“等差數列的前n項和”的教學設計和教學反思

孫麗娜

一、教學過程實錄

1.創設情景，喚起學生知識經驗的感悟和體驗

世界七大奇跡之一的泰姬陵坐落于印度古都阿格，傳說陵寢中有一個三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100層，你知道這個圖案一共花了多少寶石嗎？（多媒體展示三角形圖案）

也就是計算1+2+3+…+100=？

提問：有沒有同學了解這個題的解題過程？簡便方法？

學生會聯想到以前接觸過的高斯求和法.

介紹高斯算法：高斯，德國著名數學家，被譽為“數學王子”.二百多年前，高斯的算術教師提出了下面的問題：1+2+3+…+100=？據說，當其他同學忙于把100個數逐項相加時，10歲的高斯卻用下面的方法迅速算出了正確答案：

（1+100）+（2+99）+…+（50+51）=101×50=5050.

設計說明 情境學習理論認為：數學學習總是與一定的知識背景，即“情境”相聯系.從實際問題入手，圖中蘊含算數，能激發學生學習新知識的興趣，提高解決問題的積極性.

2.層層鋪墊，在自主探究與合作中學習

問題：1+2+3+…+100=？（高斯算法）

實質：首尾相加法，成對出現，每對和為101，組成50對.將和變為積來求.

設計說明 高斯的這一首尾配對算法學生雖然是熟悉的，但是他們對此的認知只是處于非常簡單的記憶，并不能說是理解.為了讓學生對此算法有更深的認識，也為了更好地推出后面的等差數列求和公式，設計了以下幾個問題探究：

探究1：在寶石圖案中，第1層到第21層共用了多少顆寶石？即1+2+3+…+21=？

用同樣方法相加的時候學生會發現，首尾配對后最中間一個會多出來，即：（1+2+…+10+12+…+20+21）+11.（對學生的分析歸納給予表揚）

發現：若項數是奇數時和項數是偶數時不同，采用這一方法求和就得分開討論.

提問：是不是求和時得根據項數是奇數還是偶數進行分類討論呢？

學生可能會贊成這一說法.教師并不全盤否定，但可以指出每次這樣分類會有點煩瑣，此時應適當地引導學生探索更為簡捷的求解方法.

設計說明 求和時不可能每次都通過討論項數是奇數還是項數是偶數來進行求解.教師指出還可以將解法簡潔化，激發學生探索的興趣，讓學生自己積極參與到解決問題中來.

引導學生回憶小學探求三角形面積是通過先補后分的方法，再用多媒體顯示探索路徑：補一個倒置的三角形，形成平行四邊形，使得上下每行的個數剛好相等.

學生觀察得出答案：

S21=21×1+212.

設計說明 用直觀的圖形啟發學生，開拓思路，化繁為簡.

幫助學生更好地理解這一簡便算法.此過程滲透了數形結合的數學思想，將問題直觀化.鼓勵學生在以后的學習

中也可以結合這一較為直觀的數學思想解題.

多補一個同樣的圖形，借用兩倍來考慮問題，省去了對奇偶項數進行分類.

將幾何圖形轉化為數學式子：

S21=1+2+…+11+…+20+21

S21=21+20+…+11+…+2+12S21=21×1+21S21=21×1+212.

設計說明 補一個同樣的式子，顛倒相加.由加法轉化為乘法求解，省去了討論奇偶項數的麻煩.這個方法記為“倒序相加法”.

探究2：n個自然數求和： 1+2+3+…+n=？（學生分組討論，學生代表發言）

Sn=1+2 +3+…+n-1+n.

Sn=n+n-1+n-2+…+2+1 2Sn=n1+nS21=n1+n2.

也就是說n個自然數求和直接可以利用這種倒序相加法求得，不管n為奇數還是偶數.

設計說明 這里的n個自然數是學生最為熟悉的等差數列，不管n是奇數還是偶數，過程采用的是一樣的方法，旨在讓學生體驗倒序相加求和這個算法的合理性，從心理上完成對首尾配對求和算法的改進.此研究過程也由特殊過渡到了一般，為等差數列前n項求和做了鋪墊，培養了學生觀察分析、類比推理的能力.

那么一般的等差數列如何求和呢？能用相同的方法嗎？條件滿足嗎？

探究3：已知等差數列{an}：a1，a2，a3，…，an，…，如何求前n項和Sn=a1+a2+a3+…+an ？

Sn=a1+a2+a3+…+an

Sn=an+an-1+an-2+…+a1

Sn=a1+（a1+d）+…+a1+（n-1）d

Sn=an+（an-d）+…+an-（n-1）d

2Sn=n（a1+an）Sn=n（a1+an）2.

通過對等差數列基本概念及性質的認識，從它的基本元素出發，結合“倒序相加法”對求和公式進行了推導.（等差數列的后一項比前一項多一個公差，前一項比后一項少一個公差）

設計說明 推導過程采用了層層遞進，由學生最容易接受的21個自然數到n個自然數，再推廣到一般的等差數列前n項求和，從特殊過渡到一般，利用“倒序相加法”順利完成公式的推導，將課堂的難點巧妙地加以突破.不僅培養了學生觀察分析、類比推理的能力，也培養了主動探索、勇于發現的精神.

3.歸納整理，公式應用

等差數列{an}的前n項和Sn=a1+a2+a3+…+an，由上述推導得出公式：

Sn=n（a1+an）2公式1

結合通項公式：an=a1+n-1·d，代入公式1，得：

Sn=na1+n（n-1）2d公式2

注：d可以為0，此時 Sn=na1.

設計說明 整個推導過程都是在教師的引導下，由學生主動完成的，加深了對公式的理解，也提高了學生學習數學的興趣，體驗成就感，增加學習的信心.兩個求和公式涉及了a1，an，d，n，Sn五個量，都是等差數列中的基本元素.

結合兩個求和公式，給出相應例題加以應用.

例1 在等差數列{an}中，（1）已知a1=3，a21=55，求S21;（2）已知a1=6，d=-12，求S20.

設計說明 第一小題從首項、尾項、項數出發可以利用公式1求解，第二小題從首項、公差、項數出發可以利用公式2求解，讓學生自己選擇不同公式求解.通過比較，引導學生在解題時根據題目條件選擇適當的公式加以求解.

例2 求正奇數數列1，3，5，7，…前100項和.

設計說明 本題可用公式2直接求解，也可結合通項公式根據公式1求解，讓學生體會哪個公式更為便捷.

變式： 等差數列 -13，-9，-5，-1，3，…的前多少項和等于50 ？

設計說明 本題適當加深了難度，需要變用公式.由數列的前四項可知首項、公差，且題中告知和為50，讓我們求的是項數，引導學生可以借用公式2求解項數.

例3 在等差數列{an}中，已知d=12，an=32，Sn=-152，求a1及n.

設計說明 本題已知三個量求另外兩個未知量，可以選擇求和公式1結合等差數列的通項公式列出關于a1及n的兩個方程求解.兩個求和公式中都包括四個元素，利用其中任意三個元素必可求出另外一個，即：知三求一.其實兩個求和公式共涉及了a1，an，d，n，Sn五個量，我們可以通過任意三個求解另外兩個，即：知三求二.

4.梳理知識，自我小結

找幾名學生來談談通過本節課的學習，學到了什么？體驗到什么？掌握了什么？最后教師加以歸納肯定：

（1）回顧從特殊到一般的推導方法，采用“倒序相加法”.

（2）等差數列的兩個求和公式：①Sn=n（a1+an）2;

②Sn=na1+n（n-1）2d.

（3）會根據條件選用適當的公式求解.

二、教學反思

收獲：教師有意識、有目的地開發、整合和使用課程資源，將在很大程度上提高學生從事數學活動的水平和教師從事教學活動的質量.本節課改進了教材上直接推導等差數列前n項和公式的做法，而是通過設計由簡單到復雜、從特殊到一般的幾個問題幫助學生自己探究出等差數列的前n項和的公式，學生在經歷的過程中加深了對公式的理解和鞏固，取得了良好的教學效果.

思考：如何處理好“預設”與“生成”的關系？

教學方案是教師對教學過程的“預設”，實施教學方案，是把“預設”轉化為實際的教學活動.在這個過程中，師生雙方的互動往往會“生成”一些新的教學資源 ，特別是在數學探究教學中，更需要教師及時把握，因勢利導，適時調控.

例如，本節課在講到第一個問題探究1+2+3+…+21時，學生并不是都像教師預設的那樣出現一種方法，即原式=（1+2+…+10+12+…+20+21）+11，而是出現了其他方法，方法1：原式=（1+2+3+…+20）+21;方法2：原式=0+1+2+…+20+21.

以上方法實際上是用了“化歸思想”，將奇數個項問題轉化為偶數個項求解，教師不得不嘆服學生思維的偉大，感嘆自己預設的不足，對于學生的這種思考，教師應進行充分肯定與表揚.

感悟：有效的數學教學活動是教師教與學生學的統一，應體現“以人為本”的理念，學生是數學學習的主體，數學課堂教學應以促進學生的發展為宗旨！