Picard定理的一個教學注記

劉芝秀，易 敏

（南昌工程學院 理學系，江西 南昌 330099）

Picard定理的一個教學注記

劉芝秀，易 敏

（南昌工程學院 理學系，江西 南昌 330099）

在復變函數教學過程中一般都含有對著名的Picard大定理和小定理的介紹，甚至證明過程，但若未能明確指出Picard大定理與小定理的等價性，學生容易產生Picard小定理不蘊含大定理的錯誤猜測，這不利于學生對Picard定理以及學科發展的了解，它們其實是同樣深刻的等價定理。該文旨在強調這一點，并利用正規族理論中的Zalcman-Pang引理證明了Picard大定理和小定理的等價性。

Picard定理；亞純函數；正規族；模分布

0 引言

Picard定理是復分析中著名且深刻的結論，是亞純函數值分布方面的代表性結果，是復分析發展的一個重要原動力，證明它們產生了許多思想方法[1-3]。因此，大部分復分析方面教材（即使是入門教材）都對Picard定理進行了介紹。所以，在教學過程中也應該特別注意對Picard定理的介紹講解，應緊隨學科的發展狀況。它通常包含兩個定理：

Picard小定理：若整函數f(z)不取兩個復值a,b(a≠b)，則 f(z)為一個常數。

Picard大定理：解析函數在本性奇點的空心領域內無窮多次地取到每一個有窮復值，至多可能除去一個例外值。

這兩個定理在形式上差別甚大，人們分別冠名于Picard“大”定理與“小”定理。同時，也有部分文獻筆誤為Picard大定理是Picard小定理的推廣，是更強更深刻的結論。本來又有“大”定理與“小”定理的名稱之別，這在教學過程中，較容易給學生以錯覺，影響教學工作。事實上，這兩個定理是完全等價的。

明確這一點，得益于亞純函數正規族理論的發展，特別值得一提的是我國數學工作者對正規族理論的發展做了較多突出的貢獻[4-7]。正規族理論也有許多的應用。例如，在模分布中的應用研究就很活躍[8-11]，下文將利用正規族理論證明著名的Picard大小兩定理的等價性，這也正好表明了正規族理論在亞純函數值分布中很具有應用價值。更多關于正規族的概念和相關理論可參閱文獻[7]，下面僅敘述其中的兩個引理。

1 引理

引理1[7]設{f(z)}為區域D內的亞純函數族，這個族在D內正規的充要條件是它在D內每點正規。

引理2[12-13]（Zalcman-Pang）設{f(z)}為區域D內的亞純函數族，δ：-1＜δ＜1 為任一實數。族{f(z)}在某點Z0∈D正規的充要條件是存在一列函數fn(z)∈{f(z)},存在一點列zn→z0及一正數列tn→0，使函數列t-δnfn（zn+tnz）fn（z）∈{f(z)}在C上內閉一致收斂于非常數亞純函數g(z)。

2 等價性證明

2.1 Picard大定理證明Picard小定理：

設f(z)為一整函數，且不取a，b。

（1）若 0 是 g（w）的可去奇點，則 g（w）可解析開拓至擴充復平面C，即有f(z)=g（w）為常數。

（2）若 0是 g（w）的 m≥1 級極點，設 g（w）=++c0，cm≠0,則 f(z)=cmzm+…+c0,這與 f(z)不取 a，b 矛盾。

綜上所述f(z)為常數。

2.2 Picard小定理證明Picard大定理

2.2.1 Picard小定理證明Montel正規定則

Montel正規定則設{f(z)}為區域D內的全純函數族，若對于族中每個f(z)在D內恒有f(z)≠0和f(z)≠1，則全純函數族{f(z)}在區域D內正規。

證：假設{f(z)}為區域D內不正規，由引理1可設在Z0∈D不正規。

則由引理2并取δ=0可得，存在一列函數fn(z)∈{f(z)}，存在一點列 zn→z0及一正數列 tn→0，使函數列fn(zn+tnz)在C上內閉一致收斂于非常數亞純函數g(z)。

由于fn(zn+tnz)為全純函數，所以g(z)為整函數。根據 Hurwitz定理，因為 fn(zn+tnz)≠0和 fn(zn+tnz)≠1，所以g(z)≠0和 g(z)≠1，則由 Picard小定理得 g(z)=常數，矛盾。

2.2.2 Montel正規定則證明Picard大定理

設f(z)在z0有一個本性奇點，不妨設z0=0否則考慮函數f(z+z0)。假如存在R，使得有兩個數不在{f(z)：0＜|z|＜R}中，我們將得到一個矛盾。

假如 f(z)≠α，f(z)≠β，0＜|z|＜R，不妨設 α=0，β=1（否則考慮）,設 G=0：0＜|z|＜R。

定義：fn：G→C 為 fn(z)=(),所以每個fn都是解析的，且都不取0和1，由Montel正規定則，{fn}在G中是正規的。

設{fnk}是{fn}的一個子序列，fnk→φ 在{z：|z|=R}上是一致的。其中φ或者在G內是解析的，或者φ=∞。

所以至多有一個復數w1不被f取到。下面再證w2≠w1，被f無窮次取到。若w2只被f有窮多次取到，那么取充分小圓，即得到一個無心圓，在這個無心圓內，f不取到 w1、w2兩個值，矛盾。

[1]L.V.Ahlfors.Complex analysis[M].China Machine Press,2004.

[2]S.Gong.Concise complex analysis[M].University of Science&Technology China press,2009.

[3]J.B.Conway.Functions of one complexvariable[M].Berlin：Springer-Verlag,2004.

[4]L.Yang.Value Distribution theory [M].Spring-verlag Belin,1993.

[5]Y.X Gu.Normal family of meromorphic functions[M].Chengdu：Sichuan Education Press,1988.

[6]J.Schiff.Normal families[M].Berlin：Springer-Verlag,1993.

[7]Y.X.Gu,X.C.Pang,M.L.Fang.The theory of normal family and its application[M].Beijin：Sciencep,2007.

[8]M.L.Fang.A note on a problem of Hayman[J].Analysis,2000,20(1)：45-49.

[9]W.Bergweiler,X.C.Pang.On the derivative of meromorphic functions with multiple zero.

[9]W.Bergweiler,X.C.Pang.On the derivative of meromorphic functions with multiple zeros[J].J.Math.Anal.Appl.,2003,278(2)：285-292.

[10]Y.Xu.On the value distribution ofderivatives of meromorphic functions[J].Appl.Math.Lett.,2005,18(5)：597-602.

[11]Y.Xu.Picard values and derivatives of meromorphic functions[J].Kodai Math.J.,2005,28(1)99-105.

[12]X.C.Pang,M.L.Fang,L.Zalcman.Noraml families of holomorphic function with multiple zeros[J].Conf Geom Dyn,2007,11：101-106.

[13]X.J.Huang,Z.X.Liu.A Normal criterion concerning shared Values[J].Acta Math Scientia.2011,31：540–545.

（責任編輯：陳 輝）

A Teaching Note on Picard Theorem

LIU Zhi-xiu
(Science Department of Nanchang Institute of Engineering,Nanchang,Jiangxi,330099)

Generally,the introduction or even proof on Picard's celebrated theorem is included in the complex function teaching process.But if the teacher does not explicitly point out the equivalence of Picard big theorem and small theorem,students may easily produce wrong guess that the small theorem does not contain the big theorem.This is not conducive to the students’understanding of the Picard theorem as well as the development of the subject.Actually,they are the same equivalence effective theorem.The purpose of this paper is to emphasize this point of view and use the Zalcman-Pang lemma of normal family theory to prove the equivalence of Picard theorems.

Picard theorem;Meromorphic function;normal family;mold distribution

G642

A

123（2014）02-0045-03

2013-10-15

劉芝秀（1982-），女，四川自貢人，南昌工程學院，碩士，講師。研究方向：復分析及其應用。

易 敏（1963-），男，江西余江人，南昌工程學院，副教授。研究方向：應用數學。