基于MUSIC算法多脈沖采樣的ARM抗誘餌測向誤差分析

司偉建，朱曈，張夢瑩

(哈爾濱工程大學(xué)信息與通信工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001)

雷達(dá)有源誘偏系統(tǒng)作為對抗反輻射導(dǎo)彈(antiradiation-missile，ARM)的有效手段之一，已逐漸被各國應(yīng)用于各大雷達(dá)系統(tǒng)之中，在當(dāng)今激烈的電子對抗環(huán)境下對ARM提出的嚴(yán)峻挑戰(zhàn)。為此相關(guān)領(lǐng)域的學(xué)者提出很多ARM對抗誘餌的方法，其中采用空間譜估計超分辨測向算法是ARM抗誘餌的主要方法之一［1-4］。然而將超分辨測向體制應(yīng)用于ARM來對抗誘餌時，算法的估計性能會由于真實電磁環(huán)境中的種種局限而有所下降［5-8］。多重信號分類法(multiple signal classification，MUSIC)作為超分辨測向算法中的主要代表算法之一，其理論估計性能已被眾多學(xué)者分析給出［9-11］，但其測角誤差是以理想狀況下采樣數(shù)據(jù)相互獨(dú)立為前提推導(dǎo)得到的。

以往干涉儀測向方法每次有效估計可以在一個單脈沖之內(nèi)完成，因此又稱單脈沖測向［12］。與此不同的是，超分辨測向算法往往需要大量采樣數(shù)據(jù)(快拍數(shù))作為保證［13］，才能進(jìn)行單次的有效估計，因此參與計算的數(shù)據(jù)往往是由多個脈沖內(nèi)的采樣數(shù)據(jù)累積而成。對于同一脈沖內(nèi)的采樣數(shù)據(jù)，由于采樣間隔時間很短，使得各輻射源之間有很強(qiáng)的相干性;而對于不同脈沖內(nèi)的采樣數(shù)據(jù)，相隔的采樣時間較長，由于頻率、相位漂移等原因，各輻射源之間恢復(fù)為非相干狀態(tài)。因此采樣數(shù)據(jù)中會具有分組相關(guān)的特點(diǎn)，即每個脈沖內(nèi)的數(shù)據(jù)具有相干性，而不同脈沖內(nèi)的數(shù)據(jù)不具有相關(guān)性。這使得實際應(yīng)用中超分辨算法的測向性能相比于理論值有所降低。

本文以MUSIC算法為例，將ARM應(yīng)用超分辨算法時的測向誤差進(jìn)行推導(dǎo)，得出最優(yōu)估計時各組觀測數(shù)應(yīng)滿足的關(guān)系，并計算出測向誤差期望值的近似結(jié)果。通過仿真給出估計有效比——估計誤差與克拉美羅界之比隨信噪比、信號源數(shù)、陣元數(shù)及脈沖數(shù)的變化曲線，并通過對隨機(jī)矩陣的條件數(shù)分析，得到測向誤差的波動程度隨脈沖數(shù)的變化關(guān)系。

1 觀測數(shù)據(jù)分組相關(guān)的數(shù)學(xué)模型

設(shè)雷達(dá)與誘餌信號共計n個，入射到ARM被動雷達(dá)導(dǎo)引頭的M陣元天線陣列上，當(dāng)近似為窄帶遠(yuǎn)場信號時，其觀測矢量 X(t)=［x1(t)x2(t)…xM(t)］T可以表示為

式中:A(θ)= ［a(θ1)a(θ2)…a(θn)］是天線陣列的方向矩陣，a(θi)為導(dǎo)引矢量;S(t)=［s1(t)s2(t)…sn(t)］T是波達(dá)方向為 θ1，θ2，…，θn的雷達(dá)與誘餌入射信號矢量;N(t)=［n1(t)n2(t)…nM(t)］T表示加性的零均值高斯噪聲矢量，方差為σ2N。當(dāng)噪聲與信源之間相互獨(dú)立時，觀測數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣為

式中:RS=E［SSH］，RN=E［NNH］，當(dāng)噪聲為白噪聲時，有RN=σ2NIM×M。在實際中協(xié)方差矩陣R是通過L個觀測數(shù)據(jù)得到的估計值近似獲得。當(dāng)單次方位估計所用數(shù)據(jù)是由多個脈沖內(nèi)采樣累積得到時，由于每個脈沖內(nèi)強(qiáng)相關(guān)性的存在使得式(1)中的RS不再表征E［SSH］，而是與每個脈沖內(nèi)各信源相差的相位復(fù)常數(shù)e-jφn有關(guān)。

式中:ejφ1=1。

設(shè)L個觀測數(shù)據(jù)是從k個脈沖中依次采樣得到，令每個脈沖中的觀測數(shù)據(jù)為一組，每組觀測數(shù)分別為 n1，n2，…，nk，顯然有

若構(gòu)造第i組的相位復(fù)常數(shù)矢量為

式中:ejφni(i=1，2，…，k，且 ejφ1i=1)表示第 i組的觀測數(shù)據(jù)中第n個信源與第1個信源相差的相位復(fù)常數(shù)。設(shè)第i組的入射信號矢量為Si(t)，則第i組的信號協(xié)方差矩陣RSi可以寫為

由于不同波門下采樣間隔較長，受到頻率、相位漂移等原因?qū)е缕洳煌M間的相位復(fù)常數(shù)ejφ發(fā)生變化，可以認(rèn)為這種變化是隨機(jī)的，即滿足 φ在[ 0，2π)上的均勻分布，則信號協(xié)方差矩陣的估計值可以寫為

則式(1)中RS實際為

2 多脈沖采樣時MUSIC估計誤差分析

根據(jù)MUSIC估計器的原理:

可知必定有

式中:b(θi)，因此估計誤差- θi可以

寫為

可以得到估計誤差的方差［9］:

令 λ1，λ2，…，λn是信源對應(yīng)的 n 個特征值，則

為了避免計算特征分解的麻煩，再根據(jù)恒等式:

代入式(3)可以化為

式中:(·)ii表示矩陣的第i個對角元素。根據(jù)前文分析，當(dāng)觀測數(shù)據(jù)具有分組相關(guān)特性時，R-1S中也含有隨機(jī)成分，即上式應(yīng)寫為

注意到當(dāng)每組觀測數(shù) n1，n2，…，nk變動時，根據(jù)不等式，故對于方差D[ R]始

S終有

等號在n=n=… =n=

12k時成立，即說明當(dāng)總快拍數(shù)L一定時，每組的觀測數(shù)相等時估計的有效性最高。在滿足此條件時式(2)可以化簡為

則

即只需計算出 [ G1]ii與 [ G2]ii的期望值，就可得到MUSIC算法在多脈沖采樣時觀測數(shù)據(jù)具有分組相關(guān)性的測向估計誤差。

2.1 [ G1] ii的求取

為分別求出 [ G]與 [ G]，首先將E [ Q-1]

1ii2iiii

寫為

式中:Q*表示Q的伴隨矩陣。根據(jù)行列式展開可知，對于Q= [ qij]n×n有

式中:An表示1～n的排列全集，t(·)是排列的逆序數(shù)。通過觀察矩陣Q可以發(fā)現(xiàn)，對于其元素qij有

故可將所有項q1c1q2c2…qncn按含有qi1i2qi2i1(i1≠i2)的個數(shù)分類。若令μ(ni)表示n維方陣中選取i對qi1i2qi2i1(i1≠i2)的選法總數(shù)(此時任2個元素不可同行或同列)，υm表示 m維方陣中 qi1i2qi2i3…qimi1，(i1，i2，…，im互不相等)的選法總數(shù)，圖例如圖1。

圖1 μ(n i)與 υm的含義圖例Fig.1 Definition of μ(ni)andυm

觀察到矩陣Q的對角元素均為1，由式(8)可知當(dāng)k一定時，E [Q]與E[(Q*)ii]只與信源數(shù)n有關(guān)，且根據(jù)隨機(jī)相位的獨(dú)立性可知E[(Q*)11]=E[(Q*)22]=…=E[(Q*)nn]。用下角標(biāo)Qn記做矩陣Q的維數(shù)，則式(6)可以化簡為

注意到當(dāng)k增大時對任意n≥1，矩陣Q滿足

記

則將式(9)在y=0處Taylor展開，有

綜上，可以得到 [ G1]ii的近似值為

2.2 [ G2] ii的求取

同理可以計算 [ G2]ii的值，由于隨機(jī)矩陣Q是對角占優(yōu)矩陣，所以式(5)可以轉(zhuǎn)化為

根據(jù)式(7)行列式的定義有

需要注意的是E[ (Q2]≠，若將矩陣Q寫為分塊矩陣:

則可以看出

則根據(jù)式(6)的原理可以得出 [ G2]ii的值:

式中:

2.3 關(guān)于式(10)的幾點(diǎn)討論

1f2(n，k)?1，此時測向估計方差還原為經(jīng)典MUSIC算法的方差

2)當(dāng)k＜n時，矩陣Q為奇異陣，此時Q的逆陣不存在，理論估計誤差也不存在。這是由于此時信源仍含有相干成分，未經(jīng)過預(yù)處理的MUSIC算法將完全失效。因此可以得出相關(guān)采樣組數(shù)k的基本要求為k≥n。

3)當(dāng)k≥n且k不是很大時，隨機(jī)矩陣Q的波動性——即矩陣Q中的任一隨機(jī)相位的微小變動所引起的Q逆陣變化的劇烈程度，隨著k、n的變化而變化，其病態(tài)程度由其條件數(shù)cond(Q)決定

cond(Q)=‖Q‖·‖Q-1‖

式中:‖·‖為矩陣的任一范數(shù)。由于Q為Hermite矩陣，可以將其譜范數(shù)帶入上式，有λ(·)為特征值。則當(dāng) k、n不同時，條件數(shù) cond(Q)2的變化如表1。

條件數(shù)的具體大小與矩陣范數(shù)的取法有關(guān)，但相對大小一致，因此從表1中可以看出矩陣Q的病態(tài)程度隨著k值的增大而迅速降低，顯然當(dāng)k趨于無窮時cond(Q)=1，而信源數(shù)n的增加會導(dǎo)致矩陣Q的病態(tài)程度整體略有增加。該條件數(shù)直接反應(yīng)了隨機(jī)相位φij變化的波動對估計方差的影響程度，當(dāng)條件數(shù)較大時，意味著測向估計結(jié)果對隨機(jī)相位φij的取值很敏感，相當(dāng)于有更大概率產(chǎn)生較大誤差估計(錯誤估計)。因此從表1中條件數(shù)的變化趨勢可以看出，k值的下限取值以k≥n+4為宜。

表1 條件數(shù)cond(Q)2隨k、n變化的趨勢Table 1 cond(Q)2 with k，n changes

4)若ARM的天線陣列為二維空間陣列，可以測定的角度為方位角α與仰角β，角度估計θ為α，β 構(gòu)成的矢量 θ(α，β)，若令

則同理可得方位角α與仰角β的估計方差為

式中:f1(n，k)和 f2(n，k)與式(11)、(12)相同。

3 仿真實驗與結(jié)果分析

為了對比單脈沖內(nèi)信號的相關(guān)性對測向算法估計誤差產(chǎn)生的影響，以經(jīng)典MUSIC的克拉美-羅界(Cramer-Rao bound，CRB)作為參考，MUSIC算法下等功率信號的CRB以下式給出［10］可定義角度估計有效比

可見估計有效比越高，則表明該估計越接近所能達(dá)到的CRB上限。同時，由式(13)可見在二維角度估計時，其估計誤差形式與式(10)的一維估計誤差形式相近，且估計有效比相同。故本文仿真實驗以一維估計為例，并不影響一般性。

設(shè)接收天線陣列為5陣元的一維線陣，陣元間距為半波長。若兩等功率的遠(yuǎn)場信號入射角為 θ1、θ2，角度間隔為 Δθ= θ1- θ2，L=100。圖2(a)、(b)分別為信噪比為10 dB與0情況下，MUSIC算法的估計有效比理論值與實際中觀測數(shù)據(jù)具有分組相關(guān)性時的估計有效比隨角度間隔的變化曲線，其中采樣脈沖數(shù)分別設(shè)置為6、10、14。從圖2中可以看出分組相關(guān)采樣下的估計有效比隨著脈沖數(shù)k與信噪比的增加而增加，且能達(dá)到的最高有效比與脈沖數(shù)k直接相關(guān)，k值越高，越接近理論值。

圖2 估計有效比與角度間隔的變化曲線Fig.2 Efficiency ratio curves versus angle interval

圖3(a)、(b)是信噪比分別為10 dB與0情況下，估計有效比隨脈沖數(shù)k的變化曲線。接收天線陣列依舊為5陣元的一維線陣，陣元間距為半波長。遠(yuǎn)場入射信號分別為2、3、4個，角度間隔固定為Δθ=0.05π，L=100。從圖3中可以看出，分組相關(guān)采樣時的估計有效比隨著k值的增加而逐漸接近理論值。

圖3 估計有效比與脈沖數(shù)k的變化曲線Fig.3 Efficiency ratio curves versus the number of pulses k

圖4(a)、(b)是信噪比分別為10 dB與0情況下，估計有效比隨陣元數(shù)M的變化曲線。天線陣列的陣元數(shù)依次設(shè)置為5、6、7…，陣元間距為半波長。遠(yuǎn)場入射信號為3個，入射角度設(shè)置為 -9°、0°、9°。L=100 ，采樣脈沖數(shù)分別設(shè)置為6、10、14。從圖4可以看出分組相關(guān)采樣時的估計有效比隨著陣元數(shù)M的增加而增加，最終趨于穩(wěn)定，能達(dá)到的最大有效比與脈沖數(shù)k有關(guān)。

圖4 估計有效比與陣元數(shù)M的變化曲線Fig.4 Efficiency ratio curves versus the number of antennas M

4 結(jié)束語

本文分析了單脈沖內(nèi)采樣數(shù)據(jù)具有強(qiáng)相干性時，經(jīng)典MUSIC算法的估計性能會有所下降的原因，式(10)給出了此時估計方差的近似期望值。揭示了ARM采用超分辨算法時的實測估計誤差與理論值有較大差異的主要原因之一。仿真結(jié)果表明，當(dāng)采樣脈沖數(shù)k一定時，測向估計誤差的有效比會隨著陣元數(shù)的增多及入射輻射源角度間隔的增大而提高，但最終將穩(wěn)定于低于理論值的某一水平。其穩(wěn)定值與脈沖數(shù)k與信源數(shù)目n有關(guān)，k越高、n越小，則估計有效比越接近理論值。也表明了在實際工程中合理地增加采樣脈沖數(shù)k可以有效地減小估計誤差。

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