例談初中數(shù)學分式方程中的無解和有增根

姚宏彪

一、初中數(shù)學分式方程特點

分式方程，即等號兩邊含有未知數(shù)的有理方程，是方程中的一種。一般而言，未知數(shù)至少要有一個。分式方程在解法上主要有三個步驟。

第一步，去分母。通過將分式方程兩邊同時乘以最簡公分母，即各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次冪的積作，從而化為整式方程。

第二步，進行移項。當出現(xiàn)括號時，首先要去括號，進而合并同類項，化系數(shù)，最后求出未知數(shù)的值。

第三步，驗根。在求出未知數(shù)的值后，再進行驗根。在驗根時，首先用最簡分母替換整式方程的根，這時會出現(xiàn)兩種情況：當最簡公分母為0時，此根為增根；當最簡公分母不為0時，此根即為原分式方程的根。

二、初中數(shù)學分式方程中的無解和有增根

分式方程無解，即指在一定的范圍內，不論未知數(shù)取何值，都不能滿足該方程。初中數(shù)學分式方程無解主要包含兩種情況。增根，即當分式方程化為整式方程后，出現(xiàn)整式方程的根使得最簡公分母為零的情況，這個根即為原分式方程的增根。在分式方程中，當未知數(shù)為零時，此時原分式方程沒有意義，因此不允許未知數(shù)為零。換言之，分式方程本身就隱含著分母不為零的條件。當分式方程轉化為整式方程后，整式方程中未知數(shù)值的范圍被擴大了。當轉化后的整式方程出現(xiàn)其根的取值不在原方程未知數(shù)的允許值之內的現(xiàn)象，即產生了增根。

結合分式方程的特點，初中數(shù)學分式方程中的無解與有增根，主要可以從三個方面來闡述。

當原方程兩邊同時乘以最簡公分母后，轉化為整式方程時，整式方程為一元一次方程，通過解整式方程，發(fā)現(xiàn)整式方程無解，同時原分式方程沒有產生增根。

現(xiàn)舉例說明如下：

例：解方程 = +2(1)

解：把方程兩邊都乘以x+3,得x-2=5-x+2(x+3) (2)

即得x-2=5-x+2x-6

整理這個方程，2x-2x=1

此時，0x=1

因此，此方程無解，所以原方程無解。

分析：在方程（1）中，未知數(shù)x的取值范圍為x≠-3。當經(jīng)過簡化后，得到整式方程（2），在方程（2）中，未知數(shù)x無解，因此原分式方程無解。

當分式方程兩邊同時乘以最簡公分母后，轉化為整式方程時，整式方程為一元一次方程，通過解整式方程，發(fā)現(xiàn)整式方程有解，但這個解代入原方程中，卻使原方程分母為0，此時，這個解為原方程的增根，但原方程無解。

現(xiàn)舉例說明如下：

例：解方程 + = (1)

解：把方程兩邊都乘以（x+4）(x-4),得3(x+4)-8x=4(x-4)(2)

解得這個方程，得x=-4

經(jīng)過驗證得知：當x=-4時，原方程沒有意義，因此x=2是原方程的增根。

分析：在方程（1）中，未知數(shù)x的取值范圍為x≠-4，同時滿足x≠4。當經(jīng)過簡化后，得到方程（2），在方程（2）中，未知數(shù)x的取值范圍為全體實數(shù)，將最后所求的未知數(shù)x取值代入最簡公分母，發(fā)現(xiàn)最簡公分母為0，此時x的取值即為原分式方程的增根，原分式方程無解。

當分式方程兩邊同時乘以最簡公分母后，轉化為整式方程時，整式方程為一元二次方程，通過解整式方程，發(fā)現(xiàn)整式方程有解，此時，原方程有增根，同時原方程也有解。

現(xiàn)舉例說明如下：

例:當a為何值時，方程- =有增根？（1）

解：把方程兩邊都乘以（x+4）(x-4),得4(x+4)+ax=3(x-4)(2)

整理這個方程,即得(a+1)x=-28

此時,若原分式方程有增根，則x＝4或－4是方程（2）的根。

將x＝4或－4代入方程（2）中，解得，a＝－6或a=-8。

分析：在方程（1）中，未知數(shù)x的取值范圍為x≠-4。當經(jīng)過簡化后，得到方程（2），若原分式方程有增根，則未知數(shù)x的取值范圍為4或-4，將最后所求的未知數(shù)x取值代入方程（2），即可求得原分式方程的增根。

當分式方程兩邊同時乘以最簡公分母后，轉化為整式方程時，整式方程為一元一次方程，通過解整式方程，發(fā)現(xiàn)整式方程有一個根，此時，原方程有解，但原方程沒有增根?，F(xiàn)舉例說明如下：

例：（1）

解：把方程兩邊都乘以非零數(shù)x,得 x-3=2 （2）

解得這個方程，x=5

經(jīng)過驗證得知：當x=5時，原方程有解，但x=5不是原方程的增根。

分析：在方程（1）中，未知數(shù)x的取值范圍為x≠0。當經(jīng)過簡化后，得到方程（2），在方程（2）中，未知數(shù)x的取值為5，將最后所求的未知數(shù)x取值代入（1），x=5即為原分式方程的解，但不是原分式方程的增根。

綜上所述，在初中數(shù)學分式方程的求解中，判別增根和無解，只要通過把原分式方程的兩邊同時乘以最簡公分母從而化簡成整式方程，具體分析整式方程。當整式方程本身無解時，原分式方程無解，同時原分式方程也沒有增根；當整式方程有解時，將所求的未知數(shù)取值代入最簡公分母，當最簡公分母為零時，原分式方程一定有增根，但原分式方程可能有解，也可能無解；當最簡公分母不為零時，原方程一定沒有增根，但有解。同時，在整式方程有解時，還可能存在既有解，同時也有增根的情況。因此，在學習的過程中，對此要有一個透徹的認識以及掌握。

（作者單位:江蘇常熟市昆承中學）