探討《三角函數不等式》教學中的幾個常見問題

霍蓓筠

【摘 要】本文對三角函數不等式教學中的常見問題展開探討，讓學生在學習中既可以加深對三角函數的理解，又可以使學生對不等式進一步了解，還可以為以后的學習打下堅實的基礎。

【關鍵詞】三角函數不等式

三角函數是數學中屬于初等函數中的超越函數的一類函數，其本質是在任何角的集合與一個比值的集合的變量之間的映射。通常的三角函數是在平面直角坐標系中定義的，定義域十分寬廣，為整個實數域。另一種定義則是在直角三角形中，但表現也不完全。而在現代的數學中將三角函數描述成無窮數列的極限以及微分方程的解，把它又擴展到了復數系的范疇中。

一、三角函數不等式的幾個常見問題分析

（1）由三角函數的相關知識我們可以知道，在平面直角坐標系當中，如果選取角α的終邊上的任意一個點作軸上的垂線，那么所得到的三角函數值并不會因為這個點所取位置的不同而發生變化。以下對這個原因進行探討，分析這種定義的意義。

首先，其意義表現在，如果把原點當做圓心，半徑值取2來定義任意角α的三角函數值，在這里我們設α的終邊和圓的交點為Q（x.y），這樣就可以算出它的正弦值和余弦值，而正切值。由此我們可以看出，如果利用單位圓去定義三角函數，那么數值會更加清楚和簡潔，而且在正弦函數以及余弦函數的自變量與函數值的對應關系中表現得更為突出。其次，由于單位圓中點的坐標對應的就是角的三角函數，所以任何一個角的三角函數代數的形式都能夠用圖象更加直觀地表現出來。例如下圖1，根據圖1我們可以設∠POM和單位圓相交于點P（x.y），那么∠POM的正弦值y、余弦值x以及正切值都可以在圖象上找到各自的對應點，即么、以及。因此單位圓的使用可以讓我們在解答三角函數值以及在作三角函數圖象的過程中更加便捷。最后，借助單位圓和三角函數的圖象，可以更為方便地利用數形結合的思想討論三角函數的定義域、值域、單調性、周期性、每個三角函數值符號的變化規律、同角三角函數的基本關系式 ，以及三角函數的簡化公式。

（2）在教學的課堂上，經常聽到教師用“奇變偶不變，符號看象限”的語句概括六組簡化公式，并要求學生背出并運用這個口訣的同時要將α看做是一個銳角，但是這個α是否存在為任意角的可能性？

通常來說，簡化公式的確是一個可以適用于任意角的公式，它可以揭示任意角α的三角函數值與（k∈Z），，，-α的三角函數值之間的內在聯系。我們可以用數形結合來思考這個問題，那么三角函數的簡化公式其實也可以當做是圓的對稱性的代數表現形式，也就是根據任意角α的終邊和（k∈Z），，，-α的終邊之間的對稱關系來得出三角函數的數值，于是可以看出，這個跟角α是不是銳角完全沒有關系。

我們還可以舉一個例子，比如，顯然并不是一個銳角。在用簡化公式的時候，我們可以用sin的值來探索的值，當然在這個時候，我們通常關注到的已經不再是本身終邊的位置了，而是和兩者之間終邊有什么關系。大家都知道，和的終邊是關于原點對稱的，如果要把化成是任意角α，那么這個關系也仍然成立。根據三角函數的定義可以知道角α和π+α的正弦值是互為相反數的關系，而我們在記憶簡化公式中，可以將α看成是一個銳角，也就是說，以上的解題步驟只是公式記憶的一種方法而已。

二、三角函數不等式的幾何證明

根據以上圖1的問題，學生會產生疑問。例如對于正切函數以及正弦函數的圖象是怎樣，之間有沒有交點。教師都會回答有，當=0時，=0，=0，那么兩者就相交于原點（0，0）。同樣的道理，當=π時，兩者之間相交于（π，0）。根據正切曲線以及正弦曲線的周期性，兩者相交于（kπ，0）（k∈Z），這就有無窮多個相交點了。如果學生對有沒有存在其他交點的問題還存在疑問，例如在區間（0，）上，的圖象是不是在的上面，或者有一段是否相互重合的，再或者兩者之間是否存在交點。其實，通過上面的圖1，我們可以知道sin∠POM=|PM|，tan∠POM=|AT|，顯然|AT|>|PM|，因此tan∠POM＞sin∠POM。也就是說，在區間（0，）上，的圖象始終都在的上方，而且會隨著∠POM的增大而增大。這個時候學生就會明白，剛開始由于∠POM很小，所以tan∠POM和sin∠POM的差也很小，看上去兩者的圖象比較象重合，但實際上tan∠POM始終比sin∠POM要大，因此的圖象就會一直都在的上方。

這時教師可以引導學生回到最初的問題上去，以及的圖象究竟是怎樣的。我們知道，這兩者的圖象相交點是（kπ，0）（k∈Z），那么在區間（0， ）上，的圖象都會出現在圖象的上方，同時它們都是奇函數，因此在區間（-，0）上，的圖象又會在圖象的下方。于是其他的范圍就會很明確，可以根據其周期性畫圖即可。教師根據以上過程及時作出總結：也就是說在區間（0，）上的圖象最重要。于是可以更深入地研究這個范圍的圖象，或者我們還可以找出一個量，保證它的值始終小于|AT|，并且大于|PM|。這樣可以引導學生認真思考，是不是|PM|<<|AT|顯然在圖1的單位圓中，S△POA

以上的不等式，當∈（0，）時<<，它有一個非常重要的應用會體現在微積分上[2]，用它來加以證明，這些都在對學生知識的學習和理解能力之上，但是如果學生對這方面的知識有足夠的興趣，而且對三角函數不等式的相關知識掌握足夠牢固的話，教師也可以利用知識再深入地向學生進行展示和分析，不斷探討三角函數不等式的樂趣所在。

運用三角函數的有關性質證明不等式是一種重要的方法，可以利用三角函數的基本關系，單調性、有界性、凹凸性證明可換元為三角函數型不等式，并利用作差法、作商法、判別式法、主元法、導數法等方法證明三角函數型不等式。除此之外，在三角函數不等式的相關知識中，還包括了很多例如調整原理的知識點，比如設f （x）定義在區間（a，b）（任何區間上），或者可以設置f （x），x∈（a，b）為正值函數的時候，如何證明不等式成立等，這些都可以通過調整的原理加以論證。由此可見，學習好有關三角函數的知識，并將三角函數運用到不等式的證明中是十分重要的。

三、結束語

在高等數學的教學過程中，有關三角函數的內容都是數學教學的一個難題，學生對三角函數不等式的把握和理解各有差異，在學習過程中遇到了很多難題，因此，有關數學中三角函數不等式的內容是一大重要而復雜的問題。本文由此對數學中三角函數不等式教學中常見的幾個問題進行展開探討，舉出事例具體分析三角函數不等式的相關問題，以獲取解疑答惑的目的。

【參考文獻】

[1]楊海波.三角函數中的不等式[J].試題與研究（新課程論壇），2013，11（25）：61-62.

[2]周再禹.三角函數不等式的調整證法[J].科技資訊，2013，12（21）：46-48.