《實(shí)變函數(shù)》教學(xué)中的幾個(gè)難點(diǎn)解析

摘要：針對(duì)勒貝格積分和黎曼積分的關(guān)系以及幾條重要概念和定理，教師進(jìn)行了詳細(xì)地解析，從而大大降低了實(shí)變函數(shù)的難度和抽象性，改善了課堂的教學(xué)效果，以便學(xué)生更快更好地掌握《實(shí)變函數(shù)》這門(mén)核心課程。

關(guān)鍵詞：勒貝格積分；黎曼積分；實(shí)變函數(shù)

中圖分類(lèi)號(hào)：G42 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）09-0247-02

《實(shí)變函數(shù)》是數(shù)學(xué)專業(yè)重要的分析基礎(chǔ)課之一，它為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)分支如泛函分析、函數(shù)論、微分方程、概率論等提供了必不可少的基礎(chǔ)知識(shí)?，F(xiàn)在《實(shí)變函數(shù)》已經(jīng)成為大學(xué)數(shù)學(xué)院系中的必修課程，在整個(gè)本科教學(xué)中起著十分重要的作用[1-5]。《實(shí)變函數(shù)》也是本科教學(xué)中學(xué)生普遍反映的學(xué)習(xí)難度較大的重要課程之一，如何教好這門(mén)課程目前已經(jīng)成了國(guó)內(nèi)同行們關(guān)注的焦點(diǎn)。本文主要對(duì)勒貝格積分和黎曼積分的關(guān)系以及幾條較難理解的重要概念和定理進(jìn)行了詳細(xì)地解析，大大降低了實(shí)變函數(shù)的難度和抽象性，以便學(xué)生更快更好地掌握《實(shí)變函數(shù)》這門(mén)專業(yè)核心課程。

在實(shí)際教學(xué)中筆者發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生不明白實(shí)變函數(shù)與數(shù)學(xué)分析之間的區(qū)別和聯(lián)系，從而嚴(yán)重挫傷了他們學(xué)習(xí)《實(shí)變函數(shù)》課程的積極性。筆者在實(shí)際教學(xué)中強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)分析中學(xué)到的是黎曼積分，實(shí)變函數(shù)中學(xué)到的是勒貝格積分，并通過(guò)以下六條對(duì)黎曼積分和勒貝格積分進(jìn)行了詳細(xì)的對(duì)比。

1.黎曼積分的可積函數(shù)范圍太小，即使像Dirichlet函數(shù)這樣形式上比較簡(jiǎn)單的函數(shù)也不是黎曼可積函數(shù)，只有幾乎處處連續(xù)的函數(shù)才是黎曼可積函數(shù)。此外黎曼可積函數(shù)形成的函數(shù)空間是不完備的，而完備性對(duì)函數(shù)空間是十分必要的。勒貝格積分不僅會(huì)大大擴(kuò)大可積函數(shù)的范圍，使得Dirichlet函數(shù)也是可積函數(shù)，而且勒貝格可積函數(shù)是基本上連續(xù)的，范圍要比黎曼可積函數(shù)大得多，另外由勒貝格可積函數(shù)形成的函數(shù)空間是完備的。

2.黎曼積分只能定義在有界閉區(qū)間[a，b]或n維歐式空間的有界閉連通區(qū)域上，而很多特殊的集合如[a，b]的有理數(shù)集或無(wú)理數(shù)集都無(wú)法充當(dāng)黎曼積分的積分區(qū)域，所以黎曼積分的積分區(qū)域范圍太小。此外黎曼積分的積分區(qū)域是用約當(dāng)測(cè)度測(cè)量的，而約當(dāng)測(cè)度只具備有限可加性。勒貝格積分不僅會(huì)大大擴(kuò)大積分區(qū)域的范圍，因?yàn)樗姆e分區(qū)域是用勒貝格測(cè)度測(cè)量的，而且勒貝格測(cè)度則具備可數(shù)可加性。

3.從積分性質(zhì)角度出發(fā)，則可以看出勒貝格積分具備絕對(duì)可積性而黎曼積分不具備；勒貝格積分具備積分區(qū)域的可數(shù)可加性，而黎曼積分只具備積分區(qū)域的有限可加性。

4.積分與極限換序中黎曼積分要求一致收斂的條件，而這一條件是很強(qiáng)的條件，很多函數(shù)列一般不滿足這一條件。另一方面即使?jié)M足也很難驗(yàn)證，這大大限制了黎曼積分在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。Arzela定理雖然利用處處收斂這個(gè)較弱的條件代替一致收斂，但是由于黎曼可積函數(shù)列的極限函數(shù)不一定是黎曼可積的，所以Arzela定理仍然要求黎曼可積函數(shù)列的極限函數(shù)是黎曼可積的，這一條件也是比較強(qiáng)的。有例子表明即使單調(diào)遞增的黎曼可積函數(shù)列，它的極限函數(shù)也不一定是黎曼可積的。勒貝格積分的勒貝格控制收斂定理不僅用處處收斂條件代替一致收斂的條件，而且也去掉了Arzela定理中可積函數(shù)列的極限函數(shù)是可積這一較強(qiáng)的條件。

5.微分（或積分）和無(wú)窮函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)換序時(shí)，一般要求無(wú)窮函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)滿足一致收斂的條件，顯然這一條件很強(qiáng)，既不容易滿足，也不容易驗(yàn)證。勒貝格積分在很大程度上也會(huì)減弱一致收斂的條件。

6.黎曼積分在導(dǎo)函數(shù)仍然是在黎曼可積的前提下才能使得微積分基本定理成立，而在實(shí)際應(yīng)用中，即使是導(dǎo)函數(shù)有界這樣性質(zhì)比較好的函數(shù)也不一定保證其導(dǎo)函數(shù)是黎曼可積的。勒貝格積分在很大程度上也會(huì)減弱導(dǎo)函數(shù)仍然可積這一較強(qiáng)的條件。

以上對(duì)比使得學(xué)生對(duì)實(shí)變函數(shù)和數(shù)學(xué)分析的區(qū)別和聯(lián)系有了清醒的認(rèn)識(shí)，大大提高了他們的學(xué)習(xí)積極性，在實(shí)際教學(xué)中取得了良好效果。

實(shí)變函數(shù)中出現(xiàn)了大量新的概念和定理，每一條對(duì)于初學(xué)者而言都有一定的難度和較高的抽象性。下面主要從以下五個(gè)方面進(jìn)行詳細(xì)的解析，具體如下。

1.Egoroff定理的含義。對(duì)于測(cè)度有限的可測(cè)集合上的幾乎處處收斂的可測(cè)函數(shù)列，如果該函數(shù)列的極限函數(shù)的函數(shù)值有限，則對(duì)任意小的正數(shù)，總存在E的可測(cè)子集e的測(cè)度小于這個(gè)正數(shù)，且函數(shù)列在E-e上是一致收斂的。這表明幾乎處處收斂的可測(cè)函數(shù)序列在E去掉一個(gè)測(cè)度任意?。ㄓ锌赡苁强占?、非空零測(cè)集或者測(cè)度大于0但是任意小的可測(cè)集）的集合之后剩下的可測(cè)集上是一致收斂的。因此處處收斂的函數(shù)列若滿足Egoroff定理的條件，則在很大程度上或者基本上就是一致收斂的，從而推翻了處處收斂與一致收斂差別很大的想法。

2.Lusin定理的含義。對(duì)任意小的正數(shù)，總存在閉集F？奐E，使得可測(cè)函數(shù)f（x）在F上是連續(xù)的，并且不連續(xù)點(diǎn)集E-F的測(cè)度小于這個(gè)正數(shù)。這表明對(duì)于所有的可測(cè)函數(shù)，在E去掉一個(gè)測(cè)度任意?。ㄓ锌赡苁强占?、非空零測(cè)集或者測(cè)度大于0但是任意小的可測(cè)集）的集合之后剩下的閉集上是連續(xù)的，從而表明可測(cè)函數(shù)基本上是連續(xù)的，但是比幾乎處處連續(xù)的程度要差一些。

3.勒貝格積分中的分劃與黎曼積分中的分劃的區(qū)別與聯(lián)系。以R1中的E=[a，b]為例。對(duì)應(yīng)于黎曼積分中的每一個(gè)分劃Δ：E=■Ei，其中Ei=[xi-1，xi]，i=1，…，n，就有唯一的勒貝格分劃D：E=■E'i與之對(duì)應(yīng)，其中E'1=[x0，x1]，E'i=[xi-1，xi]， i=2，3，…，n。除此之外，對(duì)于E=[a，b]，勒貝格積分還有很多由比較特殊的可測(cè)子集組成的分劃，并且這些分劃不是黎曼積分中的分劃，例如E中的無(wú)理數(shù)集合以及有理數(shù)集合組成的分劃。對(duì)于二維空間以上的分劃，黎曼積分的積分區(qū)域以及每個(gè)分劃對(duì)應(yīng)的小子集都是約當(dāng)可測(cè)集，而勒貝格積分的積分區(qū)域以及每個(gè)分劃對(duì)應(yīng)的小子集都是勒貝格可測(cè)集，這種差別也表明后者的范圍要大得多。

4.引入可測(cè)函數(shù)的原因以及可測(cè)函數(shù)的含義。勒貝格積分的極限定義一般要求Ei=E[x：yi-1a]都可測(cè)，又Ei=E[x：f（x）>yi-1]-E[x：f（x）>yi]，則Ei顯然是可測(cè)的。雖然a是無(wú)窮多的，但是所有的集合E[x：f（x）>a]只是E的全部子集的一部分，而且對(duì)于不同的函數(shù)f（x），E[x：f（x）>a]的個(gè)數(shù)也不一定是無(wú)窮多的，譬如Dirichlet函數(shù)對(duì)應(yīng)的E[x：f（x）>a]的個(gè)數(shù)就是有限多的。一般地，如果函數(shù)f（x）能夠使得E[x：f（x）>a]的那些子集可測(cè)，才認(rèn)為f（x）是可測(cè)函數(shù)。

5.黎曼可積的充要條件。函數(shù)不連續(xù)點(diǎn)集的測(cè)度為0。[a，b]上的連續(xù)函數(shù)、有限多個(gè)不連續(xù)點(diǎn)的有界函數(shù)、單調(diào)有界函數(shù)、Riemann函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)集都是零測(cè)集，所以都是黎曼可積函數(shù)。不連續(xù)點(diǎn)是無(wú)窮多且不是黎曼可積的函數(shù)的典型例子為Dirichlet函數(shù)，因?yàn)樗牟贿B續(xù)點(diǎn)集不是零測(cè)集。

綜上所述，如何加強(qiáng)實(shí)變函數(shù)的基本概念和重要定理內(nèi)容的解析，對(duì)實(shí)變函數(shù)和數(shù)學(xué)分析相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行詳細(xì)的對(duì)比，從而降低實(shí)變函數(shù)的難度和抽象性，明確學(xué)生學(xué)習(xí)實(shí)變函數(shù)的目的，進(jìn)而提高他們的學(xué)習(xí)熱情是實(shí)際教學(xué)中的關(guān)鍵所在。如果能夠做到本文中提到的幾點(diǎn)要求，就會(huì)大大改善《實(shí)變函數(shù)》的教學(xué)效果，使得學(xué)生更多更好地掌握《實(shí)變函數(shù)》的知識(shí)，達(dá)到教學(xué)大綱的要求。

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