證明有著較強的支持作用，而且可對進一步研究相關理論和應用二次互反律奠定基礎。

本文對中國剩余定理推廣原理的證明過程進行了分析和重新證明；給出了構造一個新排列的算法原理并證明了該算法原

理；提煉出了一個有助于二次互反律證明的命題并給出了一種新的證明方法。

參考文獻：

[1]胡典順，徐漢文.初等數論[M].科學出版社，2010-06.

[2]張文鵬，李海龍.初等數論[M].陜西師范大學出版社，2010-06.

（作者單位 陜西省西安高新技術研究所）

編輯 馬燕萍endprint

摘 要：首先分析了中國剩余定理推廣原理的證明過程，指出該證明過程沒有證明解的唯一性，并補充了解的唯一性證明過程；然后給出了構造一個新排列的算法原理，指出該算法的重要性；最后針對二次互反律證明過程冗長難懂的事實，給出了其關鍵性證明環節的一種新型證明方法。

關鍵詞：同余命題；中國剩余定理；二次互反律

眾所周知，中國剩余定理在初等數論中具有重要的地位，它的應用非常廣泛，但中國剩余定理原型中各個模數是互素的，推

廣原理中個模數可以不是互素的，但文獻[1，2]中給出的證明過程在論述解唯一性時，筆者認為含糊且不清楚，本文給出另外一種證明過程，并用邏輯推理證明了解的唯一性。

一、中國剩余定理推廣原理證明過程的分析及其重新證明

定理1：設d=（m1，m2），m=[m1，m2]，同余式組x≡a1（modm1）x≡a2（modm2）

有解的充要條件是d/a1-a2，當此條件成立時，恰好有一個解x≡b（modm）。

上面證明過程思路由文獻給出，“因r的唯一性，所以a2+mr

也是唯一的”這難以理解，因為它們分別基于不同的模。另外證明過程中，針對同余方程m2y≡a1-a2（modm1），因d=（m1，m2）/（a1-a2），所以此同余方程應該有d個不同解，這d個不同解起的作用是否相同，為何導致最終只有唯一解？

下面給出另一種證明過程，其中必要性與上面一樣，核心是充分性。

二、序列1，2，…，（m-1）/2的一個排列的構造算法及其證明

定理2：設m≥3是正奇數，a是整數，（a，m）=1，如果整數ak

三、一種二次互反律關鍵性證明環節的新型證明方法

文獻[1，2]里的二次互反律證明環節都比較冗長難懂，這里將其核心關鍵部分抽取出來形成定理，并給出一種簡單而有效的新型證明方法。

四、定理應用分析

定理1的重新證明不僅使我們在應用中國剩余定理時更加自信和靈活，并且明白求得結果唯一，還是我們認識到文獻給出的解構造也是正確的。

定理2算法的構造和證明不僅對研究同余命題有支持和誘導作用，而且相對于文獻介紹相關內容時所給出的奇素數限制放寬了條件。

定理3抽取和形成對于二次互反律的證明有著較強的支持作用，而且可對進一步研究相關理論和應用二次互反律奠定基礎。

本文對中國剩余定理推廣原理的證明過程進行了分析和重新證明；給出了構造一個新排列的算法原理并證明了該算法原

理；提煉出了一個有助于二次互反律證明的命題并給出了一種新的證明方法。

參考文獻：

[1]胡典順，徐漢文.初等數論[M].科學出版社，2010-06.

[2]張文鵬，李海龍.初等數論[M].陜西師范大學出版社，2010-06.

（作者單位 陜西省西安高新技術研究所）

編輯 馬燕萍endprint

摘 要：首先分析了中國剩余定理推廣原理的證明過程，指出該證明過程沒有證明解的唯一性，并補充了解的唯一性證明過程；然后給出了構造一個新排列的算法原理，指出該算法的重要性；最后針對二次互反律證明過程冗長難懂的事實，給出了其關鍵性證明環節的一種新型證明方法。

關鍵詞：同余命題；中國剩余定理；二次互反律

眾所周知，中國剩余定理在初等數論中具有重要的地位，它的應用非常廣泛，但中國剩余定理原型中各個模數是互素的，推

廣原理中個模數可以不是互素的，但文獻[1，2]中給出的證明過程在論述解唯一性時，筆者認為含糊且不清楚，本文給出另外一種證明過程，并用邏輯推理證明了解的唯一性。

一、中國剩余定理推廣原理證明過程的分析及其重新證明

定理1：設d=（m1，m2），m=[m1，m2]，同余式組x≡a1（modm1）x≡a2（modm2）

有解的充要條件是d/a1-a2，當此條件成立時，恰好有一個解x≡b（modm）。

上面證明過程思路由文獻給出，“因r的唯一性，所以a2+mr

也是唯一的”這難以理解，因為它們分別基于不同的模。另外證明過程中，針對同余方程m2y≡a1-a2（modm1），因d=（m1，m2）/（a1-a2），所以此同余方程應該有d個不同解，這d個不同解起的作用是否相同，為何導致最終只有唯一解？

下面給出另一種證明過程，其中必要性與上面一樣，核心是充分性。

二、序列1，2，…，（m-1）/2的一個排列的構造算法及其證明

定理2：設m≥3是正奇數，a是整數，（a，m）=1，如果整數ak

三、一種二次互反律關鍵性證明環節的新型證明方法

文獻[1，2]里的二次互反律證明環節都比較冗長難懂，這里將其核心關鍵部分抽取出來形成定理，并給出一種簡單而有效的新型證明方法。

四、定理應用分析

定理1的重新證明不僅使我們在應用中國剩余定理時更加自信和靈活，并且明白求得結果唯一，還是我們認識到文獻給出的解構造也是正確的。

定理2算法的構造和證明不僅對研究同余命題有支持和誘導作用，而且相對于文獻介紹相關內容時所給出的奇素數限制放寬了條件。

定理3抽取和形成對于二次互反律的證明有著較強的支持作用，而且可對進一步研究相關理論和應用二次互反律奠定基礎。

本文對中國剩余定理推廣原理的證明過程進行了分析和重新證明；給出了構造一個新排列的算法原理并證明了該算法原

理；提煉出了一個有助于二次互反律證明的命題并給出了一種新的證明方法。

參考文獻：

[1]胡典順，徐漢文.初等數論[M].科學出版社，2010-06.

[2]張文鵬，李海龍.初等數論[M].陜西師范大學出版社，2010-06.

（作者單位 陜西省西安高新技術研究所）

編輯 馬燕萍endprint