多部件耦合包裝系統逆子結構分析一般性理論

王 軍， 王志偉， 盧立新， 陳安軍

(1. 江南大學 機械工程學院， 江蘇 無錫 214122；2. 江蘇省食品先進制造裝備技術重點實驗室(江南大學)， 江蘇 無錫 214122；3. 暨南大學 產品包裝與物流廣東普通高校重點實驗室， 廣東 珠海 519070)

包裝動力學經過多年的發展已形成以產品脆值與破損評價理論、包裝系統動態優化設計為主要構成的新興交叉性學科[1]。然而，傳統的理論基礎多是基于單自由度假設，與實際產品包裝系統大都是多自由度包裝系統的實際不相符合[2-4]。近年來，從耦合系統FRF反向預測部件FRF的頻域逆向子結構分析方法引起了學術界的廣泛興趣。這種興趣一方面由于部件FRF是頻域子結構分析的基礎，對諸如部件本身極其脆弱，或在耦合狀態與自由狀態存在較大差異的部件FRF往往難以通過實驗的方法直接或精確測試。另一方面，來源于其在診斷和振動控制領域的巨大應用潛力是逆向子結構方法迅速發展的又一推動力。例如，對不可拆分部件在線狀態的動態特性進行監控和評價，或對局部更改設計的部件的FRF辨識及耦合系統模型修正問題等。目前頻域逆向子結構方法主要包括三類：逆耦合技術(Inverse Coupling Techniques) 、直接解耦技術(Direct Decoupling Techniques) 和逆子結構技術(Inverse Sub-Structuring Method)。

逆耦合技術主要是基于頻域子結構的方法，通過矩陣求逆運算找到待求部件的FRF與系統水平FRF以及剩余部件FRF的關系，例如阻抗法(Impedance approach)[5-6]、導納法(Mobility approach)[5-6]、約束力法(Constraint force approach)[7]等。直接解耦技術則基于“待求部件= 系統-剩余部件”的思想，通過構建一虛擬子系統，使其具有剩余部件相反的剛度，并且滿足相容性條件和力平衡條件，通過耦合系統及虛擬子系統的動態平衡條件、界面自由度的變形協調條件、界面自由度約束力平衡條件等解析待求部件FRF[8-9]。目前亟待解決的問題主要包括，因模態截斷[5]、界面連接自由度的完整性[6]、特殊頻率附近的病態問題[7]等導致的不同程度的計算精度、效率和結果可靠性問題等。逆子結構方法則完全由系統水平FRF反向預測各部件FRF及部件間耦合動剛度[10-11]，屬于從系統水平分解到子結構水平的問題，由于避免了模態的分析與綜合計算，其工程應用簡便、計算高效、誤差相對較低、中低頻范圍精度較高[12]，適用于預載條件下不可拆分子結構及其耦合結構環節的動態分析，以及復雜耦合結構系統動態特性的評價和診斷。隨后， Wang等[13]將逆子結構理論引入運輸包裝耦合系統的動態特性分析與設計，預測了主要部件水平的動態傳遞特性，并實驗驗證，初步奠定了逆子結構理論包裝應用的基礎。王軍[14]在此基礎上進一步發展了一種基于分步解耦的逆子結構分析方法，準確獲取了關鍵部件、產品主體、運載體三個子系統的部件水平的動態傳遞特性。然而，這種分步解耦的方法隨著部件數目的增多，測量的工作量急劇增加，效率降低，且由于累積求逆等引發誤差問題，因而制約了其在多部件耦合集裝化包裝運輸系統動態響應分析中的應用。為此，本文旨在建立多部件耦合系統逆子結構分析的一般理論方法。

1 多部件耦合系統逆子結構分析一般方法

對多部件耦合系統而言，部件水平FRF主要包含三組：從界面自由度激勵到相同界面自由度響應的FRF、從界面自由度激勵到內部自由度響應的FRF、從一個界面自由度激勵到另一界面自由度響應的FRF，其中最后一組FRF和從界面自由度激勵到內部自由度響應的FRF具有完全類似的形式，因為本質上這類FRF可歸并為從界面自由度激勵到內部自由度響應的FRF。

圖1 多部件耦合系統

1.1 理論推導各耦合界面從耦合界面自由度激勵到耦合界面自由度響應的部件水平FRF及耦合動剛度預測的逆子結構公式

一方面，對各部件隔離約束，進行單獨分析，應用動力學平衡條件，得到各部件耦合點激勵到響應的FRF，以第k處連接對應的兩部件為例，可以很容易得到：

(1)

類似的方程組總共有N-1個，其中c(u),c(d)為第k處耦合兩部件耦合點。

由此可解得：

(2)

另外，對于耦合系統，列出其運動學方程，

{Xs}=[Hs]{Fs}

(3)

由式(3)得到

(4)

比較式(2)、式(4)，[g1]只包含部件水平FRF及耦合動剛度，[g2]只包含系統水平FRF，據此可以解得各耦合界面從耦合界面自由度激勵到耦合界面自由度響應的FRF及耦合動剛度預測的逆子結構公式。

1.2 理論推導從界面自由度激勵到內部自由度響應的部件水平FRF預測的逆子結構公式

對于從界面自由度激勵到內部自由度響應的部件水平FRF計算，需要結合動態子結構預測公式，利用上述已求得的部件水平FRF及耦合動剛度，解析出待求的部件水平FRF。為此，可以首先由(3)式，將其表示為各部件FRF、激勵外力、耦合點FRF及約束反力的關系：

(5)

其中，

(6)

由位移協調條件和力平衡條件得到各耦合點約束反力Rc(k)：

{Rc(k)}=[Kc(k)]({Xk+1}c(u)-{Xk}c(d))

(7)

其中，[Kc(k)]表示動剛度，將各耦合點處的約束反力矩陣{Rc}({Rc}是各處{Rc(k)}組成的整體。)表示為激勵外力，并用部件水平FRF及耦合動剛度表達轉換矩陣[R]:

{Rc}=[R]{Fs}

(8)

綜上式(5)～式(8)，得到系統水平FRF與部件FRF及耦合動剛度的關系

[Hs]=f([Hsub],[Hc],[Kc])

(9)

由式(9)進行矩陣求逆運算，并結合上述求得的部件水平FRF及耦合動剛度，可得到從界面自由度到內部自由度的部件水平FRF預測的逆子結構公式。

式(9)本質上為多部件耦合系統子結構分析的一般化公式，也是獲取多部件耦合系統逆子結構分析計算公式的關鍵。

不失一般性，以圖1所示的任意多部件耦合系統為例，導出系統FRF與部件FRF的映射關系。

對于多部件耦合系統而言，其運動學方程可寫作：

(10)

將式(8)展開，即：

{Rc}={Rc(1)…Rc(k)…Rc(N)}T

(11)

[R]={[R1] … [Rk] … [RN]}T

(12)

據此，可以得到各耦合點約束反力和外力的映射關系，

{Rc(k)}=[Rk]{Fs}

(13)

將(13)式代入(10)式，由(10)式求解各處位移響應，并將其代入(7)式，得

[A]{Rc}=[B]{Fs}

(14)

其中，

(15)

(16)

據此，可以得到轉換矩陣[R]，即:

[R]=[[R1]…[Rk]…[RN]]T=[A]-1[B]

(17)

將式(17)代入式(7)再代入式(10)，可得到系統FRF與部件FRF的映射關系。

2 算例

以四部件單點耦合系統為例，按照上述解法求解從系統水平FRF反向計算部件水平FRF及部件間耦合動剛度的逆子結構理論公式。

圖2 四部件單點耦合系統模型

首先，由(1)～(4)式得：

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

再由兩部件耦合系統逆子結構方法[6]，得到：

(24)

(25)

(26)

將式(18)～(26)代入(10) 式，得：

HA,o(a)c1(a)=

(27)

(28)

(29)

HD,c3(d)i(d)=

(30)

其中，

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

3 數值仿真

采用集總參數模型驗證上述理論，模型如圖3所示，模型參數見表1。將系統劃分為A，B，C，D四個部件，如圖所示。

分別計算系統傳函及各部件傳函，應用(18)～(42)式計算A，B，C，D四個部件的部件水平FRF及部件間耦合連接的動剛度，并將結果與直接計算的部件水平FRF對比，預測值與給定值完全吻合，如圖4所示，從而驗證了所建立理論的正確性。

圖3 集總參數模型

表1 集總參數模型參數

圖4 部件水平傳遞函數及耦合界面動剛度預測值與計算值對比

4 結 論

建立了多部件耦合系統逆子結構分析的一般方法，得到了從系統水平傳函反向計算各耦合部件傳函及部件間耦合動剛度的理論公式，采用集總參數模型驗證了所建立理論的正確性，研究結果對多部件耦合包裝系統的動態特性分析具有一定價值。

(1) 基于子結構理論，提出了一種由系統水平傳函反向預測部件傳函的逆子結構分析一般方法；

(2) 采用集總參數模型對所建立的方法進行了數值驗證。

參 考 文 獻

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