“比較教學法”在力學課程教學中的運用實踐

陳玉驥

［摘要］“比較教學法”是教學中的常用方法之一，是教師在教學實踐中著重體現教學內容間異同關系的思維過程和方法。任何一門課的教學都離不開比較，只要根據課程特點，適當地把握好“比較”這一教學方法，就有利于提高教學效果和作用。

［關鍵詞］比較教學力學課程

［中圖分類號］G642［文獻標識碼］A［文章編號］2095-3437（2014）13-0121-03

比較是通過對比對象之間的差異和共同點來認識對象的一種科學方法，正如黑格爾指出的：“我們所要求的是看出異中之同或同中之異”。比較在教學中的應用就是“比較教學法”，其思路是在教學活動中將兩個或兩個以上的認識對象放在一定的條件下進行對比, 從而確定認識對象屬性的異同、地位的主次、作用的大小、問題的難易或認識的正誤深淺, 以達到辨識、了解和把握認識對象之目的。

“比較教學法”是教學中的應用較廣泛的方法之一。教學中的比較包括相關課程中相關內容的比較和同一課程中相關內容的比較。在力學課程教學中，“比較”的內容包括基本原理、基本概念、計算公式和計算結果等方面。“比較”貫穿于教學的各環節中，可以在講授新內容前提出前述已修相關內容的思路并對比提出新內容的整體思想（如在講授彈性力學課程中的薄板小撓度彎曲問題時，可先回顧平面問題位移解法的思路，由此再引出薄板小撓度彎曲問題的基本思想）；可以在講述新內容過程中的每一步或若干步與前述已修相關內容進行比較（如在講授結構力學課程中的位移法基本原理過程時，可不斷與力法的相關步驟進行比較分析）；可以在講述完新內容后再與前述已修相關內容進行比較（如結構力學課程中講完矩陣位移法之后，可將其與傳統位移法進行比較作為本章的小結）。在教學中，通過比較，提出問題，并分析、解決問題，既可鞏固前面已修相關內容的知識，又可加深對新內容的理解，分清新、舊內容的聯系和差別，避免混淆相關概念，促進思考，培養學生進行比較、分析和鑒別的能力，區分不同課程及不同方法的適用條件、應用范圍，可以使學生所學知識系統化, 對問題的認識更加全面、細致、深入, 啟發學生的求異思維, 培養學生的創新思想，等等。可見，教學中“比較”的作用是十分重要的。

下面結合在結構力學和彈性力學教學中的經驗，談一下筆者在這兩門課程教學中比較方法的應用實踐（包括與先修課程材料力學的比較）。

一、相關課程中相關內容的比較

材料力學與彈性力學、結構力學與彈性力學是前后密切聯系的課程，通過它們之間異同的比較，以加深對三門課程差異和關系的認識。

（一）彈性力學與材料力學的比較

彈性力學與材料力學可以在研究對象、力學模型、研究方法和計算結果等方面進行比較。材料力學的研究對象主要是梁結構（懸臂梁、簡支梁等）和桿結構，而彈性力學的研究對象則十分廣泛，包括板、殼、實體結構等，此外還對梁結構作進一步研究。材料力學中為簡化計算引入了平截面假定，由此求出梁橫截面上的正應力沿梁高為線性分布；而彈性力學則無此假定，故彈性力學的解更為精確。通過彈性力學中將梁的解答與材料力學的解答進行比較，可以說明在梁純彎曲時，平截面假定是正確的，因而材料力學的解答與彈性力學的解答相同。而梁在一般橫向荷載作用下，平截面假定不成立。此時只是在淺梁中，材料力學確定的梁中最大應力與彈性力學的解相差較小。但對于深梁，用材料力學的方法計算應力，則誤差較大，故深梁只能用彈性力學的方法求解。另外，材料力學的方法只能求出梁軸線的撓度，而無法確定其他點的撓度與整個梁的軸向位移，但是彈性力學的解法則可求出梁中所有各點的各個方向的位移。

此外，通過對開有小孔的矩形薄板在均布拉（壓）力作用下的應力分布情況的材料力學解答與彈性力學解答比較可知，在離孔邊較遠處，材料力學的解與彈性力學的解基本相同。但在孔邊附近存在應力集中，材料力學的解無法反映此現象，故必須用彈性力學的方法確定孔邊應力集中問題。

（二）結構力學與彈性力學的比較

結構力學與彈性力學可以在桿系結構有限元法與平面問題有限元法、力法與應力解法、位移法與位移解法、梁的振動與板的振動、梁的穩定與板的穩定等方面進行比較。

結構力學中的桿系結構有限元法與彈性力學中的平面問題有限元法，它們的總體思路是相同的，即先離散，進行單元分析；再集合，進行整體分析。但前者屬于一維問題，后者屬于二維問題。對于一維問題，單元只有桿單元一種；而二維問題中，單元類型則較多，包括三角形三結點單元、矩形四結點單元等。對于桿單元，只要保證結點位移與單元桿端位移協調，即可保證位移的連續性，且內力也是連續的。而對于平面單元（三角形單元、矩形單元等），為了由結點位移確定單元內的位移以及由位移求出應變，并保證相鄰單元之間位移的連續性，就必須建立單元的位移模式。可見，平面問題有限元法較桿系結構有限元法復雜。

此外，結構力學中的力法和位移法可分別與彈性力學平面問題的應力解法和位移解法進行比較，見表1和表2。

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二、同一課程中相關內容的比較

結構力學和彈性力學都是邏輯性很強的學科, 許多內容既相互聯系, 又存在區別。根據教學實際, 在講授某些章節新知識的時候, 可以聯系以前學過的、學生已掌握的相關的知識進行比較教學, 使學生在“溫故”的過程中更好地“知新”。

（一）結構力學中相關內容的比較

結構力學中有很多相關內容具有可比性，如靜定結構與超靜定結構、力法與位移法、力矩分配法與無剪力分配法、影響線與內力圖、動力計算與靜力計算、自由振動與受迫振動、先處理法與后處理法等內容都可進行比較。比如，力法與位移法，雖然兩者從計算步驟上看非常相似，但每一步的含義卻不相同。第一步都是確定基本未知量，取基本結構。但力法是確定多余約束力，位移法則是確定獨立結點位移。力法取基本結構的方式是去約束，而位移法則是加約束，雖然兩者措施相反，但目的卻是一致的，即要將原結構的計算轉化為基本結構的計算，也就是要將未知領域的計算問題轉化為已知領域的計算問題。對于力法，是將超靜定結構的計算轉化為靜定結構（當然也可轉化為較簡單的超靜定結構）的計算，而位移法則是將原結構的計算轉化為單跨梁的計算。進行這種轉化條件為：對于力法是變形條件，對于位移法則是平衡條件。最后得到的典型方程也很相似，但具體含義不同，力法典型方程中未知量為多余約束力，系數、自由項表示位移，而位移法典型方程中未知量為獨立結點位移，系數、自由項表示力。可見，雖然兩種方法步驟上有某些類似之處，但內含卻是完全不同的。

結構力學中有許多易混淆的概念, 在教學中要特別注意比較, 以幫助學生準確理解。影響線與內力圖就是容易混淆的兩個概念，它們的比較見表3。

表3 影響線與內力圖的比較

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（二）彈性力學中相關內容的比較

彈性力學中的平面應力問題與平面應變問題、逆解法與半逆解法、位移解法與應力解法、直角坐標下的基本方程與極坐標下的基本方程、平面問題的應力函數解法與扭轉問題的應力函數解法、薄板的小撓度問題與大撓度問題、扭轉問題與薄膜問題等內容均可進行比較。如，直角坐標下的平面微分方程■+■+X=0■+■+Y=0與■+■■+■+K■=0■+■■+■+K■=0極坐標下的平衡微分方程 可比較如下：直角坐標下的兩個平衡方程表示∑Fx=0和∑Fy=0（水平平衡和豎向平衡），而極坐標下的兩個平衡方程表示∑Fr=0和∑Fθ=0（徑向平衡和環向平衡）。直角坐標下的體力X、Y和σx、σy、σxy應力分別相當于極坐標下的Kr、Kθ和σr、σθ、σrθ。但極坐標下的兩個平衡微分方程較直角坐標下的兩個平衡微分方程各多出了一部分。其原因是：在極坐標中微元體為扇形，即與r軸平行兩邊長度均為dr, 但彼此卻不平行，其夾角為dθ, 導致環向正應力σθ在∑Fr=0中有貢獻，其影響就是-■；而與θ軸平行的兩個邊是平行的但不等長，其中長邊較短邊長了drdθ，該部分上的徑向正應力σr對∑Fr=0的貢獻即為■，剪應力τrθ對∑Fθ=0貢獻即為■。可見，極坐標下平衡微分方程中的多出部分是由于扇形微元體的四條邊“等長不平行、平行不等長”的特征導致的。同理，兩種坐標系下的幾何方程也可進行類似分析比較。

另外，兩種平面問題以及扭轉問題和薄膜問題都具有可比性，它們的比較情況分別見表4和表5。

表4兩種平面問題的比較

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表5扭轉問題與薄膜問題比較

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三、結語

本文介紹了筆者在兩門力學課程教學中實施比較的一些具體作法。實際上，任何一門課的教學都離不開比較，只要根據課程特點，適當地把握好“比較”這一教學方法，對于提高教學效果，其作用是不言而喻的。

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［責任編輯：張雷］