Crack3D和ANSYS求解裂紋柱體的圣維南扭轉問題

湯昕燕， 丁蘭英

（南京農業大學 工學院，江蘇 南京 210031）

本文結合專業程序Crack3D［1］及通用軟件ANSYS，得到了一種新的計算帶裂紋柱體的圣維南扭轉問題的有限元方法，使用該方法對帶裂紋柱體的圣維南扭轉問題算例進行了計算，得到了應力強度因子、扭轉剛度D 和剪應力、等數值結果。

從數值結果看，該方法功能強大，可應用于帶裂紋柱體圣維南扭轉問題的求解。

1 圣維南扭轉問題

如圖1所示，Ωb為柱體的任意橫截面，Γ為Ω的邊界，x、y、z為截面的慣性主軸。這里沒有顯示oz軸，坐標原點o設置在下端橫截面Ωb的形心c處，扭轉力偶矩Mk作用于頂部截面Ωt上。

設柱體的長度為L，根據文獻［2］關于圣維南扭轉問題的理論，在直角坐標系（x，y，z）中，由于扭轉力偶矩Mk的作用，柱體的位移分量為：

其中，α為柱體單位長度的扭轉角，即扭率，可以由2個不同截面之間的相對扭轉角確定。

圖1 扭轉柱體的一般橫截面

設φ（x，y）為區域Ω上的一個平面調和函數，則扭轉剛度D為：

其中，μ為剪切彈性模量，μ＝E／2（1＋ν）。

2 有限元法求解圣維南扭轉問題

對任一截面取正方形截面，邊長a為20mm的柱體，頂部截面Ωt與底部截面Ωb之間的距離l為30mm，彈性模量E為100GPa，泊松比ν為0.3，初應力σy為100GPa。該柱體帶有一個邊裂紋，裂紋通過柱體軸線沿縱向貫穿，裂紋寬度為a／2。采用結合Crack3D和ANSYS的有限元方法求解該問題，具體步驟如下：

（1）通過ANSYS預處理器建立幾何模型［3］。網格的幾何模型使用8個節點塊單元［4］，如圖2所示，圖中Ω為中間截面。

圖2 正方形截面扭轉柱體

（2）使用主菜單／預處理／創建／節點／寫節點文件、主菜單／預處理／創建／單元／寫單元文件的GUI操作［5］，獲得Elems.dat和 Nodes.dat文件。

（3）將Elems.dat和 Nodes.dat文件輸入到專業程序Crack3D中的預編碼Mesh3D交互界面中，執行后可生成數據文件Crack3D.msh。

（4）運用 Elems.dat和 Nodes.dat文件，建立控制數據文件Crack3D.dat。

（5）將數據文件Crack3D.msh和Crack3D.dat輸入到專業程序Crack3D中的主編碼Crack3D交互界面中，執行后可獲得Crack3D.ans和Crack3D.res的數據結果。

（6）將數據文件Crack3D.ans輸入到專業程序Crack3D中的后編碼Post3D交互界面中，執行后可將Crack3D格式的數據結果轉換為ANSYS后處理器中的數據結果格式。

（7）在ANSYS后處理器中讀取數據文件Crack3D.res，可得到位移、應變和應力數據。

（8）從Crack3D.res文件中，提取出Ωt和Ωb截面上的節點位移ux（或uy），并將其代入（4）式中，即可計算得到α值。

（9）從Crack3D.res文件中，提取出中間截面Ω邊界Γ上的節點位移uz，并將其代入（5）式中，即可得到扭轉剛度D值。

若將D轉化為無量綱參數D／（μa4），則可與理論結果進行比較。

（10）從Crack3D.res文件中，提取出截面Ω邊界Γ 上的最大剪應力τ（τ1、τ2），并將其轉化為無量綱參數τ1／（αμa）、τ2／（αμa），可與理論值進行比較。

（11）從Crack3D.res文件中提取出節點的反作用力，并確定作用于頂端截面Ωt的扭矩Mk。通過截面Ω邊界Γ上的最大剪應力（或τ2），計算出無量綱參數并與理論值進行比較。

（12）對于圖2b中的截面Ω，從Crack3D.res文件中，提取出節點位移，則可計算出裂紋尖端的張開位移COD，代入（6）式中，即可得到裂紋尖端的應力強度因子［6］。

3 無裂紋的圣維南扭轉問題數值驗證

若不考慮帶裂紋的情況，利用ANSYS軟件將柱體自動劃分為正方形網格，邊長為2.5cm，根據Elems.dat和Nodes.dat文件，網格共包括1 536個單元和2 025個節點。

在中間截面Ω的邊界Γ上，一些特殊節點的編號如圖3所示。

將下端面上的節點（節點編號為6、14、22、29、57）在x、y軸方向固定，用以限制轉動，但允許在z軸方向產生位移。

圖3 無裂紋柱體中間截面Ω的邊界Γ上特殊節點

上端面在4個節點（節點編號為110、325、494、685）上施加位移載荷，ux＝0.02mm，uy＝－0.02mm，ux＝－0.02mm，uy＝－0.02mm。

使用上述方法求解，將節點位移ux、uz；剪應力、；反 力 Fx、Fy及 參 數α、D／（μa4）、τ／（αμa）、Mk／（τa3）的數值結果與理論值比較［7］，結果見表1、表2所列。

表1 Crack3D編碼計算參數值結果與理論值比較

表2 Crack3D編碼計算得到的部分節點數值結果

由表1、表2可以看出，新的有限元方法計算得到的數值結果與理論結果吻合較好，說明此方法求解扭轉問題是成功的。

4 新方法計算帶裂紋的圣維南扭轉問題

對于存在裂紋的情況，采用新的有限元方法計算應力強度因子。在該種情況下，中間截面Ω的邊界Γ上特殊節點編號如圖4所示。

將下端面上的節點（節點編號為627、1 626、1 126、6、1、2）在x、y軸方向固定，用以限制轉動，但允許在z軸方向產生位移。

上端面在5個節點（編號為646、1 670、1 146、146、50）上施加位移載荷，分別如下：ux＝0.02mm，ux＝0.02mm，uy＝0.02mm，ux＝－0.02mm，uy＝－0.02mm。

圖4 帶裂紋柱體中間截面Ω的邊界Γ上的特殊節點

使用上述方法求解該扭轉裂紋問題，ux、uz、、Fx、Fy數值結果見表3所列。

表3 使用新方法時Crack3D編碼計算得到的部分節點數值結果

經 計 算，α 為 2.452 3×10－5（°）／mm，D／（μa4）為1.105 1，τ／（αμa）為1.078 3，Mk／（τa3）為1.184 9為11.678 0N／mm3／2。據此可知帶裂紋柱體扭轉總位移變形情況，如圖5所示。

圖5 裂紋柱體扭轉總位移變形

5 結束語

本文采用結合Crack3D和ANSYS的有限元方法求解圣維南扭轉問題是成功的，可應用于實際計算中。同時，若將計算所得的裂紋柱體扭轉剛度和無裂紋柱體扭轉剛度數值結果取比值，即η＝Dw／＝0.508 3。其中，Dw為帶裂紋柱體扭轉剛度，為無裂紋柱體扭轉剛度。由比值可以看出，帶裂紋柱體的扭轉剛度幾乎是無裂紋柱體扭轉剛度的1／2，說明帶裂紋柱體扭轉剛度下降劇烈。

［1］Zuo Jianzheng，Deng Xiaomin，Sutton MA.User＇s manual and verifications in CRACK3Dversion 4.50［Z］.University of South Carolina，2007.

［2］Muskhelishvili N I.Some basic problems of the mathematical theory of elasticity［M］.Groningen，Netherlands：P Noordhoff，1953：424－429.

［3］胡于進，王璋奇.有限元分析及應用［M］.北京：清華大學出版社，2009：79－83.

［4］張洪信.有限元基礎理論與ANSYS應用［M］.北京：機械工業出版社，2008：158－163.

［5］張樂樂.ANSYS應用教程［M］.北京：清華大學出版社，2006：43－47.

［6］孫訓芳.斷裂力學教材［M］.北京：高等教育出版社，1980：63－67.

［7］錢偉長.彈性柱體的扭轉理論［M］.北京：科學出版社，1956：89－95.

［8］孫 欣.三維應力約束及厚度效應的有限元分析［J］.合肥工業大學學報：自然科學版，2008，31（7）：1101－1104.