數(shù)學(xué)課上尷尬之余的驚喜

孫俊勝

學(xué)生進(jìn)入高二，學(xué)習(xí)了立體幾何一段時(shí)間之后，在一次練習(xí)中，我們遇到了這樣一道題目：在空間四邊形中，互相垂直的邊最多有多少對(duì)？我當(dāng)場(chǎng)報(bào)出答案：6對(duì)！這個(gè)答案頓時(shí)引起全班學(xué)生的一片嘩然，他們強(qiáng)烈要求馬上講這道題。

事實(shí)上，我在做這道題目的時(shí)候，誤把題中的“空間四邊形”讀作“空間四面體”。如圖：PA，AB，AC兩兩垂直，則有6對(duì)相互垂直的棱PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，PC⊥AB，PB⊥AC，AB⊥AC。

我當(dāng)時(shí)估計(jì)學(xué)生可能出現(xiàn)的“錯(cuò)誤”是：想當(dāng)然地看到了相交垂直，沒有認(rèn)識(shí)有異面垂直的情況，為了“暴露學(xué)生的錯(cuò)誤”，并且“幫助學(xué)生有效地改正錯(cuò)誤”，就請(qǐng)學(xué)生上前說明自己的做法。

一、風(fēng)波生，討論起

先是顧丹上來，她果然畫出了上面的圖形，指出PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC，忽略了異面垂直的情形。當(dāng)我得意洋洋地“指出錯(cuò)誤”的時(shí)候，有個(gè)別學(xué)生說：“老師題目中是‘空間四邊形呀！”我仔細(xì)看了一下，呀！果然是把題目看錯(cuò)了。我心里一緊，糟了，這可如何是好！是草草收?qǐng)?，下課我自己認(rèn)真研究一番之后再給學(xué)生答復(fù)，還是硬著頭皮討論下去當(dāng)場(chǎng)給學(xué)生一個(gè)解答呢？

此時(shí)，學(xué)生群情激奮，彼此討論得異常熱烈。有的埋頭作圖，有的創(chuàng)建模型，絲毫沒有作罷的意思。而且看著他們?nèi)绱苏J(rèn)真地投入，更是不忍心打斷他們。況且解決這個(gè)問題的過程，依賴于學(xué)生對(duì)空間圖形的認(rèn)識(shí)和對(duì)垂直的相關(guān)關(guān)系的理解。于是，我決定先由學(xué)生自由探討，再讓他們展示成果，最后師生共同總結(jié)。

二、展成果，辨正誤

經(jīng)過一段時(shí)間的討論，學(xué)生都不同程度地形成了自己的認(rèn)識(shí)，我提議現(xiàn)場(chǎng)“發(fā)布”他們各部分的“研究成果”。場(chǎng)面真是相當(dāng)壯觀。他們一改平日里提問時(shí)吞吞吐吐、欲言又止的狀況，爭(zhēng)先恐后地說，聲音更是響亮。

一展：一個(gè)女生宣布：“有四對(duì)！”隨之拿出了自己的模型（一個(gè)正方形的便箋紙），沿對(duì)角線BD翻折：“翻折之后，如果我還讓AB⊥BC且CD⊥AD，不就有四對(duì)了嗎？”

■ ■

辨：乍一聽，似乎言之有理。稍作思考之后，馬上就有了疑問：“問題是，AB⊥BC且CD⊥AD的情況存在嗎？”經(jīng)過緊張的論證之后，他們得出結(jié)論：“不存在！”

還是這個(gè)女生自己推翻了先前的觀點(diǎn)：“翻折前，翻折后，此時(shí)的AC長(zhǎng)是小于翻折前的AC長(zhǎng)，不滿足勾股定理，所以AB⊥BC不能成立！同理，CD⊥AC也不能成立！”

二展：緊接著，另一個(gè)女生展示了自己的成果：相當(dāng)于把剛剛的正方形沿著BD撕開，翻轉(zhuǎn)后對(duì)接，使得DC垂直于另一個(gè)平面。而后再重新命名為：空間四邊形P-CDB那么可以得到，，再由PB⊥面BCD，可得PB⊥BD。結(jié)論：有三對(duì)！

■ ■

辨：其他學(xué)生馬上提出疑問：“除此之外，難道沒有其它邊相互垂直了嗎？”一個(gè)男生補(bǔ)充道：“不是有CD⊥BC嗎？”其他學(xué)生紛紛反駁：“BC是這個(gè)空間四邊形的對(duì)角線，又不是邊！”說得此男生連連點(diǎn)頭，俯首稱臣。

學(xué)生換了一種拼接方式，讓兩個(gè)直角頂點(diǎn)對(duì)接，得到類似于開始上課時(shí)的空間四邊形MNOP：MP，PO，PN兩兩垂直。經(jīng)過研究，得到結(jié)論：互相垂直的邊仍然是有三對(duì)。那么根據(jù)剛才的研究是不是可以得出結(jié)論：最多有三對(duì)呢？有部分同學(xué)立即投入否定剛才這個(gè)結(jié)論的研究中，能不能再找到一對(duì)，有四對(duì)邊垂直呢？

三展：另一個(gè)男生拿出幾支筆，搭建了模型，提出了自己的猜想：保證1垂直于2，2垂直于3，轉(zhuǎn)動(dòng)4，能不能使得4同時(shí)與1和3都垂直呢？如果存在的話不就有四對(duì)邊垂直了嗎？

辨：剛一聽，覺得還挺有道理?？勺屑?xì)一想，如此一來，2和4就都是異面直線1與2的公垂線段了嗎？

于是，假設(shè)錯(cuò)誤。再于是，得到了一個(gè)類似于定理的結(jié)論：空間四邊形的四個(gè)角不可能都是直角！得到了這樣一個(gè)結(jié)論之后，他們都既興奮又高興，還有一點(diǎn)滿足，還有一些意猶未盡。

三、大膽猜，嚴(yán)謹(jǐn)證

大家討論熱烈，積極探討。等到把大家所能想到都研究過了，他們開始邊猶豫，邊試探：是不是真的最多只有三對(duì)呢？又如何才能嚴(yán)格地證明這樣的猜想呢？這需要嚴(yán)格地分類討論。

在剛才的理論“空間四邊形的四個(gè)角不可能都是直角”的支持下進(jìn)行討論：

1.如果有三個(gè)內(nèi)角是直角

圖：角A，B，C分別是直角。已經(jīng)有三對(duì)直角。

先考慮邊1，若1⊥3，因?yàn)樵?⊥2，所以得到CB⊥面ABD，則3⊥BD與3⊥4矛盾。

再考慮邊2，若2⊥4，可得2⊥BD，與2⊥1矛盾。

……

這樣，逐一考慮結(jié)束之后，可以得出結(jié)論：在這種情況下，只有三對(duì)邊垂直。

2.如果有兩個(gè)內(nèi)角是直角

（1）如果這兩個(gè)內(nèi)角相鄰：角A，B是直角?？紤]邊1的話，1最多與3垂直?？紤]2的話，2不可能與4垂直（否則2⊥BD，與2⊥1矛盾）。這樣又可以得到結(jié)論：在這種情況下，只有三對(duì)邊垂直。

（2）如果這兩個(gè)內(nèi)角相對(duì)：角A，C是直角?？紤]邊1的話，1最多與3垂直?？紤]2的話，2不可能與4垂直（否則2⊥AC，與3⊥AC矛盾）。這樣又可以得到結(jié)論：在這種情況下，只有三對(duì)邊垂直。這個(gè)圖形，其實(shí)就是二展中所展示的圖形。

3.如果只有一個(gè)內(nèi)角是直角

比如，上述的四邊形中只有角A是直角。那么考慮邊1的話，1最多與3垂直。考慮2的話，2最多4垂直。結(jié)論成立。

4.如果沒有一個(gè)內(nèi)角是直角

如果沒有一個(gè)內(nèi)角是直角，那么最多1與3垂直，2與4垂直，結(jié)論依然成立。

四、喟教訓(xùn)，促反思

討論至此，這道最初因我誤讀而起的風(fēng)波已經(jīng)慢慢地平息了下來，大家都沉浸在提出問題、探索問題、解決問題的喜悅之中。在他們?cè)诩?dòng)和興奮之中整理知識(shí)的時(shí)候，我也開始了反思。

由于我的粗心與失誤，引起了這種強(qiáng)烈的沖突。還好最終問題得到了圓滿解決。試想，如果問題展開了最終卻沒有獲得解決，會(huì)造成什么樣的后果！無(wú)論是數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)還是現(xiàn)實(shí)生活，都有像這次誤讀一樣因小失大、一字之差謬之千里的事情發(fā)生。下課之時(shí)，師生共同總結(jié)教訓(xùn)：讀題目時(shí)，一定要逐字逐句；做人做事，一定要小心謹(jǐn)慎。

這場(chǎng)意外，卻意外地引起學(xué)生濃厚的興趣。全班同學(xué)無(wú)一例外地投身于這場(chǎng)熱烈的討論與探究之中，非常認(rèn)真，非常主動(dòng)，非常合作，前所未有。從知識(shí)上，這節(jié)課中他們搭建的模型、做出的圖形都是集垂直于一身的典型題目。上完這節(jié)課，他們對(duì)線線垂直、線面垂直都有了非常深刻的認(rèn)識(shí)；他們?cè)谶@節(jié)課上經(jīng)歷了先猜后證、先歸納后總結(jié)的全過程，完整地體會(huì)了一個(gè)未知的結(jié)論誕生的過程。尤其值得稱道的是，他們居然還能從研究過程中整理出一個(gè)結(jié)論：空間四邊形的四個(gè)角不可能都是直角，并把它作為“引例”證明之后的結(jié)論，而這種方法是大學(xué)以后才涉入及并使用的。

由此，我開始反思自己的教學(xué)方法。以前按步就班的方法的確過于沉悶，不是學(xué)生不愿意配合，不是學(xué)生不愿意主動(dòng)，而是我沒有給學(xué)生營(yíng)造這樣的氣氛。以后再上題目講評(píng)課的時(shí)候，完全可以采用“我的錯(cuò)題我來評(píng)”，或者是“老師出錯(cuò)我來糾”等方法，引發(fā)學(xué)生的興趣。

由此看來，一線教師在教書的同時(shí)，一定要深挖教材，做到“家中有糧心不慌”。

參考文獻(xiàn)：

[1]傅海倫.對(duì)當(dāng)前中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的總結(jié)與反思[J].教育科學(xué)研究，2009（3）.

[2]歐蕾.淺析運(yùn)用思維轉(zhuǎn)換法創(chuàng)造性地學(xué)習(xí)[J].貴州社會(huì)主義學(xué)院學(xué)報(bào)，2008（2）.

學(xué)生進(jìn)入高二，學(xué)習(xí)了立體幾何一段時(shí)間之后，在一次練習(xí)中，我們遇到了這樣一道題目：在空間四邊形中，互相垂直的邊最多有多少對(duì)？我當(dāng)場(chǎng)報(bào)出答案：6對(duì)！這個(gè)答案頓時(shí)引起全班學(xué)生的一片嘩然，他們強(qiáng)烈要求馬上講這道題。

事實(shí)上，我在做這道題目的時(shí)候，誤把題中的“空間四邊形”讀作“空間四面體”。如圖：PA，AB，AC兩兩垂直，則有6對(duì)相互垂直的棱PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，PC⊥AB，PB⊥AC，AB⊥AC。

我當(dāng)時(shí)估計(jì)學(xué)生可能出現(xiàn)的“錯(cuò)誤”是：想當(dāng)然地看到了相交垂直，沒有認(rèn)識(shí)有異面垂直的情況，為了“暴露學(xué)生的錯(cuò)誤”，并且“幫助學(xué)生有效地改正錯(cuò)誤”，就請(qǐng)學(xué)生上前說明自己的做法。

一、風(fēng)波生，討論起

先是顧丹上來，她果然畫出了上面的圖形，指出PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC，忽略了異面垂直的情形。當(dāng)我得意洋洋地“指出錯(cuò)誤”的時(shí)候，有個(gè)別學(xué)生說：“老師題目中是‘空間四邊形呀！”我仔細(xì)看了一下，呀！果然是把題目看錯(cuò)了。我心里一緊，糟了，這可如何是好！是草草收?qǐng)?，下課我自己認(rèn)真研究一番之后再給學(xué)生答復(fù)，還是硬著頭皮討論下去當(dāng)場(chǎng)給學(xué)生一個(gè)解答呢？

此時(shí)，學(xué)生群情激奮，彼此討論得異常熱烈。有的埋頭作圖，有的創(chuàng)建模型，絲毫沒有作罷的意思。而且看著他們?nèi)绱苏J(rèn)真地投入，更是不忍心打斷他們。況且解決這個(gè)問題的過程，依賴于學(xué)生對(duì)空間圖形的認(rèn)識(shí)和對(duì)垂直的相關(guān)關(guān)系的理解。于是，我決定先由學(xué)生自由探討，再讓他們展示成果，最后師生共同總結(jié)。

二、展成果，辨正誤

經(jīng)過一段時(shí)間的討論，學(xué)生都不同程度地形成了自己的認(rèn)識(shí)，我提議現(xiàn)場(chǎng)“發(fā)布”他們各部分的“研究成果”。場(chǎng)面真是相當(dāng)壯觀。他們一改平日里提問時(shí)吞吞吐吐、欲言又止的狀況，爭(zhēng)先恐后地說，聲音更是響亮。

一展：一個(gè)女生宣布：“有四對(duì)！”隨之拿出了自己的模型（一個(gè)正方形的便箋紙），沿對(duì)角線BD翻折：“翻折之后，如果我還讓AB⊥BC且CD⊥AD，不就有四對(duì)了嗎？”

■ ■

辨：乍一聽，似乎言之有理。稍作思考之后，馬上就有了疑問：“問題是，AB⊥BC且CD⊥AD的情況存在嗎？”經(jīng)過緊張的論證之后，他們得出結(jié)論：“不存在！”

還是這個(gè)女生自己推翻了先前的觀點(diǎn)：“翻折前，翻折后，此時(shí)的AC長(zhǎng)是小于翻折前的AC長(zhǎng)，不滿足勾股定理，所以AB⊥BC不能成立！同理，CD⊥AC也不能成立！”

二展：緊接著，另一個(gè)女生展示了自己的成果：相當(dāng)于把剛剛的正方形沿著BD撕開，翻轉(zhuǎn)后對(duì)接，使得DC垂直于另一個(gè)平面。而后再重新命名為：空間四邊形P-CDB那么可以得到，，再由PB⊥面BCD，可得PB⊥BD。結(jié)論：有三對(duì)！

■ ■

辨：其他學(xué)生馬上提出疑問：“除此之外，難道沒有其它邊相互垂直了嗎？”一個(gè)男生補(bǔ)充道：“不是有CD⊥BC嗎？”其他學(xué)生紛紛反駁：“BC是這個(gè)空間四邊形的對(duì)角線，又不是邊！”說得此男生連連點(diǎn)頭，俯首稱臣。

學(xué)生換了一種拼接方式，讓兩個(gè)直角頂點(diǎn)對(duì)接，得到類似于開始上課時(shí)的空間四邊形MNOP：MP，PO，PN兩兩垂直。經(jīng)過研究，得到結(jié)論：互相垂直的邊仍然是有三對(duì)。那么根據(jù)剛才的研究是不是可以得出結(jié)論：最多有三對(duì)呢？有部分同學(xué)立即投入否定剛才這個(gè)結(jié)論的研究中，能不能再找到一對(duì)，有四對(duì)邊垂直呢？

三展：另一個(gè)男生拿出幾支筆，搭建了模型，提出了自己的猜想：保證1垂直于2，2垂直于3，轉(zhuǎn)動(dòng)4，能不能使得4同時(shí)與1和3都垂直呢？如果存在的話不就有四對(duì)邊垂直了嗎？

辨：剛一聽，覺得還挺有道理?？勺屑?xì)一想，如此一來，2和4就都是異面直線1與2的公垂線段了嗎？

于是，假設(shè)錯(cuò)誤。再于是，得到了一個(gè)類似于定理的結(jié)論：空間四邊形的四個(gè)角不可能都是直角！得到了這樣一個(gè)結(jié)論之后，他們都既興奮又高興，還有一點(diǎn)滿足，還有一些意猶未盡。

三、大膽猜，嚴(yán)謹(jǐn)證

大家討論熱烈，積極探討。等到把大家所能想到都研究過了，他們開始邊猶豫，邊試探：是不是真的最多只有三對(duì)呢？又如何才能嚴(yán)格地證明這樣的猜想呢？這需要嚴(yán)格地分類討論。

在剛才的理論“空間四邊形的四個(gè)角不可能都是直角”的支持下進(jìn)行討論：

1.如果有三個(gè)內(nèi)角是直角

圖：角A，B，C分別是直角。已經(jīng)有三對(duì)直角。

先考慮邊1，若1⊥3，因?yàn)樵?⊥2，所以得到CB⊥面ABD，則3⊥BD與3⊥4矛盾。

再考慮邊2，若2⊥4，可得2⊥BD，與2⊥1矛盾。

……

這樣，逐一考慮結(jié)束之后，可以得出結(jié)論：在這種情況下，只有三對(duì)邊垂直。

2.如果有兩個(gè)內(nèi)角是直角

（1）如果這兩個(gè)內(nèi)角相鄰：角A，B是直角。考慮邊1的話，1最多與3垂直?？紤]2的話，2不可能與4垂直（否則2⊥BD，與2⊥1矛盾）。這樣又可以得到結(jié)論：在這種情況下，只有三對(duì)邊垂直。

（2）如果這兩個(gè)內(nèi)角相對(duì)：角A，C是直角?？紤]邊1的話，1最多與3垂直?？紤]2的話，2不可能與4垂直（否則2⊥AC，與3⊥AC矛盾）。這樣又可以得到結(jié)論：在這種情況下，只有三對(duì)邊垂直。這個(gè)圖形，其實(shí)就是二展中所展示的圖形。

3.如果只有一個(gè)內(nèi)角是直角

比如，上述的四邊形中只有角A是直角。那么考慮邊1的話，1最多與3垂直?？紤]2的話，2最多4垂直。結(jié)論成立。

4.如果沒有一個(gè)內(nèi)角是直角

如果沒有一個(gè)內(nèi)角是直角，那么最多1與3垂直，2與4垂直，結(jié)論依然成立。

四、喟教訓(xùn)，促反思

討論至此，這道最初因我誤讀而起的風(fēng)波已經(jīng)慢慢地平息了下來，大家都沉浸在提出問題、探索問題、解決問題的喜悅之中。在他們?cè)诩?dòng)和興奮之中整理知識(shí)的時(shí)候，我也開始了反思。

由于我的粗心與失誤，引起了這種強(qiáng)烈的沖突。還好最終問題得到了圓滿解決。試想，如果問題展開了最終卻沒有獲得解決，會(huì)造成什么樣的后果！無(wú)論是數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)還是現(xiàn)實(shí)生活，都有像這次誤讀一樣因小失大、一字之差謬之千里的事情發(fā)生。下課之時(shí)，師生共同總結(jié)教訓(xùn)：讀題目時(shí)，一定要逐字逐句；做人做事，一定要小心謹(jǐn)慎。

這場(chǎng)意外，卻意外地引起學(xué)生濃厚的興趣。全班同學(xué)無(wú)一例外地投身于這場(chǎng)熱烈的討論與探究之中，非常認(rèn)真，非常主動(dòng)，非常合作，前所未有。從知識(shí)上，這節(jié)課中他們搭建的模型、做出的圖形都是集垂直于一身的典型題目。上完這節(jié)課，他們對(duì)線線垂直、線面垂直都有了非常深刻的認(rèn)識(shí)；他們?cè)谶@節(jié)課上經(jīng)歷了先猜后證、先歸納后總結(jié)的全過程，完整地體會(huì)了一個(gè)未知的結(jié)論誕生的過程。尤其值得稱道的是，他們居然還能從研究過程中整理出一個(gè)結(jié)論：空間四邊形的四個(gè)角不可能都是直角，并把它作為“引例”證明之后的結(jié)論，而這種方法是大學(xué)以后才涉入及并使用的。

由此，我開始反思自己的教學(xué)方法。以前按步就班的方法的確過于沉悶，不是學(xué)生不愿意配合，不是學(xué)生不愿意主動(dòng)，而是我沒有給學(xué)生營(yíng)造這樣的氣氛。以后再上題目講評(píng)課的時(shí)候，完全可以采用“我的錯(cuò)題我來評(píng)”，或者是“老師出錯(cuò)我來糾”等方法，引發(fā)學(xué)生的興趣。

由此看來，一線教師在教書的同時(shí)，一定要深挖教材，做到“家中有糧心不慌”。

參考文獻(xiàn)：

[1]傅海倫.對(duì)當(dāng)前中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的總結(jié)與反思[J].教育科學(xué)研究，2009（3）.

[2]歐蕾.淺析運(yùn)用思維轉(zhuǎn)換法創(chuàng)造性地學(xué)習(xí)[J].貴州社會(huì)主義學(xué)院學(xué)報(bào)，2008（2）.

學(xué)生進(jìn)入高二，學(xué)習(xí)了立體幾何一段時(shí)間之后，在一次練習(xí)中，我們遇到了這樣一道題目：在空間四邊形中，互相垂直的邊最多有多少對(duì)？我當(dāng)場(chǎng)報(bào)出答案：6對(duì)！這個(gè)答案頓時(shí)引起全班學(xué)生的一片嘩然，他們強(qiáng)烈要求馬上講這道題。

事實(shí)上，我在做這道題目的時(shí)候，誤把題中的“空間四邊形”讀作“空間四面體”。如圖：PA，AB，AC兩兩垂直，則有6對(duì)相互垂直的棱PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，PC⊥AB，PB⊥AC，AB⊥AC。

我當(dāng)時(shí)估計(jì)學(xué)生可能出現(xiàn)的“錯(cuò)誤”是：想當(dāng)然地看到了相交垂直，沒有認(rèn)識(shí)有異面垂直的情況，為了“暴露學(xué)生的錯(cuò)誤”，并且“幫助學(xué)生有效地改正錯(cuò)誤”，就請(qǐng)學(xué)生上前說明自己的做法。

一、風(fēng)波生，討論起

先是顧丹上來，她果然畫出了上面的圖形，指出PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC，忽略了異面垂直的情形。當(dāng)我得意洋洋地“指出錯(cuò)誤”的時(shí)候，有個(gè)別學(xué)生說：“老師題目中是‘空間四邊形呀！”我仔細(xì)看了一下，呀！果然是把題目看錯(cuò)了。我心里一緊，糟了，這可如何是好！是草草收?qǐng)?，下課我自己認(rèn)真研究一番之后再給學(xué)生答復(fù)，還是硬著頭皮討論下去當(dāng)場(chǎng)給學(xué)生一個(gè)解答呢？

此時(shí)，學(xué)生群情激奮，彼此討論得異常熱烈。有的埋頭作圖，有的創(chuàng)建模型，絲毫沒有作罷的意思。而且看著他們?nèi)绱苏J(rèn)真地投入，更是不忍心打斷他們。況且解決這個(gè)問題的過程，依賴于學(xué)生對(duì)空間圖形的認(rèn)識(shí)和對(duì)垂直的相關(guān)關(guān)系的理解。于是，我決定先由學(xué)生自由探討，再讓他們展示成果，最后師生共同總結(jié)。

二、展成果，辨正誤

經(jīng)過一段時(shí)間的討論，學(xué)生都不同程度地形成了自己的認(rèn)識(shí)，我提議現(xiàn)場(chǎng)“發(fā)布”他們各部分的“研究成果”。場(chǎng)面真是相當(dāng)壯觀。他們一改平日里提問時(shí)吞吞吐吐、欲言又止的狀況，爭(zhēng)先恐后地說，聲音更是響亮。

一展：一個(gè)女生宣布：“有四對(duì)！”隨之拿出了自己的模型（一個(gè)正方形的便箋紙），沿對(duì)角線BD翻折：“翻折之后，如果我還讓AB⊥BC且CD⊥AD，不就有四對(duì)了嗎？”

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辨：乍一聽，似乎言之有理。稍作思考之后，馬上就有了疑問：“問題是，AB⊥BC且CD⊥AD的情況存在嗎？”經(jīng)過緊張的論證之后，他們得出結(jié)論：“不存在！”

還是這個(gè)女生自己推翻了先前的觀點(diǎn)：“翻折前，翻折后，此時(shí)的AC長(zhǎng)是小于翻折前的AC長(zhǎng)，不滿足勾股定理，所以AB⊥BC不能成立！同理，CD⊥AC也不能成立！”

二展：緊接著，另一個(gè)女生展示了自己的成果：相當(dāng)于把剛剛的正方形沿著BD撕開，翻轉(zhuǎn)后對(duì)接，使得DC垂直于另一個(gè)平面。而后再重新命名為：空間四邊形P-CDB那么可以得到，，再由PB⊥面BCD，可得PB⊥BD。結(jié)論：有三對(duì)！

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辨：其他學(xué)生馬上提出疑問：“除此之外，難道沒有其它邊相互垂直了嗎？”一個(gè)男生補(bǔ)充道：“不是有CD⊥BC嗎？”其他學(xué)生紛紛反駁：“BC是這個(gè)空間四邊形的對(duì)角線，又不是邊！”說得此男生連連點(diǎn)頭，俯首稱臣。

學(xué)生換了一種拼接方式，讓兩個(gè)直角頂點(diǎn)對(duì)接，得到類似于開始上課時(shí)的空間四邊形MNOP：MP，PO，PN兩兩垂直。經(jīng)過研究，得到結(jié)論：互相垂直的邊仍然是有三對(duì)。那么根據(jù)剛才的研究是不是可以得出結(jié)論：最多有三對(duì)呢？有部分同學(xué)立即投入否定剛才這個(gè)結(jié)論的研究中，能不能再找到一對(duì)，有四對(duì)邊垂直呢？

三展：另一個(gè)男生拿出幾支筆，搭建了模型，提出了自己的猜想：保證1垂直于2，2垂直于3，轉(zhuǎn)動(dòng)4，能不能使得4同時(shí)與1和3都垂直呢？如果存在的話不就有四對(duì)邊垂直了嗎？

辨：剛一聽，覺得還挺有道理。可仔細(xì)一想，如此一來，2和4就都是異面直線1與2的公垂線段了嗎？

于是，假設(shè)錯(cuò)誤。再于是，得到了一個(gè)類似于定理的結(jié)論：空間四邊形的四個(gè)角不可能都是直角！得到了這樣一個(gè)結(jié)論之后，他們都既興奮又高興，還有一點(diǎn)滿足，還有一些意猶未盡。

三、大膽猜，嚴(yán)謹(jǐn)證

大家討論熱烈，積極探討。等到把大家所能想到都研究過了，他們開始邊猶豫，邊試探：是不是真的最多只有三對(duì)呢？又如何才能嚴(yán)格地證明這樣的猜想呢？這需要嚴(yán)格地分類討論。

在剛才的理論“空間四邊形的四個(gè)角不可能都是直角”的支持下進(jìn)行討論：

1.如果有三個(gè)內(nèi)角是直角

圖：角A，B，C分別是直角。已經(jīng)有三對(duì)直角。

先考慮邊1，若1⊥3，因?yàn)樵?⊥2，所以得到CB⊥面ABD，則3⊥BD與3⊥4矛盾。

再考慮邊2，若2⊥4，可得2⊥BD，與2⊥1矛盾。

……

這樣，逐一考慮結(jié)束之后，可以得出結(jié)論：在這種情況下，只有三對(duì)邊垂直。

2.如果有兩個(gè)內(nèi)角是直角

（1）如果這兩個(gè)內(nèi)角相鄰：角A，B是直角?？紤]邊1的話，1最多與3垂直。考慮2的話，2不可能與4垂直（否則2⊥BD，與2⊥1矛盾）。這樣又可以得到結(jié)論：在這種情況下，只有三對(duì)邊垂直。

（2）如果這兩個(gè)內(nèi)角相對(duì)：角A，C是直角。考慮邊1的話，1最多與3垂直?？紤]2的話，2不可能與4垂直（否則2⊥AC，與3⊥AC矛盾）。這樣又可以得到結(jié)論：在這種情況下，只有三對(duì)邊垂直。這個(gè)圖形，其實(shí)就是二展中所展示的圖形。

3.如果只有一個(gè)內(nèi)角是直角

比如，上述的四邊形中只有角A是直角。那么考慮邊1的話，1最多與3垂直?？紤]2的話，2最多4垂直。結(jié)論成立。

4.如果沒有一個(gè)內(nèi)角是直角

如果沒有一個(gè)內(nèi)角是直角，那么最多1與3垂直，2與4垂直，結(jié)論依然成立。

四、喟教訓(xùn)，促反思

討論至此，這道最初因我誤讀而起的風(fēng)波已經(jīng)慢慢地平息了下來，大家都沉浸在提出問題、探索問題、解決問題的喜悅之中。在他們?cè)诩?dòng)和興奮之中整理知識(shí)的時(shí)候，我也開始了反思。

由于我的粗心與失誤，引起了這種強(qiáng)烈的沖突。還好最終問題得到了圓滿解決。試想，如果問題展開了最終卻沒有獲得解決，會(huì)造成什么樣的后果！無(wú)論是數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)還是現(xiàn)實(shí)生活，都有像這次誤讀一樣因小失大、一字之差謬之千里的事情發(fā)生。下課之時(shí)，師生共同總結(jié)教訓(xùn)：讀題目時(shí)，一定要逐字逐句；做人做事，一定要小心謹(jǐn)慎。

這場(chǎng)意外，卻意外地引起學(xué)生濃厚的興趣。全班同學(xué)無(wú)一例外地投身于這場(chǎng)熱烈的討論與探究之中，非常認(rèn)真，非常主動(dòng)，非常合作，前所未有。從知識(shí)上，這節(jié)課中他們搭建的模型、做出的圖形都是集垂直于一身的典型題目。上完這節(jié)課，他們對(duì)線線垂直、線面垂直都有了非常深刻的認(rèn)識(shí)；他們?cè)谶@節(jié)課上經(jīng)歷了先猜后證、先歸納后總結(jié)的全過程，完整地體會(huì)了一個(gè)未知的結(jié)論誕生的過程。尤其值得稱道的是，他們居然還能從研究過程中整理出一個(gè)結(jié)論：空間四邊形的四個(gè)角不可能都是直角，并把它作為“引例”證明之后的結(jié)論，而這種方法是大學(xué)以后才涉入及并使用的。

由此，我開始反思自己的教學(xué)方法。以前按步就班的方法的確過于沉悶，不是學(xué)生不愿意配合，不是學(xué)生不愿意主動(dòng)，而是我沒有給學(xué)生營(yíng)造這樣的氣氛。以后再上題目講評(píng)課的時(shí)候，完全可以采用“我的錯(cuò)題我來評(píng)”，或者是“老師出錯(cuò)我來糾”等方法，引發(fā)學(xué)生的興趣。

由此看來，一線教師在教書的同時(shí)，一定要深挖教材，做到“家中有糧心不慌”。

參考文獻(xiàn)：

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