例談“以退為進”策略在數(shù)學(xué)學(xué)習中的運用

+陸同新

美國心理學(xué)家弗里德曼做的“登門檻”心理實驗表明：“先得寸再進尺，往往能實現(xiàn)目標。”華羅庚也說過：“復(fù)雜的問題要善于‘退，足夠地‘退，‘退到最原始而不失去重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個訣竅。”這就是“以退為進”的策略，在數(shù)學(xué)學(xué)習中常常用到。

一、退到思維起點，變繁為簡，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)教學(xué)是思維活動的教學(xué)。要使學(xué)生的思維得到有效發(fā)展，教師就要在學(xué)生學(xué)習新知時為他們尋找合適的思維起點，使他們在學(xué)習中建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，逐漸逼近數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

例如，特級教師劉松教學(xué)“數(shù)學(xué)廣角——找次品”一課時，將教材中的數(shù)據(jù)變大，使原題變成：“２１８７瓶木糖醇口香糖中有一瓶特別輕（次品），用天平稱，至少稱幾次才能保證找到它？”教學(xué)時，學(xué)生有的說２１８５次，有的說一千多次，還有的說７２９次……劉老師引領(lǐng)學(xué)生從３瓶想起，分成（１、１、１），需要稱１次；９瓶分成（３、３、３），需要稱２次；２７瓶分成（９、９、９），需要稱３次；８１瓶分成（２７、２７、２７），需要稱４次；２４３瓶分成（８１、８１、８１），需要稱５次；７２９瓶分成（２４３、２４３、２４３），需要稱６次；２１８７瓶分成（７２９、７２９、７２９），需要稱７次。學(xué)生面對龐大的數(shù)據(jù)２１８７時，顯得束手無策，不得其門而入。這時劉老師引導(dǎo)學(xué)生退到適合的思維起點，從最簡單處想起：“用天平稱時，將數(shù)據(jù)三等分，保證以最少的次數(shù)找到次品。”……經(jīng)過這樣變繁為簡的過程，逐步推進，不僅引導(dǎo)學(xué)生解決了問題，而且?guī)椭鷮W(xué)生積累了數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，順利地構(gòu)建了新知的數(shù)學(xué)模型。

二、退到舊知原點，變快為慢，感悟數(shù)學(xué)思想

奧蘇貝爾曾經(jīng)說過：“影響學(xué)生的最重要因素是學(xué)生已經(jīng)知道了什么。”教學(xué)時退回到舊知原點，能再現(xiàn)學(xué)生認知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)知識經(jīng)驗，激活新舊知識之間的聯(lián)結(jié)點，達到溫故知新的目的。

例如，教學(xué)“乘法分配律”時，很多教師基本上是先從解決“買５件夾克（單價為６５元）和５條褲子（單價為４５元），一共要付出多少元”的問題入手，引出等式（６５＋４５）×５＝６５×５＋４５×５，再讓學(xué)生寫出幾組這樣的算式，然后歸納出規(guī)律。一些學(xué)生在實際計算時，將７４×（２０＋１）的算式寫成７４×２０＋１的形式，原因之一就是學(xué)生觀察、分析不夠，體驗不到位。教師在教學(xué)時不妨將等式（６５＋４５）×５＝６５×５＋４５×５從左往右進行轉(zhuǎn)化，即５個（６５＋４５）的和可以寫成（６５＋４５）＋（６５＋４５）＋（６５＋４５）＋（６５＋４５）＋（６５＋４５）＝６５＋４５＋６５＋４５＋６５＋４５＋６５＋４５＋６５＋４５＝６５＋６５＋６５＋６５＋６５＋４５＋４５＋４５＋４５＋４５＝６５×５＋４５×５，然后引領(lǐng)學(xué)生從后往前回看，用類似的方法還原到（６５＋４５）×５。最后讓學(xué)生舉例、觀察、分析、發(fā)現(xiàn)，抽象概括出簡明的式子：（ａ＋ｂ）×ｃ＝ａ×ｃ＋ｂ×ｃ。 “欲速則不達。”教師引領(lǐng)學(xué)生退到原始的乘法意義產(chǎn)生的地方，讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系來建立概念，變快為慢，使學(xué)生有充足的時間經(jīng)歷、體驗、探索，從而掌握規(guī)律，感悟數(shù)學(xué)的符號思想。

三、退到生活經(jīng)驗，變遠為近，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)

數(shù)學(xué)源于生活。新課程倡導(dǎo)“數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該以學(xué)生的認知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗為基礎(chǔ)”。因此，教師教學(xué)時要充分利用生活現(xiàn)象，激活學(xué)生的生活經(jīng)驗；利用圖形直觀，使抽象的道理能看得見、摸得著，引導(dǎo)學(xué)生在解決問題過程中漸漸逼近乃至把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

例如，有這樣一道習題：“圖１，一只螞蟻從正方體紙盒的頂點Ａ爬到頂點Ｂ，請你在圖中標出最短的爬行路徑。”

■

由于學(xué)生的空間觀念不強，學(xué)生在解決這樣的問題時，往往認為從頂點Ａ到頂點Ｃ，再從頂點Ｃ畫對角線到頂點Ｂ（如圖２）為最短的路徑。而實際上，這并不是一條最短的路徑。可以準備一只正方體的紙盒，把正方體的紙盒蓋子掀開，正方體的上面和前面正好構(gòu)成了一個長方形，通過變體為面，使學(xué)生豁然開朗，能很快找到從頂點Ａ到頂點Ｂ的最短路徑，即長方形的對角線（如圖３所示）。

經(jīng)驗是學(xué)生展開幾何學(xué)習活動的前提條件。學(xué)生有如下的生活經(jīng)驗：如圖４，從頂點Ａ到達頂點Ｂ，走ＡＢ的路徑要比走ＡＣ＋ＣＢ的路徑近得多。教學(xué)時，教師應(yīng)充分利用這樣的寶貴資源，變遠為近，使學(xué)生在動手操作、仔細觀察、認真思考中獲得空間知覺，建立空間觀念，發(fā)展空間思維，進而把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)——兩點之間線段最短。

“以退為進”的實質(zhì)是轉(zhuǎn)移或轉(zhuǎn)換，是一種智慧的體現(xiàn)。“退”是“進”的基礎(chǔ)和準備，“進”是“退”的發(fā)展和提升。當學(xué)生“山重水復(fù)疑無路”時，運用好“以退為進”的策略，往往會收到“柳暗花明又一村”的效果。

（責編杜華）

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美國心理學(xué)家弗里德曼做的“登門檻”心理實驗表明：“先得寸再進尺，往往能實現(xiàn)目標。”華羅庚也說過：“復(fù)雜的問題要善于‘退，足夠地‘退，‘退到最原始而不失去重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個訣竅。”這就是“以退為進”的策略，在數(shù)學(xué)學(xué)習中常常用到。

一、退到思維起點，變繁為簡，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)教學(xué)是思維活動的教學(xué)。要使學(xué)生的思維得到有效發(fā)展，教師就要在學(xué)生學(xué)習新知時為他們尋找合適的思維起點，使他們在學(xué)習中建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，逐漸逼近數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

例如，特級教師劉松教學(xué)“數(shù)學(xué)廣角——找次品”一課時，將教材中的數(shù)據(jù)變大，使原題變成：“２１８７瓶木糖醇口香糖中有一瓶特別輕（次品），用天平稱，至少稱幾次才能保證找到它？”教學(xué)時，學(xué)生有的說２１８５次，有的說一千多次，還有的說７２９次……劉老師引領(lǐng)學(xué)生從３瓶想起，分成（１、１、１），需要稱１次；９瓶分成（３、３、３），需要稱２次；２７瓶分成（９、９、９），需要稱３次；８１瓶分成（２７、２７、２７），需要稱４次；２４３瓶分成（８１、８１、８１），需要稱５次；７２９瓶分成（２４３、２４３、２４３），需要稱６次；２１８７瓶分成（７２９、７２９、７２９），需要稱７次。學(xué)生面對龐大的數(shù)據(jù)２１８７時，顯得束手無策，不得其門而入。這時劉老師引導(dǎo)學(xué)生退到適合的思維起點，從最簡單處想起：“用天平稱時，將數(shù)據(jù)三等分，保證以最少的次數(shù)找到次品。”……經(jīng)過這樣變繁為簡的過程，逐步推進，不僅引導(dǎo)學(xué)生解決了問題，而且?guī)椭鷮W(xué)生積累了數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，順利地構(gòu)建了新知的數(shù)學(xué)模型。

二、退到舊知原點，變快為慢，感悟數(shù)學(xué)思想

奧蘇貝爾曾經(jīng)說過：“影響學(xué)生的最重要因素是學(xué)生已經(jīng)知道了什么。”教學(xué)時退回到舊知原點，能再現(xiàn)學(xué)生認知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)知識經(jīng)驗，激活新舊知識之間的聯(lián)結(jié)點，達到溫故知新的目的。

例如，教學(xué)“乘法分配律”時，很多教師基本上是先從解決“買５件夾克（單價為６５元）和５條褲子（單價為４５元），一共要付出多少元”的問題入手，引出等式（６５＋４５）×５＝６５×５＋４５×５，再讓學(xué)生寫出幾組這樣的算式，然后歸納出規(guī)律。一些學(xué)生在實際計算時，將７４×（２０＋１）的算式寫成７４×２０＋１的形式，原因之一就是學(xué)生觀察、分析不夠，體驗不到位。教師在教學(xué)時不妨將等式（６５＋４５）×５＝６５×５＋４５×５從左往右進行轉(zhuǎn)化，即５個（６５＋４５）的和可以寫成（６５＋４５）＋（６５＋４５）＋（６５＋４５）＋（６５＋４５）＋（６５＋４５）＝６５＋４５＋６５＋４５＋６５＋４５＋６５＋４５＋６５＋４５＝６５＋６５＋６５＋６５＋６５＋４５＋４５＋４５＋４５＋４５＝６５×５＋４５×５，然后引領(lǐng)學(xué)生從后往前回看，用類似的方法還原到（６５＋４５）×５。最后讓學(xué)生舉例、觀察、分析、發(fā)現(xiàn)，抽象概括出簡明的式子：（ａ＋ｂ）×ｃ＝ａ×ｃ＋ｂ×ｃ。 “欲速則不達。”教師引領(lǐng)學(xué)生退到原始的乘法意義產(chǎn)生的地方，讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系來建立概念，變快為慢，使學(xué)生有充足的時間經(jīng)歷、體驗、探索，從而掌握規(guī)律，感悟數(shù)學(xué)的符號思想。

三、退到生活經(jīng)驗，變遠為近，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)

數(shù)學(xué)源于生活。新課程倡導(dǎo)“數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該以學(xué)生的認知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗為基礎(chǔ)”。因此，教師教學(xué)時要充分利用生活現(xiàn)象，激活學(xué)生的生活經(jīng)驗；利用圖形直觀，使抽象的道理能看得見、摸得著，引導(dǎo)學(xué)生在解決問題過程中漸漸逼近乃至把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

例如，有這樣一道習題：“圖１，一只螞蟻從正方體紙盒的頂點Ａ爬到頂點Ｂ，請你在圖中標出最短的爬行路徑。”

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由于學(xué)生的空間觀念不強，學(xué)生在解決這樣的問題時，往往認為從頂點Ａ到頂點Ｃ，再從頂點Ｃ畫對角線到頂點Ｂ（如圖２）為最短的路徑。而實際上，這并不是一條最短的路徑。可以準備一只正方體的紙盒，把正方體的紙盒蓋子掀開，正方體的上面和前面正好構(gòu)成了一個長方形，通過變體為面，使學(xué)生豁然開朗，能很快找到從頂點Ａ到頂點Ｂ的最短路徑，即長方形的對角線（如圖３所示）。

經(jīng)驗是學(xué)生展開幾何學(xué)習活動的前提條件。學(xué)生有如下的生活經(jīng)驗：如圖４，從頂點Ａ到達頂點Ｂ，走ＡＢ的路徑要比走ＡＣ＋ＣＢ的路徑近得多。教學(xué)時，教師應(yīng)充分利用這樣的寶貴資源，變遠為近，使學(xué)生在動手操作、仔細觀察、認真思考中獲得空間知覺，建立空間觀念，發(fā)展空間思維，進而把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)——兩點之間線段最短。

“以退為進”的實質(zhì)是轉(zhuǎn)移或轉(zhuǎn)換，是一種智慧的體現(xiàn)。“退”是“進”的基礎(chǔ)和準備，“進”是“退”的發(fā)展和提升。當學(xué)生“山重水復(fù)疑無路”時，運用好“以退為進”的策略，往往會收到“柳暗花明又一村”的效果。

（責編杜華）

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美國心理學(xué)家弗里德曼做的“登門檻”心理實驗表明：“先得寸再進尺，往往能實現(xiàn)目標。”華羅庚也說過：“復(fù)雜的問題要善于‘退，足夠地‘退，‘退到最原始而不失去重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個訣竅。”這就是“以退為進”的策略，在數(shù)學(xué)學(xué)習中常常用到。

一、退到思維起點，變繁為簡，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)教學(xué)是思維活動的教學(xué)。要使學(xué)生的思維得到有效發(fā)展，教師就要在學(xué)生學(xué)習新知時為他們尋找合適的思維起點，使他們在學(xué)習中建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，逐漸逼近數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

例如，特級教師劉松教學(xué)“數(shù)學(xué)廣角——找次品”一課時，將教材中的數(shù)據(jù)變大，使原題變成：“２１８７瓶木糖醇口香糖中有一瓶特別輕（次品），用天平稱，至少稱幾次才能保證找到它？”教學(xué)時，學(xué)生有的說２１８５次，有的說一千多次，還有的說７２９次……劉老師引領(lǐng)學(xué)生從３瓶想起，分成（１、１、１），需要稱１次；９瓶分成（３、３、３），需要稱２次；２７瓶分成（９、９、９），需要稱３次；８１瓶分成（２７、２７、２７），需要稱４次；２４３瓶分成（８１、８１、８１），需要稱５次；７２９瓶分成（２４３、２４３、２４３），需要稱６次；２１８７瓶分成（７２９、７２９、７２９），需要稱７次。學(xué)生面對龐大的數(shù)據(jù)２１８７時，顯得束手無策，不得其門而入。這時劉老師引導(dǎo)學(xué)生退到適合的思維起點，從最簡單處想起：“用天平稱時，將數(shù)據(jù)三等分，保證以最少的次數(shù)找到次品。”……經(jīng)過這樣變繁為簡的過程，逐步推進，不僅引導(dǎo)學(xué)生解決了問題，而且?guī)椭鷮W(xué)生積累了數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，順利地構(gòu)建了新知的數(shù)學(xué)模型。

二、退到舊知原點，變快為慢，感悟數(shù)學(xué)思想

奧蘇貝爾曾經(jīng)說過：“影響學(xué)生的最重要因素是學(xué)生已經(jīng)知道了什么。”教學(xué)時退回到舊知原點，能再現(xiàn)學(xué)生認知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)知識經(jīng)驗，激活新舊知識之間的聯(lián)結(jié)點，達到溫故知新的目的。

例如，教學(xué)“乘法分配律”時，很多教師基本上是先從解決“買５件夾克（單價為６５元）和５條褲子（單價為４５元），一共要付出多少元”的問題入手，引出等式（６５＋４５）×５＝６５×５＋４５×５，再讓學(xué)生寫出幾組這樣的算式，然后歸納出規(guī)律。一些學(xué)生在實際計算時，將７４×（２０＋１）的算式寫成７４×２０＋１的形式，原因之一就是學(xué)生觀察、分析不夠，體驗不到位。教師在教學(xué)時不妨將等式（６５＋４５）×５＝６５×５＋４５×５從左往右進行轉(zhuǎn)化，即５個（６５＋４５）的和可以寫成（６５＋４５）＋（６５＋４５）＋（６５＋４５）＋（６５＋４５）＋（６５＋４５）＝６５＋４５＋６５＋４５＋６５＋４５＋６５＋４５＋６５＋４５＝６５＋６５＋６５＋６５＋６５＋４５＋４５＋４５＋４５＋４５＝６５×５＋４５×５，然后引領(lǐng)學(xué)生從后往前回看，用類似的方法還原到（６５＋４５）×５。最后讓學(xué)生舉例、觀察、分析、發(fā)現(xiàn)，抽象概括出簡明的式子：（ａ＋ｂ）×ｃ＝ａ×ｃ＋ｂ×ｃ。 “欲速則不達。”教師引領(lǐng)學(xué)生退到原始的乘法意義產(chǎn)生的地方，讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系來建立概念，變快為慢，使學(xué)生有充足的時間經(jīng)歷、體驗、探索，從而掌握規(guī)律，感悟數(shù)學(xué)的符號思想。

三、退到生活經(jīng)驗，變遠為近，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)

數(shù)學(xué)源于生活。新課程倡導(dǎo)“數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該以學(xué)生的認知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗為基礎(chǔ)”。因此，教師教學(xué)時要充分利用生活現(xiàn)象，激活學(xué)生的生活經(jīng)驗；利用圖形直觀，使抽象的道理能看得見、摸得著，引導(dǎo)學(xué)生在解決問題過程中漸漸逼近乃至把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

例如，有這樣一道習題：“圖１，一只螞蟻從正方體紙盒的頂點Ａ爬到頂點Ｂ，請你在圖中標出最短的爬行路徑。”

■

由于學(xué)生的空間觀念不強，學(xué)生在解決這樣的問題時，往往認為從頂點Ａ到頂點Ｃ，再從頂點Ｃ畫對角線到頂點Ｂ（如圖２）為最短的路徑。而實際上，這并不是一條最短的路徑。可以準備一只正方體的紙盒，把正方體的紙盒蓋子掀開，正方體的上面和前面正好構(gòu)成了一個長方形，通過變體為面，使學(xué)生豁然開朗，能很快找到從頂點Ａ到頂點Ｂ的最短路徑，即長方形的對角線（如圖３所示）。

經(jīng)驗是學(xué)生展開幾何學(xué)習活動的前提條件。學(xué)生有如下的生活經(jīng)驗：如圖４，從頂點Ａ到達頂點Ｂ，走ＡＢ的路徑要比走ＡＣ＋ＣＢ的路徑近得多。教學(xué)時，教師應(yīng)充分利用這樣的寶貴資源，變遠為近，使學(xué)生在動手操作、仔細觀察、認真思考中獲得空間知覺，建立空間觀念，發(fā)展空間思維，進而把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)——兩點之間線段最短。

“以退為進”的實質(zhì)是轉(zhuǎn)移或轉(zhuǎn)換，是一種智慧的體現(xiàn)。“退”是“進”的基礎(chǔ)和準備，“進”是“退”的發(fā)展和提升。當學(xué)生“山重水復(fù)疑無路”時，運用好“以退為進”的策略，往往會收到“柳暗花明又一村”的效果。

（責編杜華）

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