基于系統最優維修策略的自動化車床管理的數學優化模型

黑龍江 姚克儉

1 問題產生的背景

由于刀具損壞等原因會使工序出現故障，而工序出現故障是完全隨機的，工作人員通過檢查零件來確定工序是否出現故障，并且計劃在刀具加工一定件數的零件后定期更換新刀具。

因此，給定檢查間隔，對零件做檢查，當發現零件不合格時則認為工序發生故障并立即進行停機檢查，若實際存在故障則進行修理，無故障則繼續生產；當檢查發現零件合格則不干涉設備的工作，當到了定期更換刀具時刻，即使設備未出現故障，也進行刀具更新。

問題一：如果工序故障時產出的零件均為不合格品，正常產出的零件均為合格品，討論該工序設計效益最好的檢查間隔和刀具更換策略；

問題二：如果該工序正常時產出的零件不全是合格品，有2%為不合格品；而工序故障時產出的零件有40%為合格品，60%為不合格品，工序正常而誤認有故障停機產生的損失費用為1500元/次，討論該工序設計效益最好的檢查間隔和刀具更換策略。

2 問題一的檢查間隔與刀具更換策略模型

2.1 刀具故障記錄的統計分析

通過檢驗可知：在α=0.10的顯著水平下，刀具無故障工作時間近似服從N（μ，δ2）分布，由極大似然估計法得到μ=600，δ2=195.642.

假設Ho:X1的概率密度函數為f(x1)=,x∈R

將X(0～1200）分為12個區間，若Ho為真，則X1的概率密度為，查標準正態分布函數表可以得到概率Pi；所以

2.2 刀具無故障工作時間的概率分布

由于刀具損失故障占95%，整個無故障工作時間的分布近似于刀具無故障工作時間長的分布，即X～N(0.95μ,(0.95σ)2)。

2.3 刀具更換策略

在定期更換前，必須進行檢查。若檢查出故障，立即修理，若沒有檢查出故障，再進行定期更換。為了實際操作的方便，可以將定期更換周期定在第次檢查后，即：若τ0為常數，則τ1=mτ0(m=1,2,…)。

2.4 問題一的數學模型

若X＞τ1,損失為：L1=mt+k（t為檢查費用，k為更換刀具的費用）

若 τ0＜X＜（n+1)τ0n=(0,1,2,…m-1)；

損失為Ln=(n+1)t+d+((n+1)τ0-X)f（d為故障調節所需費用，f為產出不合格品的損失費用）

針對問題一的結果，我們采用蒙特卡羅法進行模擬檢驗，具體步驟如下：

⑴工序無故障工作時間X～N（600，9,1.642）,用蒙特卡洛法模擬產生1000個無故障工作時間的偽隨機數Xi(i=1，2，…1000）。

⑵給定檢查間隔τ0和刀具定期更換間隔τ1，可以計算出Xi所對應的損失費用Li，

⑷對τ0，τ1進行搜索，求得單個零件損失費用C最小時的最優檢查間隔τ0=18，定期更換刀具間隔τ1=378，相應的單個零件損失費用為4.16元。將問題一的結果與蒙特卡洛模擬的結果進行比較，列表如下：

由以上數據觀察可發現用計算機模擬的結果與問題一的結果比較接近，因此說明問題一的結果比較穩定。

2.5 靈敏度分析

對于X～N（600,195.642）的正態分布，我們改變P（P為工序正常時不合格產品的比例）和（為工序故障時不合格產品的比例）得下表：

同理，改變誤認為有故障而停機產生的損失費（1500元/次），發現它的變化對C的并不明顯。

2.6 誤差分析

我們在分析工序無故障的工作時間的同時，可以用刀具無故障工作時間的分布來近似判斷，但是實際工序無故障的工作時間是未知的，若用正態分布來描述，其均值μ、均方差δ2的不確定性，對結果會造成一定的誤差，我們用問題一的結果來進行誤差分析，得下表：

由此可知，均值μ、均方差δ的較小變化對結果的影響不大，因此我們采用的方法近似工序無故障分配工作時間是合理的。

3 問題二的檢查間隔與刀具更換策略模型

3.1 問題二的分析

該問題需要考慮兩種情況：⑴在工序正常工作時有可能檢查到2%的不合格零件而誤認為出現故障停機，發現誤檢后不進行換刀，繼續正常工作，每次誤停機將造成1500元的損失；⑵由于工序發生故障后仍有40%的合格零件產生，必然會導致因為檢查到40%的合格零件而認為工序正常的錯誤，這樣會增加不合格零件的數量和相應不必要的檢查，從而使工序的損失增加。

3.2 問題二的數學模型

我們建立以單位合格零件的期望損失為目標的函數方程

系統工序合格零件的單位期望損失E（L）=

其中系統工序的總損失U總=U1(換刀前出現故障的損失)+U2（換刀前未出現故障的損失）；假設整個系統共包括N次更新過程，換刀前出現故障的更新次數：N·F（T）(F（T）為以T更新周期的情況下工序出現故障的概率)，換刀前未出現故障的更新次數：N·（1-F（T））。

所以 U1=N·（1-F（T））P1U2=N·F（T）P1P2

P1、P2為在兩次總損失U1、U2下的單位更新過程的損失費用。

下面通過對一個換刀間隔T的研究來求P1、P2。

⑴換刀前未出現故障的更新過程的單位損失費用P1包括：一次換刀費用K；檢查費用g1tg1=；誤檢測而停機造成的損失費用為×1500=30g1；在工序正常運行中產生的不合格零件的損失費用=單位換刀間隔T內產生的不合格零件數T×20%與單個不合格零件的損失f的乘積，即；

綜合上述費用即為換刀前未出現故障的更新過程的單位損耗費用P1,

P1=K+g1T+30g1T+,

⑵同理，換刀前未出現故障的總損失U2=NF(T)P2，

其中單位換刀間隔內的x點處發生故障的平均損失費用Wx包括：

①發生故障前的檢查費用(g2-1)（g2表示包括故障后那次檢查的故障前所有檢查次數的和）；

②發生故障前由于誤檢停機造成的損失費用 (g2-1)×2%×1500=30(g2-1)；

④發生故障后的檢查所需費用 ；

⑤對故障進行維修換刀的平均損失：（1-0.4g1-g2+1）d，其中0.4g1-g2+1為第g1-g2+1次檢查時檢查到合格品時的概率。

⑥發生故障后產生的不合格零件的平均損失費用：

當故障發生后第一次檢查到合格零件而誤認為是無故障發生直到檢查出故障而進行換刀或維修為止的情況，這時損失可分為兩個部分：

第一，發生故障產生后到第一次檢查所產生不合格零件的損失，即為0.6hf。

第二，從發生故障后的第一次檢查直到維修換刀時產生的不合格零件的平均損失費用為（H+0.4Tc+0.42Tc+…+0.4g1-g2T）c0.6f

整個系統的平均損失為

共產生的合格品零件總數為：

⑴換刀前未發生故障所產生的總的合格品零件個數：N[1-F(T)]T×98%;

⑵換刀前發生故障所產生的總的合格品零件個數：

考慮到一般設備使用期限內可分為穩定期和不穩定期。這里的穩定是指故障少，而所謂不穩定是指故障比較多。

可以改進等間隔檢查方式，使其在穩定期內檢查間隔長，在不穩定期內檢查間隔短，從而獲得更高的效益。也就是說故障率大時（即設備運行到時刻未發生故障的條件下，[x，x+dx]時間內設備發生故障的條件概率最大），則單位時間內的檢查次數n(x)也隨之增大，令n(x)=，其中

p(x)dx是設備在[x，x+dx]內發生故障的概率，1-F(x)是時刻設備未發生故障的概率。

相對于問題一，由于問題二發生故障后仍有40%的合格品產生，因此給檢查帶來了困難，為了盡量減少誤檢造成的損失，于是相應的檢查間隔變大而換刀時間間隔減小，從而單位期望值也由4.75變為9.047。

設計安裝工序自動檢測調節裝置，對于每個零件進行檢查，假設檢查費用為零，下面給出的自動檢測調節系統可以有效避免上述問題中正常工序而誤認為故障停機產生的損失，從而降低單位零件的平均管理成本。

設為自動檢測調節裝置統計的件數，本系統按順序檢查個零件出現的不合格品數，建立動態檢測模式，自動記錄按順序檢查的和個零件中出現的不合格品數，并且自動記錄工序正常時所檢測的零件個數，有以下四種情況：

⑴順序統計的個零件，次品率低于2%，認為工序正常，繼續生產；

⑵順序統計的個零件，次品率高于2%低于60%，但所有已檢查零件的次品率低于2%，認為工序正常，繼續生產；

⑶順序統計的個零件，次品率高于60%，但所有已檢查零件的次品率低于2%，認為工序正常，繼續生產；

⑷順序統計的個零件，次品率高于60%，并且所有檢查零件的次品率高于2%，認為工序故障，系統自動發出信號并進行調節。

若考慮到其它故障，我們將上述模型的假設條件改為：其它故障與刀具故障的發生相互獨立，其它故障服從于區間[0,22800]的均勻分布，該模型的表達式依然成立，只需遍歷其它故障的發生、刀具故障的發生以及第一次檢測出不合格品這三個事件的所有情況即可推出，只不過其形式相當復雜，有待于我們進一步完善。

4 模型的評價與改進

該模型通過對檢查間隔和換刀間隔進行遍歷搜索，得到了固定檢查間隔下的最優解。它是以單位期望效益為目標的更新報酬定理的改進與推廣，廣泛適合于自動化2的管理系統，對多道工序和多種零件的復雜車床管理系統有一定的指導意義。

[1]蔡俊.可靠工程學［M］.哈爾濱：黑龍江科學技術出版社，1990,2.

[2]沈玉波，馮敬海.可修系統的最優化檢測更新模型［J］.數學實踐與認識，1999,03.