淺析中職學生集合學習中易犯的錯誤

姚秀洲?于振艷

摘 要：中職學生在集合符號、集合與元素、數與數對辨析、列舉法與描述法的理解、隱含條件的挖掘等方面存在諸多誤區，本文試就學生學習集合時易犯的錯誤進行分析，理清思考脈絡，掃除障礙。

關鍵詞：中職學生 集合 學習障礙

一、分不清0、{0}、?、{?}之間的關系

在學習了空集的概念后，很多同學搞不清楚0、{0}、?、{?}之間的關系，一些同學甚至錯誤地認為0={0}=?={?}。

0、、{0}、?、{?}之間的關系如下：0為一個對象，而不是一個集合。{0}、?、{?}都為集合，其中{0}為含有一個元素0的集合，?為不含任何元素的集合，{?}為含有一個元素?的集合，這里的集合?只作為集合{?}的一個元素。由于對象與集合之間的關系為屬于和不屬于的關系，于是有0∈{0}、0?、0{?}。因為?是任何集合的子集，?是任何非空集合的真子集，故有?{0}、?{0}。雖然?是一個集合，但對于集合{?}來說它又是這個集合的一個元素，所以，?∈{?}。因{0}與{?}中的元素不同，故{0}≠{?}。

例1：{0}、{?}、{空集}是空集嗎？

分析：?中不含任何元素，但{0}、{?}、{空集}中的元素分別有數0、符號?、漢字“空集”，故它們均不是空集。

例2：下列四個關系式，①空集≠{0}，②0∈{0}，③空集{0}④0?，其中正確的個數是（ ）。

（A）4 （B） 3 （C） 2 （D） 1

分析：對于這道題目許多同學會錯誤地選擇（C），他們認為①②是正確的，③④是錯誤的。其實因為空集不含有任何元素，0不是它里面的對象，所以④的說法是正確的；另外由于?是任意集合的子集，所以③空集被包含于{0}也是對的，因此本題的正確結果是（A）。

二、集合符號錯用

如在寫實數集時，將R寫成{R}、{實數集}或{所有實數}等。R已經就是實數集了，將實數集R寫成{R}或{實數集}就都錯了。集合已經是指一組對象的全體所組成的集合，故不需再在實數前寫“所有”。

例3：設A、B、M、N為非空集合，A∩B=?，M=，，則M∩N=? 。

錯解：M∩N=?

分析：此題混淆了集合的元素和集合的子集的概念，M、N是分別由A、B的真子集構成的集合，因而M、N的元素都是集合，顯然?既是M又是N的元素。

正解：M∩N={?}

三、混淆列舉法和描述法

當集合為無限集時，一般用描述法表示集合。在用描述法表示集合時，大括號中的豎線及其左右兩邊的字母都不能省。當集合為有限集時，在元素不多的情況下，一般用列舉法表示集合。在用列舉法表示集合時，大括號中的豎線及其左右兩邊的字母必須省去。即大括號中的豎線及其左右兩邊的字母，若省則都省，若不省則都不省。

{（x，y）}={（1，2）}，這個集合用下列結果表示，都為錯誤的，如：{x=1，y=2}、{（x，y）（1，2）}等。

例4：已知集合A={x2-x-6=0}，B={xx2-x-6=0}，判斷A與B的關系。

分析：許多學生會認為A=B={2，3}，這是錯誤的。集合中元素的屬性可以是數，可以是數對，可以是方程，也可以是集合，雖然集合A、B中有相同的方程，但是集合A是用列舉法表示，集合B是用描述法表示，不同的方法導致二者里面的元素屬性是不同的。集合A的元素屬性是方程，集合B的元素屬性是數，所以集合A和B不相等，也不具備包含關系。

四、混淆數與數對

在判斷集合{y|y=x+1}與{（x，y）|y=x+1}之間的關系時，許多學生認為這兩個集合相等，其實不然。集合{y|y=x+1}是一個數集，而{（x，y）|y=x+1}是一個數對集，雖然兩個集合中都有y=x+1，但這兩個集合并不相等。一些學生在寫點集如{（1，2）}時，常寫成{1，2}，這是不對的。

例5：設集合A={（x，y）x+y=3}，B={（x，y）x-y=1}，求A∩B，x-2

錯解：由得，從而A∩B={2，1}

分析：上述解法混淆了數集與數對集的區別，集合A、B中的元素為數對集即點集，所以A∩B={2，1}

例6：集合{y|y=x2-1}={x|y=x2-1}={（x，y）|y=x2-1}

分析：上述說法是錯誤的。集合{y|y=x2-1}與集合{x|y=x2-1}的元素都是數集，其中集合{y|y=x2-1}的元素是y，是函數y=x2-1的函數值組成的集合；而集合{x|y=x2-1}的元素是x，是函數y=x2-1的自變量的取值組成的集合，因而{x|y=x2-1}≠{x|y=x2-1}。集合{（x，y）|y=x2-1}的元素是（x，y），是有序數對，和前兩個集合的元素在屬性上有所區別。所以{y|y=x2-1}≠{x|y=x2-1}≠{（x，y）|y=x2-1}

五、分不清集合和元素

例7：若A={a，b}B={x|xA}，則集合A與B的關系是（）。

（A） AB （B） AB （C） A∈B （D） AB

分析：許多學生選（A），這是錯誤的。xA表明x是A的子集，由知，B是A的所有子集的集合。因而A和B的關系是元素和集合的關系，（A）和（B）顯然是錯誤的，正確結果為（C）。

例8：設為A，B，M，N非空集合，A∩B=?，，則M∩N= 。

錯解：M∩N=?

分析：此題混淆了集合的元素和集合的子集的概念，M、N是分別由A，B的真子集構成的集合，因而M、N的元素都是集合，顯然?既是M又是N的元素。

正解：M∩N={?}

（作者單位：山東省棗莊市臺兒莊區職業中等專業學校）endprint