高中數(shù)學(xué)變式教學(xué)的探索

王才正

(浙江省溫嶺市松門中學(xué)，浙江 溫嶺 317511)

教育的目的是促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展，而教學(xué)方法的合理選擇是實現(xiàn)這個目的根本保障。變式教學(xué)是數(shù)學(xué)學(xué)科在不同課型中選擇較多的一種方式，其目的是提升學(xué)生的思維品質(zhì)和能力，不同的教育理念和方式，會有不同的結(jié)果。為此，筆者從自己的教學(xué)感悟到，要讓自己的“變式教學(xué)”合理、科學(xué)，適合學(xué)生實際，我們必須研究學(xué)生，研究變式教學(xué)的特點，從課堂教學(xué)實際意義和價值去探索變式教學(xué)的內(nèi)在規(guī)律，讓“變式教學(xué)”成為學(xué)科興趣的培育沃土，問題解決的策略臺階；讓“變式教學(xué)”為拓展學(xué)生的思維視野的廣闊天地，提升學(xué)生的理性思辨力的有效手段。本文以自己對圓錐曲線的教學(xué)體驗，探索對變式教學(xué)的一些認(rèn)識，原與同行們共勉。

1 調(diào)起點，以本為“本”自然做實“求變”臺階

很多高三教師都深有體會：“以本為‘本’”，才是我們最好的教育策略。在教學(xué)中，若注重對課本習(xí)題進(jìn)行變式訓(xùn)練，給學(xué)生一定的臺階，讓學(xué)生變，讓學(xué)生解，讓學(xué)生用，不但可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性、主動性，加深學(xué)生對基礎(chǔ)知識的理解和掌握，而且還可以使學(xué)生舉一反三,提高學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用能力，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新、探究能力， 提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，進(jìn)而快樂地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。現(xiàn)在的教學(xué)資源很豐富，隨處可得，該用哪些資料，有時教師和學(xué)生很難定奪，特別是不時會忘記了最正宗的還是課本。根據(jù)幾年的高中教學(xué)經(jīng)驗認(rèn)為教師所選用的習(xí)題應(yīng)“源于課本”然后對它進(jìn)行變式，使它“高于課本”，變式要以“考綱為綱”，以“學(xué)生為本”。

以在選修2-1的第二章節(jié)上完后，章節(jié)小結(jié)復(fù)習(xí)前的一節(jié)準(zhǔn)備性習(xí)題課為案例進(jìn)行論述。

例1：(課本選修2-1，P73習(xí)題2.4．由學(xué)生獨立完成，3分鐘)直線y=x-2與拋物線y2=2x相交與兩點，求證：OA⊥OB。

編者意圖：作為解析幾何的精髓——坐標(biāo)法，由“設(shè)點”開始，將幾何問題坐標(biāo)化，通過合理轉(zhuǎn)化問題形式及相關(guān)代數(shù)運算，研究解決幾何問題。無疑這一核心知識的要點：熟悉模塊的問題模型(交點模型)，認(rèn)知“問題解決”的思維策略(數(shù)形結(jié)合)，感悟“合情推理”之上策。本題很好地詮釋了這一命題原則。

課堂上，在學(xué)生完成課本習(xí)題的基礎(chǔ)上，讓他們總結(jié)了解決方法特點與關(guān)鍵之處(韋達(dá)定理運用)，并給了下列“變式”以進(jìn)一步體會、感悟這一思想方法和精髓。

變式1： 已知拋物線x2=2py(p>0)，直線l過點M(0，2p)，且與拋物線相交于A(x1,y1)和B(x2,y2)兩點。求證：OA⊥OB。巡視了幾分鐘后，讓學(xué)生回答獨立完成情況。

生1： 根據(jù)“交點模型”的需要，我們先設(shè)了AB直線方程為y=kx+2p，…(即解法1)。

解法1 設(shè)AB直線方程為y=kx+2p，與x2=2py(p>0)聯(lián)立后，消去y，得：x2-2pkx-4p2=0，則x1x2=-4p2，

x1+x2=2pk……①

y1y2=(kx1+2p)(kx2+2p)

=k2x1x2+2pk(x1+x2)+4p2……②

生2： 發(fā)現(xiàn)A、M、B三點共線，由向量共線的坐標(biāo)可得出字母關(guān)系，…(即解法2)。

則-x1(y2-2p)-x2(2p-y1)=0，利用點A、B在y=x2/2p，消去y1、y2.得：x1x2=-4p2,y1y2=4p2.以下步驟解法1。

師：同學(xué)們解答的很好，在拋物線問題中點坐標(biāo)的單參設(shè)法也往往會簡化運算，如果設(shè)A(2px1,2py1)，B(2px2,2py2)運算更為簡便，大家下去后，可再試試！

師：大家通過同一問題中的三種不同“設(shè)點”處理，發(fā)現(xiàn)在以“拋物線”為曲線背景的問題中，每種設(shè)法各有優(yōu)缺點，合理選擇對運算量會產(chǎn)生直接的影響，也可以設(shè)直線方程用韋達(dá)定理。當(dāng)然，一個數(shù)學(xué)高手不但會解題，還要會想題、變題．誰能說此題與原題的區(qū)別在哪？

生4：條件的字母化，還有直線方程不知，交點模型中方程是必須的。

生5：不一定要直線AB的方程，如“生2”解法，用向量的共線知識也行。

生6：我感覺用什么方法不是問題，關(guān)鍵是要想到將“OA⊥OB”，如何轉(zhuǎn)化成“坐標(biāo)化”關(guān)系：xx2+y1y2=0，再根據(jù)此式特點，結(jié)合問題條件特點，進(jìn)一步尋求關(guān)系。

師：有點高手交流“過招”的意思，那么，誰能把這問題“變一變”，讓大家看看，我們會怎么想？

生6：這方便呀，把條件與結(jié)論交換一下，就行了，即：

變式2： 已知拋物線:x2=2py(p>0)上A、B，是異于原點O的兩點，滿足OA⊥OB，求證：直線AB過定點，并求此定點坐標(biāo)。

師：這是原命題的什么命題，正確嗎？請大家試試，看能否完成對其正確性的證明？

生2：設(shè)AB直線方程為y=kx+b與x2=2py(p>0)聯(lián)立消y利用韋達(dá)定理得結(jié)論。

∴x1x2=-2kb=-4p2，∴b=2p。當(dāng)k不存在時，易得b=2p，∴直線ABAB過定點(0,2p)。

點評：拋物線問題中“設(shè)點”方式有如此之變，且對計算量直接相關(guān)，那么，橢圓，雙曲線問題中行嗎？學(xué)生常常會這樣想，特別是理科生，一是所遇橢圓為背景的問題多，二是自信自己的計算能力，只有經(jīng)歷了，明確了因這里的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)是可以不“開方”，就能表示的，但在橢圓和雙曲線就無法，只能設(shè)直線方程，用“參數(shù)”來表示了。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開解題，于是，解題教學(xué)成了數(shù)學(xué)教學(xué)中的一種極為重要的教學(xué)模式。如何駕馭解題教學(xué)的課堂，不僅直接反映教師的專業(yè)水平，也直接影響到學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣與水平。因為我們不是為了解題而學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，我們是通過解題而獲得思維的某種方式而提高解決問題的能力。于是，變式訓(xùn)練——圍繞數(shù)學(xué)課本習(xí)題的合理組織、運用與思維方法的不斷深化來展開，努力營造一種寬松、民主，積極向上的課堂氛圍，并引領(lǐng)學(xué)生學(xué)會變式地處理問題的方式，獲得勇于探索、創(chuàng)新的良好思維習(xí)慣。

2 重自悟，圍繞“興趣、解決策略”提升“求變”意識

美國數(shù)學(xué)教育家波利亞曾形象的指出：“好問題同某種蘑菇有些相像，它們都成堆地生長，找到一個以后，你應(yīng)當(dāng)在四周找一找，很可能四周就有好幾個。”

我們再看例1(簡稱原題)，原題→變1，它是由數(shù)字向字母變化，使問題“一般化”了，但解決策略未變，手法未變；變1→變2時，問題的結(jié)構(gòu)反轉(zhuǎn)了一次，它是一種“命題結(jié)構(gòu)”的自然變化，也就是說問題的層次未有改觀。為此，為了激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣，體會問題的解決策略，我對題中兩個條件：①過原點，②OA⊥OB，向?qū)W生提出質(zhì)疑——對于題目中的條件，能否“放寬”一點，你認(rèn)為改變后，會變成新的問題嗎？有何發(fā)現(xiàn)呢？

于是，學(xué)生根據(jù)自己的學(xué)習(xí)過程的“經(jīng)驗”，稍稍地“移植”到了這里，作有一次有益的嘗試：(巡視中，我與學(xué)生交流)

生：若將原點O變成拋物線上任意的一個定點M(x0,y0), 直線AB還過定點嗎?

生：能將OA⊥OB，改成斜率的其它關(guān)系呢？∵垂直，就是斜率之積為-1呀？

師：把你們的變化問題給我看看，顯然，這是基于上述質(zhì)疑所生之變式：

變式3：已知拋物線C：x2=2py(p>0)過點M(x0,y0)，作MA⊥MB，A，B在拋物線C上，求證：直線AB過定點，并求定點坐標(biāo)。

變式4：已知拋物線:x2=2py(p>0)，過點M(x0,y0)，作直線MA，MB，交拋物線于A，B，若MA，MB的斜率存在，且互為相反數(shù)。求證：直線AB的斜率為定值。

點評：課上也許沒有時間來具體求解，但這種對數(shù)學(xué)的自我領(lǐng)悟和興趣，是無法用其它來代替的，特別是問題的探究能力，即景生成效果，是無法用其它形式所代替的。

師：(我臨時打開了投影儀，將“變式3、4”展示在屏幕)，時間有限，先請大家集中屏幕上，變得如何？“變式3”將原題中的“特殊點”改為“一般點”，這“由特殊到一般”的思考問題的方法，我們經(jīng)常遇見，在數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識中，更是“比比皆是”；“變式4”將原題中的“垂直”改為“斜率互為相反數(shù)”。變的好，高手，實在是高，真的有點高手的水平！

生：(眾笑)高，是高，但這類“定點、定值”問題，咱——

師：怎么，沒有信心嗎？讓我親自解一個(他們畢竟才高二)，想考考我是吧！好了，咱來解一個，你們得解一個——請注意，我是怎么想到的？

點評：興趣和信心，這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，影響學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的兩個非常重要的“非智力”因素，新課程的“三維目標(biāo)”之一，常常會被教師的“講題目”所“丟失”了，而這一教學(xué)片斷，無疑對“情感目標(biāo)”的落實，完全融于無形之中。毫無疑問，在這“情感目標(biāo)”營造的氛圍之下，學(xué)生注意力的高度集中，思維的極度興奮，教師的激情也完全被點燃，課堂“出彩”也就自然而然了。(以下是學(xué)生給出的變式5，及解法，以此佐證這一說法！)

∴直線PA，PB的斜率互為相反數(shù)。

點評：圓錐曲線問題的運算量大，綜合性強，方法靈活多樣，學(xué)生對解圓錐曲線題目都有一種害怕和厭惡，教師如何通過課堂教學(xué)提高學(xué)生的興趣，信心尤為重要。上面三個變式從特殊到一般，類比問題和逆命題的考察等，以圍繞“興趣、解決策略”提升“求變”意識，對提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性、主動性，加深學(xué)生對基礎(chǔ)知識的理解和掌握，而且還可以使學(xué)生舉一反三，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用能力，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)圓錐曲線的興趣、熱情、信心。

3 講實效，圍繞核心知識、方法凸顯“求變”原理

從課本出發(fā)，在核心知識、方法中暢游，作為學(xué)習(xí)的引路人，要懂得——教師需題海中“暢游”，而學(xué)生應(yīng)該在題海“拾貝”——的道理，教學(xué)中，教師的職能，是最大限度地讓學(xué)生學(xué)會在核心知識與方法的支撐下，真正地體會解決問題的策略與變化本質(zhì)，不可以讓學(xué)生沉湎于“題海”之中。為此作為本題的“橫向變式”，給學(xué)生提出了一個思考問題，并給出了相應(yīng)的“變式6”：

思考：將上述拋物中成立的問題，能推廣到橢圓中成立嗎？

試題分析設(shè)問：①本問題的已知條件、結(jié)論是什么？②證明“充要條件”要證什么命題，你有這方面的經(jīng)驗嗎？③本問題與我們常見的“交點模型”對比，我們現(xiàn)在急需什么？④能出一個圖幫助思考一下嗎？

解：(必要性)

設(shè)直線PA的方程為：y-y0=k(x-x0)，

則直線PB的方程為：(由學(xué)生回答)

(此處質(zhì)疑：橢圓方程為何這樣？)

(b2+a2k2)x2+2ka2(y0-kx0)x+a2(y0-kx0)-a2b2=0

(此處質(zhì)疑：往下應(yīng)該做咱？由學(xué)生寅出)

(此處“同理”，具體怎么得來？)

同理可得(充分性)

點評：圓錐曲線的本質(zhì)是用代數(shù)方法解決幾何問題，代數(shù)方法就是利用方程和函數(shù)、不等式等，在解題中，通法是“交點模型”，其“程序化”程度較高→聯(lián)立方程、消元、設(shè)點(設(shè)而不求)、“Δ”與“韋達(dá)定理”，至此，再根據(jù)“設(shè)問”變化。比如在這道題目中的運算量是比較大的，但靈活的應(yīng)用韋達(dá)定理就可以避免去解點的坐標(biāo)，這對簡化運算，提高計算的正確率是很有幫助的。這種“程序化”較高的模型化思維方式，對學(xué)生來說，需要知道其問題于其中所凸顯的“求變”原理。其實，高中數(shù)學(xué)問題中，這種認(rèn)知模型是比較多的——利用函數(shù)、不等式可以解決范圍；利用導(dǎo)數(shù)可以解決拋物線的切線；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用類的等等，所以在解決圓錐曲線問題中要數(shù)形結(jié)合，用好代數(shù)工具。通過變式教學(xué)，問題探究，讓學(xué)生掌握解決圓錐曲線的通法和處理運算過程的一些基本運算、推理能力，把學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣激發(fā)出來，充分發(fā)揮學(xué)生自身的主觀能動性，強化創(chuàng)新意識，在探索中求進(jìn)步，在學(xué)習(xí)中找經(jīng)驗，在學(xué)習(xí)中找快樂．學(xué)生也就有興趣有信心去算下去，這樣對培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣、熱情、信心和培養(yǎng)學(xué)生的計算能力和意志力是很有幫助的。

4 善拓展，圍繞“思維方式與能力”回歸“求變”真諦

在高考的圓錐曲線題目中對學(xué)生的思維和綜合的分析能力，解決能力的要求都比較高，但能力不可能靠教師的講解來“輸入”提高。“問題的演變”與“解后的反思”，是最為常規(guī)和理想的能力提速器。為此，我明確地告訴學(xué)生，下面問題，是2010年清華自主招生的一道難題．如果知道上面規(guī)律，那么這道難題，也就不那么難了！

問題：(2010年清華自主)

∠DAE=∠DAF=45°，所以ΔABC為直角三角形。

點評：學(xué)生對重要考試的考題都有一種好奇和向往，而在高考的圓錐曲線題目中對學(xué)生的思維和能力的要求是非常高的，這就要求學(xué)生在掌握通法的基礎(chǔ)上學(xué)會對問題解決策略的分析，反思和總結(jié)。

總之，圓錐曲線是高中教學(xué)很重要的一部分內(nèi)容，計算量大，蘊藏的數(shù)學(xué)思想方法多，一直是學(xué)生較難掌握的部分，學(xué)生學(xué)習(xí)積極性或者不高，或者積極性有但效率不高。通過課堂上的變式教學(xué)是提高學(xué)生的“類比、移植”能力，提高課堂效率和學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性的一種非常有效的途徑。在數(shù)學(xué)習(xí)題變式教學(xué)中，習(xí)題的變式要緊扣《考試說明》，要以考綱為“綱”進(jìn)行“變”；不要“變”出一些偏離考綱的“繁、難、雜”題目來浪費學(xué)生的寶貴的學(xué)習(xí)時間，挫傷學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。多研究如何從“課本習(xí)題”出發(fā)，課本是專家們的“心血”，往往隱藏著很多“道理”，需要我們?nèi)ヮI(lǐng)會和研究、挖掘它。變式教學(xué)雖然有點兒“傳統(tǒng)”，但我們只要立足于學(xué)生的“學(xué)”，實踐證明它仍然是一種能適應(yīng)新課程改革的“優(yōu)化”學(xué)生學(xué)習(xí)方式的教學(xué)模式，特別是讓學(xué)生參與“變式”之中，同樣有利于學(xué)生自然地接受知識吸收消化知識，有利于學(xué)生思維和解決問題能力的提高，關(guān)注了學(xué)生個性的發(fā)展，這符合新課程理念中提出的關(guān)注學(xué)生個體的發(fā)展理念。更重要的是通過變式教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生敢于思考，敢于聯(lián)想，敢于懷疑的品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生自主探究能力與創(chuàng)新精神，學(xué)生在無窮的變化中領(lǐng)略數(shù)學(xué)的魅力，在“奇妙”的演變中體會數(shù)學(xué)的快樂。