撥“斜”為“正”，因動點產生的直角三角形解題策略

黃婷婷

因動點產生的直角三角形問題是中考試卷的考查熱點. 解決這類問題時，我們常常需要分三種情況討論，即究竟哪個角是直角.

一、 構造輔助線，借用相似解決問題

例1 （2013·山西省）如圖1，拋物線y=x2-x-4與x軸交于A、B兩點（點B在點A的右側），與y軸交于點C，連接BC，以BC為一邊，點O為對稱中心作菱形BDEC，點P是x軸上的一個動點，設點P的坐標為（m， 0），過點P作x軸的垂線l交拋物線于點Q.

（1） 求點A、B、C的坐標；

（2） 當點P在線段OB上運動時，直線l分別交BD、BC于點M、N. 試探究m為何值時，四邊形CQMD是平行四邊形，此時，請判斷四邊形CQBM的形狀，并說明理由；

（3） 當點P在線段EB上運動時，是否存在點Q，使△BDQ為直角三角形，若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

【思路點撥】

1. 第（2）題先用含m的式子表示線段MQ的長，再根據MQ=DC列方程. 要判斷四邊形CQBM的形狀，最直接的方法就是根據求得的m的值作一個準確的示意圖，先得到結論.

2. 第（3）題△BDQ為直角三角形要分兩種情況求解，一般過直角頂點作坐標軸的垂線可以構造相似三角形.

【解答過程】（1） 由y=x2-x-4=（x+2）（x-8），得A（-2，0），B（8，0），C（0，-4）.

【技巧說明】討論直角的時候，通常題目討論的直角三角形的兩條直角邊并不與坐標軸平行（如圖4），這時我們可構造如圖5的基本圖形，將∠ACB是不是直角的討論，轉化為討論△ACF與△CBE是否相似. 將斜著的線段AC、CB，轉化為平行于坐標軸的線段AF、CF、CE、BE.

二、 借用直徑所對的圓周角是直角，討論三角形有沒有可能是直角三角形

（1） 當k=-2時，求反比例函數的解析式；

（2） 要使反比例函數與二次函數都是y隨x增大而增大，求k應滿足的條件以及x的取值范圍；

（3） 設二次函數的圖像的頂點為Q，當△ABQ是以AB為斜邊的直角三角形時，求k的值.

【思路點撥】

1. 由點A（1，k）或點B（-1，-k）的坐標可以知道，反比例函數的解析式就是y=. 題目中的k都是一致的.

2. 由點A（1，k）或點B（-1，-k）的坐標還可以知道，A、B關于原點O對稱，以AB為直徑的圓的圓心就是O.

3. 根據直徑所對的圓周角是直角，當Q落在☉O上時，△ABQ是以直徑AB為斜邊的直角三角形.

【解答過程】（1） 因為反比例函數的圖像過點A（1，k），所以反比例函數的解析式是y=. 當k=-2時，所求解析式是y=-.

（2） 在反比例函數y=中，如果y隨x增大而增大，那么k<0，且x的范圍是（-∞，0）或（0，∞）.

當k<0時，拋物線的開口向下，在對稱軸左側，y隨x增大而增大.

【技巧說明】要判定∠AQB=90°，只需保證OQ=OA=OB即可，因為當OB=OQ、OA=OQ時，∠A=∠OQA，∠OBQ=∠OQB，即可證明∠AQB=90°. 這也是直角三角形常用的判定方法之一.

當然，討論直角三角形的時候，如果能設出三角形三個頂點坐標，也可以利用兩點間距離公式分別求出三角形三邊長，如果兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形.

（作者單位：江蘇省海安縣仇湖初級中學）

因動點產生的直角三角形問題是中考試卷的考查熱點. 解決這類問題時，我們常常需要分三種情況討論，即究竟哪個角是直角.

一、 構造輔助線，借用相似解決問題

例1 （2013·山西省）如圖1，拋物線y=x2-x-4與x軸交于A、B兩點（點B在點A的右側），與y軸交于點C，連接BC，以BC為一邊，點O為對稱中心作菱形BDEC，點P是x軸上的一個動點，設點P的坐標為（m， 0），過點P作x軸的垂線l交拋物線于點Q.

（1） 求點A、B、C的坐標；

（2） 當點P在線段OB上運動時，直線l分別交BD、BC于點M、N. 試探究m為何值時，四邊形CQMD是平行四邊形，此時，請判斷四邊形CQBM的形狀，并說明理由；

（3） 當點P在線段EB上運動時，是否存在點Q，使△BDQ為直角三角形，若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

【思路點撥】

1. 第（2）題先用含m的式子表示線段MQ的長，再根據MQ=DC列方程. 要判斷四邊形CQBM的形狀，最直接的方法就是根據求得的m的值作一個準確的示意圖，先得到結論.

2. 第（3）題△BDQ為直角三角形要分兩種情況求解，一般過直角頂點作坐標軸的垂線可以構造相似三角形.

【解答過程】（1） 由y=x2-x-4=（x+2）（x-8），得A（-2，0），B（8，0），C（0，-4）.

【技巧說明】討論直角的時候，通常題目討論的直角三角形的兩條直角邊并不與坐標軸平行（如圖4），這時我們可構造如圖5的基本圖形，將∠ACB是不是直角的討論，轉化為討論△ACF與△CBE是否相似. 將斜著的線段AC、CB，轉化為平行于坐標軸的線段AF、CF、CE、BE.

二、 借用直徑所對的圓周角是直角，討論三角形有沒有可能是直角三角形

（1） 當k=-2時，求反比例函數的解析式；

（2） 要使反比例函數與二次函數都是y隨x增大而增大，求k應滿足的條件以及x的取值范圍；

（3） 設二次函數的圖像的頂點為Q，當△ABQ是以AB為斜邊的直角三角形時，求k的值.

【思路點撥】

1. 由點A（1，k）或點B（-1，-k）的坐標可以知道，反比例函數的解析式就是y=. 題目中的k都是一致的.

2. 由點A（1，k）或點B（-1，-k）的坐標還可以知道，A、B關于原點O對稱，以AB為直徑的圓的圓心就是O.

3. 根據直徑所對的圓周角是直角，當Q落在☉O上時，△ABQ是以直徑AB為斜邊的直角三角形.

【解答過程】（1） 因為反比例函數的圖像過點A（1，k），所以反比例函數的解析式是y=. 當k=-2時，所求解析式是y=-.

（2） 在反比例函數y=中，如果y隨x增大而增大，那么k<0，且x的范圍是（-∞，0）或（0，∞）.

當k<0時，拋物線的開口向下，在對稱軸左側，y隨x增大而增大.

【技巧說明】要判定∠AQB=90°，只需保證OQ=OA=OB即可，因為當OB=OQ、OA=OQ時，∠A=∠OQA，∠OBQ=∠OQB，即可證明∠AQB=90°. 這也是直角三角形常用的判定方法之一.

當然，討論直角三角形的時候，如果能設出三角形三個頂點坐標，也可以利用兩點間距離公式分別求出三角形三邊長，如果兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形.

（作者單位：江蘇省海安縣仇湖初級中學）

因動點產生的直角三角形問題是中考試卷的考查熱點. 解決這類問題時，我們常常需要分三種情況討論，即究竟哪個角是直角.

一、 構造輔助線，借用相似解決問題

例1 （2013·山西省）如圖1，拋物線y=x2-x-4與x軸交于A、B兩點（點B在點A的右側），與y軸交于點C，連接BC，以BC為一邊，點O為對稱中心作菱形BDEC，點P是x軸上的一個動點，設點P的坐標為（m， 0），過點P作x軸的垂線l交拋物線于點Q.

（1） 求點A、B、C的坐標；

（2） 當點P在線段OB上運動時，直線l分別交BD、BC于點M、N. 試探究m為何值時，四邊形CQMD是平行四邊形，此時，請判斷四邊形CQBM的形狀，并說明理由；

（3） 當點P在線段EB上運動時，是否存在點Q，使△BDQ為直角三角形，若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

【思路點撥】

1. 第（2）題先用含m的式子表示線段MQ的長，再根據MQ=DC列方程. 要判斷四邊形CQBM的形狀，最直接的方法就是根據求得的m的值作一個準確的示意圖，先得到結論.

2. 第（3）題△BDQ為直角三角形要分兩種情況求解，一般過直角頂點作坐標軸的垂線可以構造相似三角形.

【解答過程】（1） 由y=x2-x-4=（x+2）（x-8），得A（-2，0），B（8，0），C（0，-4）.

【技巧說明】討論直角的時候，通常題目討論的直角三角形的兩條直角邊并不與坐標軸平行（如圖4），這時我們可構造如圖5的基本圖形，將∠ACB是不是直角的討論，轉化為討論△ACF與△CBE是否相似. 將斜著的線段AC、CB，轉化為平行于坐標軸的線段AF、CF、CE、BE.

二、 借用直徑所對的圓周角是直角，討論三角形有沒有可能是直角三角形

（1） 當k=-2時，求反比例函數的解析式；

（2） 要使反比例函數與二次函數都是y隨x增大而增大，求k應滿足的條件以及x的取值范圍；

（3） 設二次函數的圖像的頂點為Q，當△ABQ是以AB為斜邊的直角三角形時，求k的值.

【思路點撥】

1. 由點A（1，k）或點B（-1，-k）的坐標可以知道，反比例函數的解析式就是y=. 題目中的k都是一致的.

2. 由點A（1，k）或點B（-1，-k）的坐標還可以知道，A、B關于原點O對稱，以AB為直徑的圓的圓心就是O.

3. 根據直徑所對的圓周角是直角，當Q落在☉O上時，△ABQ是以直徑AB為斜邊的直角三角形.

【解答過程】（1） 因為反比例函數的圖像過點A（1，k），所以反比例函數的解析式是y=. 當k=-2時，所求解析式是y=-.

（2） 在反比例函數y=中，如果y隨x增大而增大，那么k<0，且x的范圍是（-∞，0）或（0，∞）.

當k<0時，拋物線的開口向下，在對稱軸左側，y隨x增大而增大.

【技巧說明】要判定∠AQB=90°，只需保證OQ=OA=OB即可，因為當OB=OQ、OA=OQ時，∠A=∠OQA，∠OBQ=∠OQB，即可證明∠AQB=90°. 這也是直角三角形常用的判定方法之一.

當然，討論直角三角形的時候，如果能設出三角形三個頂點坐標，也可以利用兩點間距離公式分別求出三角形三邊長，如果兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形.

（作者單位：江蘇省海安縣仇湖初級中學）