基于數形結合思想的數學教學

練兆明

為了培養學生的創新意識，打造適應現代化建設的新型人才，國家逐步加大了素質教育體制和課程改革的推進力度.素質教育以理論知識和靈活分析問題、處理問題的能力來考查學生的綜合素質.在初中數學教學中，教師也要意識到學生創新思維和探索能力的培養.數形結合是一種應用廣泛的重要思想方法，有利于拓展學生的思維空間，激發學生的求知欲望.因此，應該將數形結合思想有效地與課堂教學相互滲透，將數形結合思想的具體應用加以升華.本文結合了具體的數學例子對基于數形結合思想的初中數學教學展開了討論.

一、數形結合思想的初步認識

只有數據而缺乏圖示的信息，顯得不夠形象直觀；只有圖形而沒有數據的描述，難以細致全面地深入分析信息.因此，教學中，我們提倡抽象與直觀因素的有機結合，也就是數學中常用到的“數形結合”思想.其實質是代數與幾何的巧妙融合和靈活轉化.數形結合思想指導我們在抽象數學思維和形象圖形思維之間進行合理轉化，把精確的代數刻畫與形象的幾何描繪統一起來，這樣便能夠凸顯數學問題的本質所在，很多問題的解決也變得簡單快捷.在初中數學教學中，教師要積極引導學生學會利用數形結合思想方法分析問題.在數形結合思想的教學中，教師可以從幾個主要的角度入手.建立不等式、方程、函數等代數模型；通過幾何圖形或函數圖像等幾何模型來解決方程和函數問題；解決與函數有關的代數和幾何的綜合性題目；用適當的圖像呈現題目的數學信息.數形結合思想的關鍵是準確找出數與形的結合點，學生要善于借助歸納類比法、觀察分析法、綜合概括法等其他方法，發現題目中數與形的結合點.

二、數形結合思想的深層滲透

在初中數學教學中，教師要學會通過對數學基本概念的深入分析，將數形結合思想深入到整個數學體系當中.數學概念反映的是一類對象的屬性，是對一類知識點本質的高度概括，同時也是進行數學推斷，建立數學定理、法則和公式的依據.因此，將數學概念作為擴展數形結合思想的立足點，不僅能夠反映事物在數量以及空間層面的本質屬性，還有利于思想方法在同類知識中的大范圍擴散.數形結合思想全面滲透到每一個數學概念之中，能夠幫助學生進一步把握概念的本質，同時也為數形結合這一抽象的思想方法尋到了一個具體有效的載體.在對滲透了數形結合思想的數學概念進行理解的基礎上，再進一步運用數形結合思想解決具體題目.此時，教師要發揮例題的作用，通過分析典型例題來明確運用數形結合思想的具體思路.

在實數內容的學習中，我們將實數直觀的定義為和數軸上的點一一對應的數，這很好地凸顯出了數形結合思想的應用.直線是無限多個點的集合，實數也包含了正實數、零和負實數在內的無數個數字.兩者在數量上存在共性，因此，直線上的點可以表示實數.由此，我們引入了數軸——規定了原點、正方向和單位長度的直線就是數軸.建立了數軸上的點與實數一一對應的關系.今后在學習絕對值、相反數、有理數等內容的時候，也可以利用數軸做更為直觀的理解.除此之外，在學習一元一次不等式和一元一次不等式組的相關內容時，在數軸上表示不等式的解集，學生就能夠更加直觀地理解不等式的解集問題.“數軸”所蘊含的“數形結合”思想，即是數學概念與數形結合思想的有機滲透，有助于學生進一步強化對數形結合思想的全面掌握.

函數及其圖像也是初中數學教學中的一個重點.在直角坐標系中，有序實數對（x，y）與點P存在著一一對應的關系，因此，函數與其圖像必然符合數形結合思想.在解題過程中，我們可以將已知函數用其對應的圖像來表示，從而分析出函數的性質，研究函數的變化趨勢、對稱特點、增減性，以及對應方程的解的情況等問題.下面我們就這一問題進行分析.

【例1】已知拋物線y=-x2+（m-1）x+m與y軸的交點是點（0，3）.

（1）求m的值，并畫出拋物線的圖像；

（2）求拋物線圖像與x軸的交點坐標、拋物線頂點的坐標；

（3）確定x的取值范圍，使得拋物線位于x軸的上方；

（4）確定x的取值范圍，使得y值能夠隨著x的增大而減小.

解析：（1）由拋物線y=-x2+（m-1）x+m與y軸相交于點（0，3）可以計算出m的值為3，所以得出拋物線為y=-x2+2x+3.圖像略.

（2）由-x2+2x+3=0可解得x1=-1，x2=3.所以，拋物線與x軸相交于點（-1，0）和（3，0）.

又因為y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，所以拋物線的頂點坐標為（1，4）.

（3）由拋物線圖像可知，當-1

（4）觀察拋物線的圖像，得出x>1，使得y值隨著x的增大而減小.

在學習圓這一章的知識時，點與圓、直線與圓以及圓與圓的位置關系突出表現了數形結合思想.在解直角三角形這一章當中，三角函數概念、推導三角形的解法，都與數形結合思想相關聯.下述例題考查的是解三角形問題和直線與圓的位置關系.

【例2】已知△ABC是直角三角形，∠C=90°，AC

為了培養學生的創新意識，打造適應現代化建設的新型人才，國家逐步加大了素質教育體制和課程改革的推進力度.素質教育以理論知識和靈活分析問題、處理問題的能力來考查學生的綜合素質.在初中數學教學中，教師也要意識到學生創新思維和探索能力的培養.數形結合是一種應用廣泛的重要思想方法，有利于拓展學生的思維空間，激發學生的求知欲望.因此，應該將數形結合思想有效地與課堂教學相互滲透，將數形結合思想的具體應用加以升華.本文結合了具體的數學例子對基于數形結合思想的初中數學教學展開了討論.

一、數形結合思想的初步認識

只有數據而缺乏圖示的信息，顯得不夠形象直觀；只有圖形而沒有數據的描述，難以細致全面地深入分析信息.因此，教學中，我們提倡抽象與直觀因素的有機結合，也就是數學中常用到的“數形結合”思想.其實質是代數與幾何的巧妙融合和靈活轉化.數形結合思想指導我們在抽象數學思維和形象圖形思維之間進行合理轉化，把精確的代數刻畫與形象的幾何描繪統一起來，這樣便能夠凸顯數學問題的本質所在，很多問題的解決也變得簡單快捷.在初中數學教學中，教師要積極引導學生學會利用數形結合思想方法分析問題.在數形結合思想的教學中，教師可以從幾個主要的角度入手.建立不等式、方程、函數等代數模型；通過幾何圖形或函數圖像等幾何模型來解決方程和函數問題；解決與函數有關的代數和幾何的綜合性題目；用適當的圖像呈現題目的數學信息.數形結合思想的關鍵是準確找出數與形的結合點，學生要善于借助歸納類比法、觀察分析法、綜合概括法等其他方法，發現題目中數與形的結合點.

二、數形結合思想的深層滲透

在初中數學教學中，教師要學會通過對數學基本概念的深入分析，將數形結合思想深入到整個數學體系當中.數學概念反映的是一類對象的屬性，是對一類知識點本質的高度概括，同時也是進行數學推斷，建立數學定理、法則和公式的依據.因此，將數學概念作為擴展數形結合思想的立足點，不僅能夠反映事物在數量以及空間層面的本質屬性，還有利于思想方法在同類知識中的大范圍擴散.數形結合思想全面滲透到每一個數學概念之中，能夠幫助學生進一步把握概念的本質，同時也為數形結合這一抽象的思想方法尋到了一個具體有效的載體.在對滲透了數形結合思想的數學概念進行理解的基礎上，再進一步運用數形結合思想解決具體題目.此時，教師要發揮例題的作用，通過分析典型例題來明確運用數形結合思想的具體思路.

在實數內容的學習中，我們將實數直觀的定義為和數軸上的點一一對應的數，這很好地凸顯出了數形結合思想的應用.直線是無限多個點的集合，實數也包含了正實數、零和負實數在內的無數個數字.兩者在數量上存在共性，因此，直線上的點可以表示實數.由此，我們引入了數軸——規定了原點、正方向和單位長度的直線就是數軸.建立了數軸上的點與實數一一對應的關系.今后在學習絕對值、相反數、有理數等內容的時候，也可以利用數軸做更為直觀的理解.除此之外，在學習一元一次不等式和一元一次不等式組的相關內容時，在數軸上表示不等式的解集，學生就能夠更加直觀地理解不等式的解集問題.“數軸”所蘊含的“數形結合”思想，即是數學概念與數形結合思想的有機滲透，有助于學生進一步強化對數形結合思想的全面掌握.

函數及其圖像也是初中數學教學中的一個重點.在直角坐標系中，有序實數對（x，y）與點P存在著一一對應的關系，因此，函數與其圖像必然符合數形結合思想.在解題過程中，我們可以將已知函數用其對應的圖像來表示，從而分析出函數的性質，研究函數的變化趨勢、對稱特點、增減性，以及對應方程的解的情況等問題.下面我們就這一問題進行分析.

【例1】已知拋物線y=-x2+（m-1）x+m與y軸的交點是點（0，3）.

（1）求m的值，并畫出拋物線的圖像；

（2）求拋物線圖像與x軸的交點坐標、拋物線頂點的坐標；

（3）確定x的取值范圍，使得拋物線位于x軸的上方；

（4）確定x的取值范圍，使得y值能夠隨著x的增大而減小.

解析：（1）由拋物線y=-x2+（m-1）x+m與y軸相交于點（0，3）可以計算出m的值為3，所以得出拋物線為y=-x2+2x+3.圖像略.

（2）由-x2+2x+3=0可解得x1=-1，x2=3.所以，拋物線與x軸相交于點（-1，0）和（3，0）.

又因為y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，所以拋物線的頂點坐標為（1，4）.

（3）由拋物線圖像可知，當-1

（4）觀察拋物線的圖像，得出x>1，使得y值隨著x的增大而減小.

在學習圓這一章的知識時，點與圓、直線與圓以及圓與圓的位置關系突出表現了數形結合思想.在解直角三角形這一章當中，三角函數概念、推導三角形的解法，都與數形結合思想相關聯.下述例題考查的是解三角形問題和直線與圓的位置關系.

【例2】已知△ABC是直角三角形，∠C=90°，AC

為了培養學生的創新意識，打造適應現代化建設的新型人才，國家逐步加大了素質教育體制和課程改革的推進力度.素質教育以理論知識和靈活分析問題、處理問題的能力來考查學生的綜合素質.在初中數學教學中，教師也要意識到學生創新思維和探索能力的培養.數形結合是一種應用廣泛的重要思想方法，有利于拓展學生的思維空間，激發學生的求知欲望.因此，應該將數形結合思想有效地與課堂教學相互滲透，將數形結合思想的具體應用加以升華.本文結合了具體的數學例子對基于數形結合思想的初中數學教學展開了討論.

一、數形結合思想的初步認識

只有數據而缺乏圖示的信息，顯得不夠形象直觀；只有圖形而沒有數據的描述，難以細致全面地深入分析信息.因此，教學中，我們提倡抽象與直觀因素的有機結合，也就是數學中常用到的“數形結合”思想.其實質是代數與幾何的巧妙融合和靈活轉化.數形結合思想指導我們在抽象數學思維和形象圖形思維之間進行合理轉化，把精確的代數刻畫與形象的幾何描繪統一起來，這樣便能夠凸顯數學問題的本質所在，很多問題的解決也變得簡單快捷.在初中數學教學中，教師要積極引導學生學會利用數形結合思想方法分析問題.在數形結合思想的教學中，教師可以從幾個主要的角度入手.建立不等式、方程、函數等代數模型；通過幾何圖形或函數圖像等幾何模型來解決方程和函數問題；解決與函數有關的代數和幾何的綜合性題目；用適當的圖像呈現題目的數學信息.數形結合思想的關鍵是準確找出數與形的結合點，學生要善于借助歸納類比法、觀察分析法、綜合概括法等其他方法，發現題目中數與形的結合點.

二、數形結合思想的深層滲透

在初中數學教學中，教師要學會通過對數學基本概念的深入分析，將數形結合思想深入到整個數學體系當中.數學概念反映的是一類對象的屬性，是對一類知識點本質的高度概括，同時也是進行數學推斷，建立數學定理、法則和公式的依據.因此，將數學概念作為擴展數形結合思想的立足點，不僅能夠反映事物在數量以及空間層面的本質屬性，還有利于思想方法在同類知識中的大范圍擴散.數形結合思想全面滲透到每一個數學概念之中，能夠幫助學生進一步把握概念的本質，同時也為數形結合這一抽象的思想方法尋到了一個具體有效的載體.在對滲透了數形結合思想的數學概念進行理解的基礎上，再進一步運用數形結合思想解決具體題目.此時，教師要發揮例題的作用，通過分析典型例題來明確運用數形結合思想的具體思路.

在實數內容的學習中，我們將實數直觀的定義為和數軸上的點一一對應的數，這很好地凸顯出了數形結合思想的應用.直線是無限多個點的集合，實數也包含了正實數、零和負實數在內的無數個數字.兩者在數量上存在共性，因此，直線上的點可以表示實數.由此，我們引入了數軸——規定了原點、正方向和單位長度的直線就是數軸.建立了數軸上的點與實數一一對應的關系.今后在學習絕對值、相反數、有理數等內容的時候，也可以利用數軸做更為直觀的理解.除此之外，在學習一元一次不等式和一元一次不等式組的相關內容時，在數軸上表示不等式的解集，學生就能夠更加直觀地理解不等式的解集問題.“數軸”所蘊含的“數形結合”思想，即是數學概念與數形結合思想的有機滲透，有助于學生進一步強化對數形結合思想的全面掌握.

函數及其圖像也是初中數學教學中的一個重點.在直角坐標系中，有序實數對（x，y）與點P存在著一一對應的關系，因此，函數與其圖像必然符合數形結合思想.在解題過程中，我們可以將已知函數用其對應的圖像來表示，從而分析出函數的性質，研究函數的變化趨勢、對稱特點、增減性，以及對應方程的解的情況等問題.下面我們就這一問題進行分析.

【例1】已知拋物線y=-x2+（m-1）x+m與y軸的交點是點（0，3）.

（1）求m的值，并畫出拋物線的圖像；

（2）求拋物線圖像與x軸的交點坐標、拋物線頂點的坐標；

（3）確定x的取值范圍，使得拋物線位于x軸的上方；

（4）確定x的取值范圍，使得y值能夠隨著x的增大而減小.

解析：（1）由拋物線y=-x2+（m-1）x+m與y軸相交于點（0，3）可以計算出m的值為3，所以得出拋物線為y=-x2+2x+3.圖像略.

（2）由-x2+2x+3=0可解得x1=-1，x2=3.所以，拋物線與x軸相交于點（-1，0）和（3，0）.

又因為y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，所以拋物線的頂點坐標為（1，4）.

（3）由拋物線圖像可知，當-1

（4）觀察拋物線的圖像，得出x>1，使得y值隨著x的增大而減小.

在學習圓這一章的知識時，點與圓、直線與圓以及圓與圓的位置關系突出表現了數形結合思想.在解直角三角形這一章當中，三角函數概念、推導三角形的解法，都與數形結合思想相關聯.下述例題考查的是解三角形問題和直線與圓的位置關系.

【例2】已知△ABC是直角三角形，∠C=90°，AC