含絕對值不等式的解法比較

曾光

在2014年的高考中，有多個地方的高考題均出現了含絕對值不等式的題目.雖然難度普遍為中低檔，但是我們需要研究的問題是如何能做到準確率高、耗時少.選擇恰當的解法是關鍵，那么含絕對值不等式的問題有哪些解法呢？選擇何種解法最為有利？下面讓我們一起來探討這個問題.首先請用心體會以下的解法比較：

（2014年高考廣東理科數學第9題）不等式│x-1│+

│x+2│ ≥5的解集為 .

【分析】含絕對值不等式的解法一般有三種，分別是零點區域法、數軸法和圖像法.

⑴零點區域法（分類討論思想）：令x-1=0及x+2=0，得x1=1，x2=-2. x1，x2把實數軸分成三個區域：x<-2，-2≤x≤1，x>1.

①當x>1時，原不等式可去掉絕對值化為x-1+x+2≥5，解得：x≥2，考慮x>1時得x≥2.

②同理當-2≤x≤1時，原不等式可去掉絕對值化為1-x+x+2≥5，得3≥5，無解.

③當x≤-2時，原不等式可去掉絕對值化為1-x-x-2≥5，解得：x≤-3，考慮x<-2時得x<-3.

綜合①②③得x∈（-∞，-3]∪[2，+∞）.

⑵數軸法：從幾何意義方面去考慮.│x-1│的幾何意義是表示x與1的距離，│x+2│的幾何意義是表示x與-2的距離，原不等式的幾何意義是求x與1的距離及與-2的距離之和大于等于5，觀察數軸：

當x位于-2與1之間時，x與1的距離及與-2的距離之和為3，即│x-1│+│x+2│=3；當x在1的右邊時，取x=2，有x與1的距離及與-2的距離之和為5，即│x-1│+│x+2│=5，因此當x≥2時，有│x-1│+│x+2│≥5.同理，當x在-2的左邊時，取x=-3，有x與1的距離及與-2的距離之和為5，即│x-1│+│x+2│=5，因此當x≤-3時，有│x-1│+│x+2│≥5. 綜合以上得x∈（-∞，-3]∪[2，+∞）.

⑶圖像法：令f（x）=│x-1│+│x+2│=2x+1，x>1

3，-2≤x≤1

-2x-1，x<-2畫出其函數圖像如下：

由圖像可得，當x≥2或x≤-3時，有f（x）≥5，即│x-1│+│x+2│≥5.

【點評】比較以上三種解法，零點區域法的應用范圍是最廣的，蘊含了非常重要的分類討論的思想；而數軸法的解題速度是最快的，但應用范圍較窄；而圖像法則是運用了數形結合的思想.為了更深刻地體會以上三種解法的特點，再看以下這道題：

（2014年高考重慶理科數學第16題）若不等式│2x-1│+│x+2│≥a2+a+2對任意實數x恒成立，則實數a的取值范圍是____________.

【分析】本題綜合考查絕對值不等式及一元二次不等式的知識.令f（x）=│2x-1│+│x+2│，觀察│2x-1│+│x+2│的特點得出，不適合用數軸法，而零點區域法和圖像法均可以.下面比較一下這兩種解法：

零點區域法：令2x-1=0及x+2=0，得x1=，x2=-2.

x1，x2把實數軸分成三個區域：x<-2，-2≤x≤，x>.

①當x>時，原不等式可去掉絕對值化為f（x）=3x+1，得f（x）>.

②同理當-2≤x≤時，原不等式可去掉絕對值化為f（x）=-x+3，得f（x）≥.

③當x<-2時，原不等式可去掉絕對值化為f（x）=-3x-1，得f（x）>5.

綜上得：│2x-1│+│x+2│≥，因此有a2+a+2≤，

整理得：（2a-1）（a+1）≤0，

解得：-1≤a≤.

圖像法：f（x）=│2x-1│+│x+2│=3x+1，x>

-x+3，-2≤x≤

-3x-1，x<-2畫

出其函數圖像如下：

由圖像可得：│2x-1│+│x+2│≥，因此有a2+a+2≤，整理得：（2a-1）（a+1）≤0，解得-1≤a≤.

【點評】1. 本題不適合用數軸法，因為兩個絕對值里x前面的系數不相同；2.對比零點區域法和圖像法，由于本題去絕對值后各段均為一次函數，圖像較簡單，因此圖像法略勝一籌.

【鞏固練習】（2014年高考江西理科數學第11題）（不等式選做題）對任意x，y∈R，│x-1│+│x│+│y-1│+ │y+1│的最小值為（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【提示】令f（x）=│x-1│+│x│，g（y）=│y-1│+│y+1│，分別求出f（x），g（y）的最小值后加起來即可.同學們想一想，動手做一做，本題用哪種方法最快？

【總結】1. 若每一個絕對值里前面x的系數都可化為1的話，則用數軸法是最方便的.

2. 在不能用數軸法的情況下，若能畫出函數圖像，一般來說圖像法比零點區域法略勝一籌.

3. 零點區域法應用范圍較廣，可以解決難度較大的問題，如含參數的題目.

（作者單位：佛山市順德區樂從中學）

責任編校 徐國堅endprint

在2014年的高考中，有多個地方的高考題均出現了含絕對值不等式的題目.雖然難度普遍為中低檔，但是我們需要研究的問題是如何能做到準確率高、耗時少.選擇恰當的解法是關鍵，那么含絕對值不等式的問題有哪些解法呢？選擇何種解法最為有利？下面讓我們一起來探討這個問題.首先請用心體會以下的解法比較：

（2014年高考廣東理科數學第9題）不等式│x-1│+

│x+2│ ≥5的解集為 .

【分析】含絕對值不等式的解法一般有三種，分別是零點區域法、數軸法和圖像法.

⑴零點區域法（分類討論思想）：令x-1=0及x+2=0，得x1=1，x2=-2. x1，x2把實數軸分成三個區域：x<-2，-2≤x≤1，x>1.

①當x>1時，原不等式可去掉絕對值化為x-1+x+2≥5，解得：x≥2，考慮x>1時得x≥2.

②同理當-2≤x≤1時，原不等式可去掉絕對值化為1-x+x+2≥5，得3≥5，無解.

③當x≤-2時，原不等式可去掉絕對值化為1-x-x-2≥5，解得：x≤-3，考慮x<-2時得x<-3.

綜合①②③得x∈（-∞，-3]∪[2，+∞）.

⑵數軸法：從幾何意義方面去考慮.│x-1│的幾何意義是表示x與1的距離，│x+2│的幾何意義是表示x與-2的距離，原不等式的幾何意義是求x與1的距離及與-2的距離之和大于等于5，觀察數軸：

當x位于-2與1之間時，x與1的距離及與-2的距離之和為3，即│x-1│+│x+2│=3；當x在1的右邊時，取x=2，有x與1的距離及與-2的距離之和為5，即│x-1│+│x+2│=5，因此當x≥2時，有│x-1│+│x+2│≥5.同理，當x在-2的左邊時，取x=-3，有x與1的距離及與-2的距離之和為5，即│x-1│+│x+2│=5，因此當x≤-3時，有│x-1│+│x+2│≥5. 綜合以上得x∈（-∞，-3]∪[2，+∞）.

⑶圖像法：令f（x）=│x-1│+│x+2│=2x+1，x>1

3，-2≤x≤1

-2x-1，x<-2畫出其函數圖像如下：

由圖像可得，當x≥2或x≤-3時，有f（x）≥5，即│x-1│+│x+2│≥5.

【點評】比較以上三種解法，零點區域法的應用范圍是最廣的，蘊含了非常重要的分類討論的思想；而數軸法的解題速度是最快的，但應用范圍較窄；而圖像法則是運用了數形結合的思想.為了更深刻地體會以上三種解法的特點，再看以下這道題：

（2014年高考重慶理科數學第16題）若不等式│2x-1│+│x+2│≥a2+a+2對任意實數x恒成立，則實數a的取值范圍是____________.

【分析】本題綜合考查絕對值不等式及一元二次不等式的知識.令f（x）=│2x-1│+│x+2│，觀察│2x-1│+│x+2│的特點得出，不適合用數軸法，而零點區域法和圖像法均可以.下面比較一下這兩種解法：

零點區域法：令2x-1=0及x+2=0，得x1=，x2=-2.

x1，x2把實數軸分成三個區域：x<-2，-2≤x≤，x>.

①當x>時，原不等式可去掉絕對值化為f（x）=3x+1，得f（x）>.

②同理當-2≤x≤時，原不等式可去掉絕對值化為f（x）=-x+3，得f（x）≥.

③當x<-2時，原不等式可去掉絕對值化為f（x）=-3x-1，得f（x）>5.

綜上得：│2x-1│+│x+2│≥，因此有a2+a+2≤，

整理得：（2a-1）（a+1）≤0，

解得：-1≤a≤.

圖像法：f（x）=│2x-1│+│x+2│=3x+1，x>

-x+3，-2≤x≤

-3x-1，x<-2畫

出其函數圖像如下：

由圖像可得：│2x-1│+│x+2│≥，因此有a2+a+2≤，整理得：（2a-1）（a+1）≤0，解得-1≤a≤.

【點評】1. 本題不適合用數軸法，因為兩個絕對值里x前面的系數不相同；2.對比零點區域法和圖像法，由于本題去絕對值后各段均為一次函數，圖像較簡單，因此圖像法略勝一籌.

【鞏固練習】（2014年高考江西理科數學第11題）（不等式選做題）對任意x，y∈R，│x-1│+│x│+│y-1│+ │y+1│的最小值為（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【提示】令f（x）=│x-1│+│x│，g（y）=│y-1│+│y+1│，分別求出f（x），g（y）的最小值后加起來即可.同學們想一想，動手做一做，本題用哪種方法最快？

【總結】1. 若每一個絕對值里前面x的系數都可化為1的話，則用數軸法是最方便的.

2. 在不能用數軸法的情況下，若能畫出函數圖像，一般來說圖像法比零點區域法略勝一籌.

3. 零點區域法應用范圍較廣，可以解決難度較大的問題，如含參數的題目.

（作者單位：佛山市順德區樂從中學）

責任編校 徐國堅endprint

在2014年的高考中，有多個地方的高考題均出現了含絕對值不等式的題目.雖然難度普遍為中低檔，但是我們需要研究的問題是如何能做到準確率高、耗時少.選擇恰當的解法是關鍵，那么含絕對值不等式的問題有哪些解法呢？選擇何種解法最為有利？下面讓我們一起來探討這個問題.首先請用心體會以下的解法比較：

（2014年高考廣東理科數學第9題）不等式│x-1│+

│x+2│ ≥5的解集為 .

【分析】含絕對值不等式的解法一般有三種，分別是零點區域法、數軸法和圖像法.

⑴零點區域法（分類討論思想）：令x-1=0及x+2=0，得x1=1，x2=-2. x1，x2把實數軸分成三個區域：x<-2，-2≤x≤1，x>1.

①當x>1時，原不等式可去掉絕對值化為x-1+x+2≥5，解得：x≥2，考慮x>1時得x≥2.

②同理當-2≤x≤1時，原不等式可去掉絕對值化為1-x+x+2≥5，得3≥5，無解.

③當x≤-2時，原不等式可去掉絕對值化為1-x-x-2≥5，解得：x≤-3，考慮x<-2時得x<-3.

綜合①②③得x∈（-∞，-3]∪[2，+∞）.

⑵數軸法：從幾何意義方面去考慮.│x-1│的幾何意義是表示x與1的距離，│x+2│的幾何意義是表示x與-2的距離，原不等式的幾何意義是求x與1的距離及與-2的距離之和大于等于5，觀察數軸：

當x位于-2與1之間時，x與1的距離及與-2的距離之和為3，即│x-1│+│x+2│=3；當x在1的右邊時，取x=2，有x與1的距離及與-2的距離之和為5，即│x-1│+│x+2│=5，因此當x≥2時，有│x-1│+│x+2│≥5.同理，當x在-2的左邊時，取x=-3，有x與1的距離及與-2的距離之和為5，即│x-1│+│x+2│=5，因此當x≤-3時，有│x-1│+│x+2│≥5. 綜合以上得x∈（-∞，-3]∪[2，+∞）.

⑶圖像法：令f（x）=│x-1│+│x+2│=2x+1，x>1

3，-2≤x≤1

-2x-1，x<-2畫出其函數圖像如下：

由圖像可得，當x≥2或x≤-3時，有f（x）≥5，即│x-1│+│x+2│≥5.

【點評】比較以上三種解法，零點區域法的應用范圍是最廣的，蘊含了非常重要的分類討論的思想；而數軸法的解題速度是最快的，但應用范圍較窄；而圖像法則是運用了數形結合的思想.為了更深刻地體會以上三種解法的特點，再看以下這道題：

（2014年高考重慶理科數學第16題）若不等式│2x-1│+│x+2│≥a2+a+2對任意實數x恒成立，則實數a的取值范圍是____________.

【分析】本題綜合考查絕對值不等式及一元二次不等式的知識.令f（x）=│2x-1│+│x+2│，觀察│2x-1│+│x+2│的特點得出，不適合用數軸法，而零點區域法和圖像法均可以.下面比較一下這兩種解法：

零點區域法：令2x-1=0及x+2=0，得x1=，x2=-2.

x1，x2把實數軸分成三個區域：x<-2，-2≤x≤，x>.

①當x>時，原不等式可去掉絕對值化為f（x）=3x+1，得f（x）>.

②同理當-2≤x≤時，原不等式可去掉絕對值化為f（x）=-x+3，得f（x）≥.

③當x<-2時，原不等式可去掉絕對值化為f（x）=-3x-1，得f（x）>5.

綜上得：│2x-1│+│x+2│≥，因此有a2+a+2≤，

整理得：（2a-1）（a+1）≤0，

解得：-1≤a≤.

圖像法：f（x）=│2x-1│+│x+2│=3x+1，x>

-x+3，-2≤x≤

-3x-1，x<-2畫

出其函數圖像如下：

由圖像可得：│2x-1│+│x+2│≥，因此有a2+a+2≤，整理得：（2a-1）（a+1）≤0，解得-1≤a≤.

【點評】1. 本題不適合用數軸法，因為兩個絕對值里x前面的系數不相同；2.對比零點區域法和圖像法，由于本題去絕對值后各段均為一次函數，圖像較簡單，因此圖像法略勝一籌.

【鞏固練習】（2014年高考江西理科數學第11題）（不等式選做題）對任意x，y∈R，│x-1│+│x│+│y-1│+ │y+1│的最小值為（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【提示】令f（x）=│x-1│+│x│，g（y）=│y-1│+│y+1│，分別求出f（x），g（y）的最小值后加起來即可.同學們想一想，動手做一做，本題用哪種方法最快？

【總結】1. 若每一個絕對值里前面x的系數都可化為1的話，則用數軸法是最方便的.

2. 在不能用數軸法的情況下，若能畫出函數圖像，一般來說圖像法比零點區域法略勝一籌.

3. 零點區域法應用范圍較廣，可以解決難度較大的問題，如含參數的題目.

（作者單位：佛山市順德區樂從中學）

責任編校 徐國堅endprint