適當運用留有空白的數學問題

顧建芳

《數學課程標準》明確指出：“要讓學生在參與特定的數學活動，在具體的情境中初步認識對象的特征，獲得一些體驗。”體驗是學生情感真正投入的學習活動，是學生在學科活動中的行為、認知與情感的整體參與。這里的“體驗”，已經不再是狹義的師生雙方語言的交際了，它是“互動”的一種外化，是一種創新的教學方式。它包含師生與數學活動的體驗，教師與學生的平等交流、共同探究，學生與學生相互啟發、合作探究的過程。留白強調的正是學生的自由發展，體現的正是課堂教學的藝術性。它改變了課堂教學的單一節奏，填補了對話間隙留下的真空地帶。教學留有空白是課堂教學藝術的表現手法之一，是教師在課堂中讓學生有空間去想像、去探索、去發現。

我們的課堂教學過程不只是忠實地執行課程計劃的過程，而是師生共同開發課程、豐富課程的過程，課程要變成動態的、發展的、富有個性的創造過程，而這一過程要有“留白”空間。如果我們能把不落俗套的、新穎獨特的“留白”運用到我們的個性化數學課堂中，不僅可以讓學生在課堂中塑造“自我”，用自己的觀點去判斷、用自己的思維去創新、用自己的語言去表達，更可以留給學生思想馳騁的空間，留給學生自由思考的余地。

一、 在問題中留白具體的數字

為了激起學生對內在規律的深入思考，不妨運用數字留白。比如，在教學《解比例》一課時，既要讓學生了解解比例的根據有多種，又要從中選取出最合適的一種——根據比例的性質來解答。找出數字的留白，讓學生順水推舟地從中理解解比例的方法。

在這個案例中，教師并沒有直接讓學生比較三個具體的數字，而是對其中一個數字進行留白處理，巧妙地點燃了學生思維的火花。數學課堂有了留白，在創設情境之后，給學生留出獨立思考的時間和空間就能激起學生無窮的思維遐想。

二、 在問題中留白文字的表述

就在我表揚他們積極動腦，肯定他們的答案是正確的，準備鳴金收兵之時，我突然想到應當給學生留下空間，讓他們自己去發現。

師：你們還有什么要說的嗎？

生3：老師，我發現用15÷5×8也得到24。因為15除以5得到分子增加的倍數，再乘分母8就得到分母應增加的數了。所以這個方法還是可行的。

這位學生敏銳的觀察與縝密的思維，贏得一片掌聲。我真誠地表示：“你的好辦法老師都沒有想到，你真了不起！謝謝你精彩的發言給大家帶來了啟發。”

又如引出“循環小數”的教學內容時，筆者在這個環節安排了“拍打節奏”的場面，要求學生在教師的指揮下一起拍打│×××│的節奏，拍手的過程中，教師突然示意“停下”，發出感嘆：同學們真聰明，為什么拍打的節奏既整齊又動聽，是什么原因？我此時讓學生在問題中的留白處來展開討論……我們按照│×××│這樣的節奏依次不斷重復地拍，所以拍得整齊又動聽。數學上有一種很美的數，也象打節奏那樣，某些數字會按照一定的順序（依次）不斷重復出現，這就叫“循環小數”。這樣，建立“循環小數”的概念，經過拍打節奏來感知，大大提高了學習效率。

三、 在過渡中留白時空的轉換

在數學課堂上，當教學內容有所轉換時，教師可以有意識地把教材中的一些新授知識轉換成“空白”，讓學生在“空白”處自覺地探尋有關知識、方法和技能，使“空白”向有收效、有選擇、有節制、有創造的方面轉化，從而去掌握一定的知識，體會一種成功的愉悅。

比如我們在教學13-9時，可以讓學生在草稿紙上記下自己的一些想法，讓學生去把抽象的思考轉化為具體形象的記錄，這時學生出現這樣的幾種情況：

1.一個一個減：13-1-1-1-1-1-1-1-1-1=4

2.先從十個里先減去9個，然后加上3個：10-9+3=4

3.做減想加：9+（4）=13

4.13-1-8=4 13-3-6=4

把這幾種做法合起來看一下，一起來分析這些做法是否適合我們。這樣來完成第一個要求：同學們，這幾種方法你們都能看懂嗎？請你和同桌一起交流一下你的想法。接著來做第二步要求：你能對這些方法分類嗎？學生進行分類的過程也就是他們對方法本質理解的一個過程。最后我們一起完成第三個學習的要求：你們覺得哪幾種比較簡便、哪幾種比較麻煩？逐步去“逼”學生從簡便、簡潔方面去思考。第四步學生把解決問題的辦法集中到了第2、第3種。然后14-9、18-9、12-9等連貫帶出，一氣呵成。至此，認識13-9的主要認知過程結束。適時轉換內容，讓學生完成知識的空白，這樣學生會更簡潔、更深刻地掌握知識。

四、 在結束中留白反思的延伸

在課堂教學即將結束時，設計一些課后問題，讓學生在思考這個問題時根據教師的留白把那些零碎的知識構成知識鏈，環環相扣。例如，在13-9的教學片段中，教師沒有替代學生的思考，直接給出算法，而是讓學生嘗試算法，在多種算法呈現之后，教師給沒有武斷地判斷算法的優劣，而是通過幾個問題使重心下移，在留下探索的空間后，精彩也在“留白”中不期而至。

教學留白有效地激起了學生急于填補“空白”并使之完整、完善的欲望，激發了學生強烈的求知欲。“留白”絕不是隨隨便便的行為。好的課堂留白應該是“留而不流”、“白而不空”的。表面上平寂無物，實則暗潮涌動、神思飛揚。從某種意義上說，留白恰是在為形成新的高潮而蓄勢。

新的數學課堂在注重學生生成性的同時，對預設的要求更加提高了，它要求預設能真正關注學生的發展，關注學生的個體素養和為每個學生提供積極活動的保證。而我們數學課堂的“留白”，給學生留下的是他們思索的空間，留下的是他們想象的空間，留下的是他們體驗的空間。

參考文獻

[1] 李如密.教學藝術論.濟南：山東教育出版社，1995.

[2] 王耘，葉忠根，林秉德，小學生心理學.杭州：浙江教育出版社，1993.

【責任編輯：陳國慶】

《數學課程標準》明確指出：“要讓學生在參與特定的數學活動，在具體的情境中初步認識對象的特征，獲得一些體驗。”體驗是學生情感真正投入的學習活動，是學生在學科活動中的行為、認知與情感的整體參與。這里的“體驗”，已經不再是狹義的師生雙方語言的交際了，它是“互動”的一種外化，是一種創新的教學方式。它包含師生與數學活動的體驗，教師與學生的平等交流、共同探究，學生與學生相互啟發、合作探究的過程。留白強調的正是學生的自由發展，體現的正是課堂教學的藝術性。它改變了課堂教學的單一節奏，填補了對話間隙留下的真空地帶。教學留有空白是課堂教學藝術的表現手法之一，是教師在課堂中讓學生有空間去想像、去探索、去發現。

我們的課堂教學過程不只是忠實地執行課程計劃的過程，而是師生共同開發課程、豐富課程的過程，課程要變成動態的、發展的、富有個性的創造過程，而這一過程要有“留白”空間。如果我們能把不落俗套的、新穎獨特的“留白”運用到我們的個性化數學課堂中，不僅可以讓學生在課堂中塑造“自我”，用自己的觀點去判斷、用自己的思維去創新、用自己的語言去表達，更可以留給學生思想馳騁的空間，留給學生自由思考的余地。

一、 在問題中留白具體的數字

為了激起學生對內在規律的深入思考，不妨運用數字留白。比如，在教學《解比例》一課時，既要讓學生了解解比例的根據有多種，又要從中選取出最合適的一種——根據比例的性質來解答。找出數字的留白，讓學生順水推舟地從中理解解比例的方法。

在這個案例中，教師并沒有直接讓學生比較三個具體的數字，而是對其中一個數字進行留白處理，巧妙地點燃了學生思維的火花。數學課堂有了留白，在創設情境之后，給學生留出獨立思考的時間和空間就能激起學生無窮的思維遐想。

二、 在問題中留白文字的表述

就在我表揚他們積極動腦，肯定他們的答案是正確的，準備鳴金收兵之時，我突然想到應當給學生留下空間，讓他們自己去發現。

師：你們還有什么要說的嗎？

生3：老師，我發現用15÷5×8也得到24。因為15除以5得到分子增加的倍數，再乘分母8就得到分母應增加的數了。所以這個方法還是可行的。

這位學生敏銳的觀察與縝密的思維，贏得一片掌聲。我真誠地表示：“你的好辦法老師都沒有想到，你真了不起！謝謝你精彩的發言給大家帶來了啟發。”

又如引出“循環小數”的教學內容時，筆者在這個環節安排了“拍打節奏”的場面，要求學生在教師的指揮下一起拍打│×××│的節奏，拍手的過程中，教師突然示意“停下”，發出感嘆：同學們真聰明，為什么拍打的節奏既整齊又動聽，是什么原因？我此時讓學生在問題中的留白處來展開討論……我們按照│×××│這樣的節奏依次不斷重復地拍，所以拍得整齊又動聽。數學上有一種很美的數，也象打節奏那樣，某些數字會按照一定的順序（依次）不斷重復出現，這就叫“循環小數”。這樣，建立“循環小數”的概念，經過拍打節奏來感知，大大提高了學習效率。

三、 在過渡中留白時空的轉換

在數學課堂上，當教學內容有所轉換時，教師可以有意識地把教材中的一些新授知識轉換成“空白”，讓學生在“空白”處自覺地探尋有關知識、方法和技能，使“空白”向有收效、有選擇、有節制、有創造的方面轉化，從而去掌握一定的知識，體會一種成功的愉悅。

比如我們在教學13-9時，可以讓學生在草稿紙上記下自己的一些想法，讓學生去把抽象的思考轉化為具體形象的記錄，這時學生出現這樣的幾種情況：

1.一個一個減：13-1-1-1-1-1-1-1-1-1=4

2.先從十個里先減去9個，然后加上3個：10-9+3=4

3.做減想加：9+（4）=13

4.13-1-8=4 13-3-6=4

把這幾種做法合起來看一下，一起來分析這些做法是否適合我們。這樣來完成第一個要求：同學們，這幾種方法你們都能看懂嗎？請你和同桌一起交流一下你的想法。接著來做第二步要求：你能對這些方法分類嗎？學生進行分類的過程也就是他們對方法本質理解的一個過程。最后我們一起完成第三個學習的要求：你們覺得哪幾種比較簡便、哪幾種比較麻煩？逐步去“逼”學生從簡便、簡潔方面去思考。第四步學生把解決問題的辦法集中到了第2、第3種。然后14-9、18-9、12-9等連貫帶出，一氣呵成。至此，認識13-9的主要認知過程結束。適時轉換內容，讓學生完成知識的空白，這樣學生會更簡潔、更深刻地掌握知識。

四、 在結束中留白反思的延伸

在課堂教學即將結束時，設計一些課后問題，讓學生在思考這個問題時根據教師的留白把那些零碎的知識構成知識鏈，環環相扣。例如，在13-9的教學片段中，教師沒有替代學生的思考，直接給出算法，而是讓學生嘗試算法，在多種算法呈現之后，教師給沒有武斷地判斷算法的優劣，而是通過幾個問題使重心下移，在留下探索的空間后，精彩也在“留白”中不期而至。

教學留白有效地激起了學生急于填補“空白”并使之完整、完善的欲望，激發了學生強烈的求知欲。“留白”絕不是隨隨便便的行為。好的課堂留白應該是“留而不流”、“白而不空”的。表面上平寂無物，實則暗潮涌動、神思飛揚。從某種意義上說，留白恰是在為形成新的高潮而蓄勢。

新的數學課堂在注重學生生成性的同時，對預設的要求更加提高了，它要求預設能真正關注學生的發展，關注學生的個體素養和為每個學生提供積極活動的保證。而我們數學課堂的“留白”，給學生留下的是他們思索的空間，留下的是他們想象的空間，留下的是他們體驗的空間。

參考文獻

[1] 李如密.教學藝術論.濟南：山東教育出版社，1995.

[2] 王耘，葉忠根，林秉德，小學生心理學.杭州：浙江教育出版社，1993.

【責任編輯：陳國慶】

《數學課程標準》明確指出：“要讓學生在參與特定的數學活動，在具體的情境中初步認識對象的特征，獲得一些體驗。”體驗是學生情感真正投入的學習活動，是學生在學科活動中的行為、認知與情感的整體參與。這里的“體驗”，已經不再是狹義的師生雙方語言的交際了，它是“互動”的一種外化，是一種創新的教學方式。它包含師生與數學活動的體驗，教師與學生的平等交流、共同探究，學生與學生相互啟發、合作探究的過程。留白強調的正是學生的自由發展，體現的正是課堂教學的藝術性。它改變了課堂教學的單一節奏，填補了對話間隙留下的真空地帶。教學留有空白是課堂教學藝術的表現手法之一，是教師在課堂中讓學生有空間去想像、去探索、去發現。

我們的課堂教學過程不只是忠實地執行課程計劃的過程，而是師生共同開發課程、豐富課程的過程，課程要變成動態的、發展的、富有個性的創造過程，而這一過程要有“留白”空間。如果我們能把不落俗套的、新穎獨特的“留白”運用到我們的個性化數學課堂中，不僅可以讓學生在課堂中塑造“自我”，用自己的觀點去判斷、用自己的思維去創新、用自己的語言去表達，更可以留給學生思想馳騁的空間，留給學生自由思考的余地。

一、 在問題中留白具體的數字

為了激起學生對內在規律的深入思考，不妨運用數字留白。比如，在教學《解比例》一課時，既要讓學生了解解比例的根據有多種，又要從中選取出最合適的一種——根據比例的性質來解答。找出數字的留白，讓學生順水推舟地從中理解解比例的方法。

在這個案例中，教師并沒有直接讓學生比較三個具體的數字，而是對其中一個數字進行留白處理，巧妙地點燃了學生思維的火花。數學課堂有了留白，在創設情境之后，給學生留出獨立思考的時間和空間就能激起學生無窮的思維遐想。

二、 在問題中留白文字的表述

就在我表揚他們積極動腦，肯定他們的答案是正確的，準備鳴金收兵之時，我突然想到應當給學生留下空間，讓他們自己去發現。

師：你們還有什么要說的嗎？

生3：老師，我發現用15÷5×8也得到24。因為15除以5得到分子增加的倍數，再乘分母8就得到分母應增加的數了。所以這個方法還是可行的。

這位學生敏銳的觀察與縝密的思維，贏得一片掌聲。我真誠地表示：“你的好辦法老師都沒有想到，你真了不起！謝謝你精彩的發言給大家帶來了啟發。”

又如引出“循環小數”的教學內容時，筆者在這個環節安排了“拍打節奏”的場面，要求學生在教師的指揮下一起拍打│×××│的節奏，拍手的過程中，教師突然示意“停下”，發出感嘆：同學們真聰明，為什么拍打的節奏既整齊又動聽，是什么原因？我此時讓學生在問題中的留白處來展開討論……我們按照│×××│這樣的節奏依次不斷重復地拍，所以拍得整齊又動聽。數學上有一種很美的數，也象打節奏那樣，某些數字會按照一定的順序（依次）不斷重復出現，這就叫“循環小數”。這樣，建立“循環小數”的概念，經過拍打節奏來感知，大大提高了學習效率。

三、 在過渡中留白時空的轉換

在數學課堂上，當教學內容有所轉換時，教師可以有意識地把教材中的一些新授知識轉換成“空白”，讓學生在“空白”處自覺地探尋有關知識、方法和技能，使“空白”向有收效、有選擇、有節制、有創造的方面轉化，從而去掌握一定的知識，體會一種成功的愉悅。

比如我們在教學13-9時，可以讓學生在草稿紙上記下自己的一些想法，讓學生去把抽象的思考轉化為具體形象的記錄，這時學生出現這樣的幾種情況：

1.一個一個減：13-1-1-1-1-1-1-1-1-1=4

2.先從十個里先減去9個，然后加上3個：10-9+3=4

3.做減想加：9+（4）=13

4.13-1-8=4 13-3-6=4

把這幾種做法合起來看一下，一起來分析這些做法是否適合我們。這樣來完成第一個要求：同學們，這幾種方法你們都能看懂嗎？請你和同桌一起交流一下你的想法。接著來做第二步要求：你能對這些方法分類嗎？學生進行分類的過程也就是他們對方法本質理解的一個過程。最后我們一起完成第三個學習的要求：你們覺得哪幾種比較簡便、哪幾種比較麻煩？逐步去“逼”學生從簡便、簡潔方面去思考。第四步學生把解決問題的辦法集中到了第2、第3種。然后14-9、18-9、12-9等連貫帶出，一氣呵成。至此，認識13-9的主要認知過程結束。適時轉換內容，讓學生完成知識的空白，這樣學生會更簡潔、更深刻地掌握知識。

四、 在結束中留白反思的延伸

在課堂教學即將結束時，設計一些課后問題，讓學生在思考這個問題時根據教師的留白把那些零碎的知識構成知識鏈，環環相扣。例如，在13-9的教學片段中，教師沒有替代學生的思考，直接給出算法，而是讓學生嘗試算法，在多種算法呈現之后，教師給沒有武斷地判斷算法的優劣，而是通過幾個問題使重心下移，在留下探索的空間后，精彩也在“留白”中不期而至。

教學留白有效地激起了學生急于填補“空白”并使之完整、完善的欲望，激發了學生強烈的求知欲。“留白”絕不是隨隨便便的行為。好的課堂留白應該是“留而不流”、“白而不空”的。表面上平寂無物，實則暗潮涌動、神思飛揚。從某種意義上說，留白恰是在為形成新的高潮而蓄勢。

新的數學課堂在注重學生生成性的同時，對預設的要求更加提高了，它要求預設能真正關注學生的發展，關注學生的個體素養和為每個學生提供積極活動的保證。而我們數學課堂的“留白”，給學生留下的是他們思索的空間，留下的是他們想象的空間，留下的是他們體驗的空間。

參考文獻

[1] 李如密.教學藝術論.濟南：山東教育出版社，1995.

[2] 王耘，葉忠根，林秉德，小學生心理學.杭州：浙江教育出版社，1993.

【責任編輯：陳國慶】