分層教學 促學生認知結構形成

王曉軍

隨著素質教育的不斷深入，越來越多的教育工作者認識到課堂教學是實施素質教育的主渠道。那么，如何在課堂教學中實施素質教育呢？通過幾年的教育實踐，我校數學教研組已初步形成了“分層教學”的基本思路。實踐表明，分層教學是一種教學方法，更是一種教學思維模式，它是以因材施教的原則為核心，通過全體學生的積極參與，從而達到“以最佳方式為學生提供各種學習機會，使教學達到最優化”的有效課堂教學策略。

1997年，我校開始實驗研究當時北京教科院基礎教育科學研究所梁威所長主持的教育科研課題“初中生數學學習障礙研究”的重要成果——《數學分層測試卡》，通過三年的探索使用，我認為《數學分層測試卡》能促使學生原有認知結構的正向遷移，幫助學生在新的更高一級的層次上，構建新的認知結構，從而不斷地獲得新知識，形成良好的數學認知結構。

一、使用《數學分層測試卡》，形成認知結構的正向遷移

著名的心理學家布魯納特別強調“學科知識結構”，這是因為知識不形成結構，也就不可能進行遷移，但是學科知識結構必須轉化成認知結構，才能使外部的邏輯轉變為內部的邏輯，從而提高認知水平，所以教師必須抓好基礎知識的教學。《數學分層測試卡》第一層是對學生當堂所學新內容的掌握情況的檢測，特別注重抓好對學生基礎知識的教學，這也是學生認知準備的過程。認知心理學家認為，只有完成了認知準備，學生才能進行有效的學習。

《數學分層測試卡》的第二層是對學生新舊知識結構有機結合情況的檢測，這可以幫助學生克服局部片面的認識，找到知識整體的內部的聯系，讓學生通過自己的“悟化”把握知識整體的精華，領悟其中的規律與實質，并以簡練的形式把知識納入自己的認知結構，把“無意識”轉化為“有意識”。

《數學分層測試卡》的第三層側重于對學生能力的檢測，可以使學生的認知結構在信息交流和動態平衡中不斷地突破舊的模式，建立新的認知結構，從而增強認知結構功能，提高思維水平。《數學分層測試卡》循序漸進的習題安排，遵循了知識的形成與發展過程，符合學生的認知規律。

二、《數學分層測試卡》是教材內容與結構的補充

著名心理學家奧蘇貝爾認為：“學生的認知結構是教材認知結構轉化來的。”目前初中生的數學教材偏重于數學知識邏輯演繹體系的嚴謹性、科學性和思維的深化性，而忽略了學生學習數學認知的心理過程，只重視數學思維結果，往往忽視數學思維過程，梯度偏大。比如北京市九年義務教育初級中學教科書（實驗）數學教材中有關求作一元二次方程的習題（6）：求作一個一元二次方程，使它的兩個根是；習題（7）：已知α和β是方程2x2-4x-3=0的兩個根，求作一個以α2β+αβ2和（1+α）（1+β）的值為根的整系數的一元二次方程。這兩道題的梯度顯然是偏大了。而《數學分層測試卡》則補充了“已知二次方程x2+3x-1=0，求作一個一元二次方程，使它的兩個根分別是原方程各根的平方”這樣的題。像這樣的例子還有一些。這些補充習題對促進學生認知結構的形成與發展起著重要作用。

《數學分層測試卡》根據每個學生認知基礎、教育環境、心理特點的不同，做到既照顧數學知識的科學性，又能面向全體學生，照顧到個體差異與學生原有的知識結構，滿足了不同層次學生的心理需求；既考慮到數學知識的結果，又考慮到數學知識的發展過程、解題思路和技巧的形成過程；既體現數學的基礎與技能，又體現數學的精神與思想方法。《數學分層測試卡》梯度小、范圍廣，我認為它是教材內容與結構的補充。

三、巧用《數學分層測試卡》，優化認知結構

優化和發展學生認知結構的途徑和方法，一是教師對教材的內容與結構進行補充，二是優化數學課堂教學的結構。

1997年，我聽了梁威所長在房山做的有關《數學分層測試卡》的報告，開始接觸并使用《數學分層測試卡》。起初我只是在練習、檢測時用，注意把學生分為A、B、C三層，A層為成績在85分以上的學生，B層為成績在60～84分的學生，C層為成績在60分以下的學生。根據分組不同，讓他們做相應的練習題和測驗題。所有學生都有獲得100分的機會，所以他們做卡時非常積極。可是我發現他們的積極性只是局限在做卡上，對課上聽講及課后作業還是不太關心，因此不能形成良好的認知系統。接著，我改進策略，采取課前備課分層，課上提問分層，課后作業分層的新方法，力求給不同層次的學生制定不同的學習目標，創造不同的認知情境，充分激發每個學生的求知欲，讓每個學生都可以參與知識的發現過程，課后完成不同的作業。

比如，在講圓周角的第一節課時，我原來制定的教學目標是：（1）使學生掌握圓周角的概念及其度數定理。（2）使學生利用定理熟練解題。（3）使學生了解分類討論的思想。目標明確后，我認為分類討論思想是本節課的難點，所以上課后先復習一些與定理有關的知識，然后就開始引導學生怎么分類、證明推出定理，進而讓學生自學例題，并進行練習。這樣，一節課下來，大部分學生對前兩個目標完成較好。可是在講弦切角定理時，全班就只有1～2個同學在教師提醒后才想起分類討論，其他同學已沒有什么印象了。這說明學生只是掌握了一些死知識，并未學會主動思考。

我依據《數學分層測試卡》采取分層授課后，制定了這樣的教學目標：（1）使全體學生掌握圓周角的概念及其度數定理的內容。（2）使C層學生能在比較復雜的圖形中認出圓周角，會解簡單的求解題，A層、B兩層學生熟練運用定理解題。（3）使A層學生了解分類討論的思想。目標制定后，上課我先不急于分類，只是先給出幾個圖，讓學生觀察圖中圓周角與它所對的弧的度數的關系。

如圖1中的（1），已知：AB為⊙O的直徑，C為半圓上一點。求∠C的度數。全體學生依據直徑上的圓周角是直角知∠C是直角，請C層學生來回答。而∠C的度數恰恰等于它所對弧的度數的一半。

如圖1中的（2），已知：⊙O中OB⊥OA于點O，延長AO交⊙O于點C，連結CB。求∠C的度數。在半圓上取一點D，連結AD、BD，求∠D的度數。學生容易知道∠C=45°= A⌒B，教師引導學生得∠D=∠C=45°=A⌒B。

如圖1中的（3），已知：⊙O中當∠AOB不是直角時，求∠C、∠D、∠E的度數。有了前兩圖作基礎，學生容易猜想它們的度數應等于A⌒B的度數的一半。此時，讓學生觀察圓心O與∠C、∠D、∠E三個角的位置關系。教師提出：要想研究圓周角與它所對的弧的度數之問的關系，圖應當怎樣畫？學生很容易畫出三種情況。

接著我再引導學生完成圖2中（1）圖的證明，其余兩圖的證明由學生自己完成。得出定理內容，再分層舉例、分層練習、分層檢測，結束此堂課。整堂課由特殊到一般，再由一般到特殊，學生為課堂主體，參與發現課堂全過程。在教師的引導下，學生利用原認知結構，通過認知活動，建立起新的認知結構，這符合學生的認知規律。通過分層檢測、分層作業，我了解到第1、2個目標完成得很好。在以后講弦切角度數定理時，學生通過互相研究，班中已有7～8個同學能夠想到分類討論進行證明，這說明他們已初步理解了分類討論的思想并有了一定的思考能力。通過使用《數學分層測試卡》，我認識到不要把它只當成分層練習、分層檢測的工具，它還起到了引導教師優化課堂教學結構的關鍵作用。它能促使教師由淺入深、有條不紊地完成教學過程，以達到不同教學目標的要求。它還可以優化學生的認知結構，進而提高學生的數學素質。

下表是2001屆本校兩個學習困難生班使用《數學分層測試卡》前后，（初二期末與初三期中）數學成績比較表（見表1）。

四、《數學分層測試卡》的實施效果

數學教學過程是以認知為基礎的復雜的心理過程，是一種特殊的認知活動過程。這個過程的心理因素可以分為兩類：一類是與認知過程直接有關的（智力因素），另一類是與認識過程有關的（非智力因素）。通常所說的培養學生的非智力因素即培養學生具有強烈的求知欲、廣泛的興趣、積極的情緒、良好的學習動機、頑強的意志、堅定的信念和主動進取的心理品質。而《數學分層測試卡》恰恰能提高學生學習數學的興趣，幫助學生樹立自信心，激勵學生去學習，去實現自我。

《數學分層測試卡》能激發和培養學生學習數學的興趣，使沒及過格的學生得到100分，使學習被動的學生嘗到主動學習的甜頭，使每一個學生都享受到成功的喜悅，進而使他們對數學知識產生濃厚的興趣。學生一旦對數學知識產生興趣，將會產生巨大的認知能力。學習興趣會幫助學生自覺地集中注意力，主動地進行思考，全神貫注地投入學習，會促使他們產生愉快的情緒，以最佳的心態接受教學信息。所以數學教學的成效，在很大程度上取決于學生對數學學習的興趣。

學生對數學學習的濃厚興趣、強烈的情感會幫助學生樹立自信心。有自信心的人，靠自己的力量去實現目標，變不可能為可能，變可能為現實。這樣，學生對數學學習的興趣更濃，學生的認知能力得到提高，從而形成數學學習習慣的良性循環。

傳統的教學方法，往往迫使學生機械、被動地學習，而忽視對學生學習心理素質的培養，致使部分學生產生學習的厭倦心理，這是課堂中實施素質教育的障礙。而使用《數學分層測試卡》的課堂，要求教師根據《數學分層測試卡》優化課堂教學，充分了解學生學習數學的認知規律、心理特征及障礙，真正起到了良好的促進作用。這種課堂充分挖掘了學生的認知潛力，調動了學生的思維功能。現代數學教育思想要求教師幫助學生維持最佳的學習心理狀態，培養學生良好的數學認知結構和思維品質，選擇適合學生的最佳的學習方法，創造最佳的學習效果。我相信分層教學一定會在數學教學中發揮其內在的更大的作用。

（作者單位：北京市房山區良鄉三中）

（責任編輯：任媛媛）

如圖1中的（3），已知：⊙O中當∠AOB不是直角時，求∠C、∠D、∠E的度數。有了前兩圖作基礎，學生容易猜想它們的度數應等于A⌒B的度數的一半。此時，讓學生觀察圓心O與∠C、∠D、∠E三個角的位置關系。教師提出：要想研究圓周角與它所對的弧的度數之問的關系，圖應當怎樣畫？學生很容易畫出三種情況。

接著我再引導學生完成圖2中（1）圖的證明，其余兩圖的證明由學生自己完成。得出定理內容，再分層舉例、分層練習、分層檢測，結束此堂課。整堂課由特殊到一般，再由一般到特殊，學生為課堂主體，參與發現課堂全過程。在教師的引導下，學生利用原認知結構，通過認知活動，建立起新的認知結構，這符合學生的認知規律。通過分層檢測、分層作業，我了解到第1、2個目標完成得很好。在以后講弦切角度數定理時，學生通過互相研究，班中已有7～8個同學能夠想到分類討論進行證明，這說明他們已初步理解了分類討論的思想并有了一定的思考能力。通過使用《數學分層測試卡》，我認識到不要把它只當成分層練習、分層檢測的工具，它還起到了引導教師優化課堂教學結構的關鍵作用。它能促使教師由淺入深、有條不紊地完成教學過程，以達到不同教學目標的要求。它還可以優化學生的認知結構，進而提高學生的數學素質。

下表是2001屆本校兩個學習困難生班使用《數學分層測試卡》前后，（初二期末與初三期中）數學成績比較表（見表1）。

四、《數學分層測試卡》的實施效果

數學教學過程是以認知為基礎的復雜的心理過程，是一種特殊的認知活動過程。這個過程的心理因素可以分為兩類：一類是與認知過程直接有關的（智力因素），另一類是與認識過程有關的（非智力因素）。通常所說的培養學生的非智力因素即培養學生具有強烈的求知欲、廣泛的興趣、積極的情緒、良好的學習動機、頑強的意志、堅定的信念和主動進取的心理品質。而《數學分層測試卡》恰恰能提高學生學習數學的興趣，幫助學生樹立自信心，激勵學生去學習，去實現自我。

《數學分層測試卡》能激發和培養學生學習數學的興趣，使沒及過格的學生得到100分，使學習被動的學生嘗到主動學習的甜頭，使每一個學生都享受到成功的喜悅，進而使他們對數學知識產生濃厚的興趣。學生一旦對數學知識產生興趣，將會產生巨大的認知能力。學習興趣會幫助學生自覺地集中注意力，主動地進行思考，全神貫注地投入學習，會促使他們產生愉快的情緒，以最佳的心態接受教學信息。所以數學教學的成效，在很大程度上取決于學生對數學學習的興趣。

學生對數學學習的濃厚興趣、強烈的情感會幫助學生樹立自信心。有自信心的人，靠自己的力量去實現目標，變不可能為可能，變可能為現實。這樣，學生對數學學習的興趣更濃，學生的認知能力得到提高，從而形成數學學習習慣的良性循環。

傳統的教學方法，往往迫使學生機械、被動地學習，而忽視對學生學習心理素質的培養，致使部分學生產生學習的厭倦心理，這是課堂中實施素質教育的障礙。而使用《數學分層測試卡》的課堂，要求教師根據《數學分層測試卡》優化課堂教學，充分了解學生學習數學的認知規律、心理特征及障礙，真正起到了良好的促進作用。這種課堂充分挖掘了學生的認知潛力，調動了學生的思維功能。現代數學教育思想要求教師幫助學生維持最佳的學習心理狀態，培養學生良好的數學認知結構和思維品質，選擇適合學生的最佳的學習方法，創造最佳的學習效果。我相信分層教學一定會在數學教學中發揮其內在的更大的作用。

（作者單位：北京市房山區良鄉三中）

（責任編輯：任媛媛）

如圖1中的（3），已知：⊙O中當∠AOB不是直角時，求∠C、∠D、∠E的度數。有了前兩圖作基礎，學生容易猜想它們的度數應等于A⌒B的度數的一半。此時，讓學生觀察圓心O與∠C、∠D、∠E三個角的位置關系。教師提出：要想研究圓周角與它所對的弧的度數之問的關系，圖應當怎樣畫？學生很容易畫出三種情況。

接著我再引導學生完成圖2中（1）圖的證明，其余兩圖的證明由學生自己完成。得出定理內容，再分層舉例、分層練習、分層檢測，結束此堂課。整堂課由特殊到一般，再由一般到特殊，學生為課堂主體，參與發現課堂全過程。在教師的引導下，學生利用原認知結構，通過認知活動，建立起新的認知結構，這符合學生的認知規律。通過分層檢測、分層作業，我了解到第1、2個目標完成得很好。在以后講弦切角度數定理時，學生通過互相研究，班中已有7～8個同學能夠想到分類討論進行證明，這說明他們已初步理解了分類討論的思想并有了一定的思考能力。通過使用《數學分層測試卡》，我認識到不要把它只當成分層練習、分層檢測的工具，它還起到了引導教師優化課堂教學結構的關鍵作用。它能促使教師由淺入深、有條不紊地完成教學過程，以達到不同教學目標的要求。它還可以優化學生的認知結構，進而提高學生的數學素質。

下表是2001屆本校兩個學習困難生班使用《數學分層測試卡》前后，（初二期末與初三期中）數學成績比較表（見表1）。

四、《數學分層測試卡》的實施效果

數學教學過程是以認知為基礎的復雜的心理過程，是一種特殊的認知活動過程。這個過程的心理因素可以分為兩類：一類是與認知過程直接有關的（智力因素），另一類是與認識過程有關的（非智力因素）。通常所說的培養學生的非智力因素即培養學生具有強烈的求知欲、廣泛的興趣、積極的情緒、良好的學習動機、頑強的意志、堅定的信念和主動進取的心理品質。而《數學分層測試卡》恰恰能提高學生學習數學的興趣，幫助學生樹立自信心，激勵學生去學習，去實現自我。

《數學分層測試卡》能激發和培養學生學習數學的興趣，使沒及過格的學生得到100分，使學習被動的學生嘗到主動學習的甜頭，使每一個學生都享受到成功的喜悅，進而使他們對數學知識產生濃厚的興趣。學生一旦對數學知識產生興趣，將會產生巨大的認知能力。學習興趣會幫助學生自覺地集中注意力，主動地進行思考，全神貫注地投入學習，會促使他們產生愉快的情緒，以最佳的心態接受教學信息。所以數學教學的成效，在很大程度上取決于學生對數學學習的興趣。

學生對數學學習的濃厚興趣、強烈的情感會幫助學生樹立自信心。有自信心的人，靠自己的力量去實現目標，變不可能為可能，變可能為現實。這樣，學生對數學學習的興趣更濃，學生的認知能力得到提高，從而形成數學學習習慣的良性循環。

傳統的教學方法，往往迫使學生機械、被動地學習，而忽視對學生學習心理素質的培養，致使部分學生產生學習的厭倦心理，這是課堂中實施素質教育的障礙。而使用《數學分層測試卡》的課堂，要求教師根據《數學分層測試卡》優化課堂教學，充分了解學生學習數學的認知規律、心理特征及障礙，真正起到了良好的促進作用。這種課堂充分挖掘了學生的認知潛力，調動了學生的思維功能。現代數學教育思想要求教師幫助學生維持最佳的學習心理狀態，培養學生良好的數學認知結構和思維品質，選擇適合學生的最佳的學習方法，創造最佳的學習效果。我相信分層教學一定會在數學教學中發揮其內在的更大的作用。

（作者單位：北京市房山區良鄉三中）

（責任編輯：任媛媛）