構(gòu)造法在離散數(shù)學(xué)及數(shù)值分析解題中的應(yīng)用

王雪明 宋娜

摘 要：所謂構(gòu)造法，其實質(zhì)就是運用數(shù)學(xué)的基本思想，經(jīng)過認(rèn)真的觀察，深入的思考，構(gòu)造出解題的數(shù)學(xué)模型，從而使問題得以解決。構(gòu)造法體現(xiàn)了類比的思想，為了找出解題途徑，要進(jìn)行聯(lián)想，通過聯(lián)想聯(lián)系已有知識中與之類似的或與之相關(guān)的問題，從而為構(gòu)造模型提供參照對象。構(gòu)造合適的方程圖形，函數(shù)等解決數(shù)學(xué)問題時，不僅可以拓展解題思路，而且有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。此外一些特殊構(gòu)造對于解決實際問題有著相當(dāng)?shù)姆至俊?/p>

關(guān)鍵詞：構(gòu)造法；交叉學(xué)科；應(yīng)用

構(gòu)造法是數(shù)學(xué)中一種十分重要和基礎(chǔ)的方法，它是指利用已知條件和已掌握的知識，通過觀察、聯(lián)想構(gòu)造出滿足條件的數(shù)學(xué)對象，或構(gòu)造出一種新的問題形式，使問題的結(jié)論得以肯定或否定，或使問題轉(zhuǎn)化，從而使問題得到有效的解決.

構(gòu)造法有著意想不到的功效，不同的構(gòu)造，有著不同的效果。我們可以構(gòu)造方程，圖形，函數(shù)甚至是其他，這樣就會使學(xué)生要熟悉的幾何，代數(shù)，三角的基本技能，并多方面綜合利用，這對學(xué)生的多元思維，培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣，以及鉆研獨創(chuàng)精神的發(fā)揮十分有利，因此，在解題時若能從多方面，多渠道進(jìn)行思考，有時能得到很多巧妙，新穎獨體的解題方法還能加強我們對知識的理解。培養(yǎng)思維的靈活，提高分析問題的能力。

近代科學(xué)技術(shù)飛速發(fā)展，世界已進(jìn)入信息時代，交叉學(xué)科不斷產(chǎn)生數(shù)學(xué)工具與數(shù)學(xué)思想，日益向自然科學(xué)和社會科學(xué)滲透。控制論、信息論、系統(tǒng)論的誕生正是這一發(fā)展的結(jié)果，反過來，又加速了這一發(fā)展趨勢。這些新學(xué)科的產(chǎn)生，有的是運用已有學(xué)科的知識、方法去解決研究中的新問題。在數(shù)學(xué)里將一個分支里的知識移植到另一個分支里以解決新問題是屢見不鮮的。移植的成敗，常在于能否構(gòu)造恰當(dāng)?shù)膸缀文Ｐ突驍?shù)學(xué)模型（函數(shù)、方程等等），能否建立模型的關(guān)鍵是對數(shù)學(xué)語言的理解與運用能力，下面就對這些交叉學(xué)科中構(gòu)造法的運用來做一下簡單的介紹。

一、構(gòu)造法在數(shù)值分析中的運用

數(shù)值分析主要介紹現(xiàn)代科學(xué)計算中常用的數(shù)值計算方法及其基本原理，研究并解決數(shù)值問題的近似解，是數(shù)學(xué)理論與計算機和實際問題的有機結(jié)合。隨著科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展，運用數(shù)學(xué)方法解決科學(xué)研究和工程技術(shù)領(lǐng)域中的實際問題，已經(jīng)得到普遍重視。例如對常見的微分方程、積分方程為了求解，往往需要將連續(xù)模型轉(zhuǎn)化成離散模型.將連續(xù)模型轉(zhuǎn)化成離散模型，最常用的方法就是建立差分方程。

以非負(fù)整數(shù)k表示時間，記為xk變量x在時刻k的取值，則稱△xk=xk+1-xk為xk的一階差分，稱△2xk=△（△xk）=xk+2-2xk+1+xk為xk的二階差分。類似的求出xk的n階差分△nxk。由k，xk，及xk的差分給出的方程稱為差分方程。例如在研究節(jié)食與運動模型時，發(fā)現(xiàn)人們往往采取節(jié)食與運動方式消耗體內(nèi)存儲的脂肪，引起體重下降，達(dá)到減肥目的。通常制定減肥計劃以周為時間單位比較方便，所以采用差分方程模型進(jìn)行討論。記第k周末體重為w（k），第k周吸收熱量為c（k），熱量轉(zhuǎn)換系數(shù)α，代謝消耗系數(shù)β，在不考慮運動情況下，體重變化的情況為w（k+1）=w（k）+αc（k+1）-βw（k）=0，1，2，…，增加運動時只需將β改為β1+β，β1由運動的形式和時間決定.

二、構(gòu)造法在離散數(shù)學(xué)中的運用

構(gòu)造法是一種富有創(chuàng)造件的解題方法.在《離散數(shù)學(xué)》課程的整個學(xué)習(xí)過程中，經(jīng)常強調(diào)具有構(gòu)造性特點的一系列問題解決方法，因此它非常重視“能行性”的研究：即要解決一個問題，不光要證明該問題解的存在性（連續(xù)數(shù)學(xué)只要做到這一步就基本上算解決問題了），還要給出解決該問題的解的步驟來.在《離散數(shù)學(xué)》的證明題中，如果采用構(gòu)造法證明，則證明的過程往往就是對解題算法的描述.

問題 任一有限半群一定是等冪元.

問題解析 這是代數(shù)結(jié)構(gòu)中的存在性命題，也可采用構(gòu)造性證明方法.由于半群的性質(zhì)有限，只有結(jié)合律可用.因此證明時要充分利用元素個數(shù)的有限性和半群的運算滿足結(jié)合律，具體構(gòu)造出一個等冪元.

證明 設(shè)（S，×）是一個有限半群。任取α∈S，由于×滿足結(jié)合律，我們有{α，α2，α3，…，αn，…}■S。

因為S是有限集合，故α，α2，α3，…，αn，…不可能兩兩不同.從而一定存在正整數(shù)k，m，1≤k

令p=n-k，則由于×滿足結(jié)合律，αk=αm=αp×αk.對任意正整數(shù)q>k，有

αq= αk×qα-k=（αp×αk）×αq-k=αp×αq （*）

若p=q，則元素αp就是一個等冪元。否則因為p≥1，故存在正整數(shù)n滿足np≥0。故利用（*）可得

αnp=αp×αnp=αp×（αp×αnp）=α2p×αnp=α2p×（αp×αnp）

=α3p×αnp=…=αnp×αnp

故αnp就是S的一個等冪元。

運用構(gòu)造法解題可從中欣賞數(shù)學(xué)之美，感受解題樂趣，更重要的是可開拓思維空間，啟迪智慧，并對培養(yǎng)多元化思維和創(chuàng)新精神大有裨益.構(gòu)造法解題重在“構(gòu)造”，在解題時，我們只要有足夠的知識經(jīng)驗，較強的觀察能力、綜合運用能力和創(chuàng)造能力，根據(jù)題目的特征，對問題進(jìn)行深入分析，找出“已知”與“所求（所證）”之間的聯(lián)系紐帶，就能使解題另辟蹊徑、水到渠成.但是在本文中，雖然通過一些例題來闡述了不同構(gòu)造法在數(shù)學(xué)和交叉學(xué)科中所含的數(shù)學(xué)思想中的作用。

參考文獻(xiàn)：

[1] 候繁義.數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)方法[M].東北師范大學(xué)出版社，1991，5（4）：76-91.