方程組的特殊解法與思維拓展

摘 要：初中人教版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》七年級(jí)（下冊(cè)）方程組的常規(guī)解法有代入和加減消元法，它們都是從“消元”這個(gè)化歸思想出發(fā)，即從“未知”“三元”“二元”轉(zhuǎn)化到“已知”“一元”，即求一元一次方程的解。

關(guān)鍵詞：方程組；特殊解法；思維；拓展

解方程組除了熟練掌握常規(guī)解法以外，還應(yīng)根據(jù)方程組的特征，靈活運(yùn)用一些特殊方法，像整體代入法、參數(shù)法、換元法等，這樣既可以使解題簡(jiǎn)便，又可以拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，為學(xué)生綜合能力的發(fā)展奠定基礎(chǔ).在新課改背景下，在重視素質(zhì)教育的今天，更應(yīng)該有效地拓展學(xué)生的思維.在解數(shù)學(xué)題目時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到一些題中項(xiàng)數(shù)多，代數(shù)式較繁，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，往往令人望而生畏.但是學(xué)生如果能夠深入分析，探其規(guī)律，轉(zhuǎn)換思維，問(wèn)題就會(huì)迎刃而解.

在實(shí)際的教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生將一些代數(shù)式適當(dāng)變形，使學(xué)生思維得到轉(zhuǎn)換，從而獲得較簡(jiǎn)捷的解題途徑.在素質(zhì)教育進(jìn)一步發(fā)展的背景下，我認(rèn)為，素質(zhì)教育的核心就是創(chuàng)新教育，而創(chuàng)新教育的核心就是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)造性的思維能力.在教學(xué)中，應(yīng)從注重對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)興趣的培養(yǎng)入手，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性和求知欲，培養(yǎng)他們分析、歸納、總結(jié)的能力；并在掌握基本技能和技巧的基礎(chǔ)上，要鼓勵(lì)學(xué)生大膽地去探索與研究，培養(yǎng)學(xué)生的好奇心，拓展他們的思維能力，教師要經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生從變換的角度去看問(wèn)題，從整體去考慮，可以使問(wèn)題簡(jiǎn)單化，也就是說(shuō)，要從多角度、多層次、多方位去改變題目中的結(jié)構(gòu)和形式，從而得出相應(yīng)結(jié)論；教師要加強(qiáng)對(duì)學(xué)生進(jìn)行發(fā)散思維訓(xùn)練，可通過(guò)順向思維和逆向思維的訓(xùn)練，達(dá)到舉一反三的目的，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的廣泛性、深刻性、靈活性和獨(dú)特性，例如，一題多解是培養(yǎng)學(xué)生靈活思維的好手段，從不同角度思考問(wèn)題，采用多種方法解決問(wèn)題，有利于學(xué)生加深理解和掌握部分與整體之間的相互轉(zhuǎn)化；一題多變可培養(yǎng)學(xué)生的探索性和創(chuàng)造性、敏捷性和創(chuàng)新精神，使學(xué)生的思維得到拓展.所以，教師在教學(xué)過(guò)程中，要挖掘一些行之有效的、典型的一題多解的練習(xí)題，去訓(xùn)練學(xué)生的思維，拓展學(xué)生的思維廣度和深度，使他們的思維更加靈活，更加敏捷，使學(xué)生的思維得到充分的鍛煉，從而培養(yǎng)學(xué)生良好的思維能力，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生今后的發(fā)展和創(chuàng)新是非常必要的.因此，新課改中的初中數(shù)學(xué)教學(xué)更應(yīng)該加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的思維拓展訓(xùn)練，幫助學(xué)生提升思維能力，主要從觀察數(shù)學(xué)規(guī)律、思維轉(zhuǎn)換等方面入手，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)思維的轉(zhuǎn)換變形，化繁為簡(jiǎn)，化難為易，從思維的轉(zhuǎn)換角度去拓展學(xué)生的創(chuàng)造能力.現(xiàn)略舉幾例說(shuō)明.

一、靈活消元：整體代入法

二、整體加減法

例2.解方程組x+y-z=11，①y+z-x=5，②z+x-y=1，③

分析：方程組中每個(gè)未知數(shù)均出現(xiàn)了三次，且含各未知數(shù)的項(xiàng)系數(shù)和均為1，故可采用整體相加的方法.

解：①+②+③，得x+y+z=17，④

再由④分別減去①、②、③各式，

分別得z=3，x=6，y=8.所以原方程組的解是x=6y=8z=3

注意：根據(jù)本題的特點(diǎn)，此題也可以靈活地采取①+②消去x和z，求得y.②+③同時(shí)消去x、y，求得z.①+③同時(shí)消去y、z，求

得x.

三、整體改造法

例3.解方程組x+y-2z=0， ①11x+4y-8z=7， ②27x+104y-54z=77， ③

分析：按常規(guī)方法逐步消元，非常繁雜.考查系數(shù)關(guān)系：②中含y、z項(xiàng)的系數(shù)是①中對(duì)應(yīng)系數(shù)的4倍；③中含x、z項(xiàng)的系數(shù)是①中對(duì)應(yīng)系數(shù)的27倍.因此可對(duì)②、③進(jìn)行整體改造后，綜合加減法和代入法求解.

解：由②、③，得7x+4（x+y-2z）=7， ④27（x+y-2z）+77y=77. ⑤

再將①代入④、⑤，得x=1，y=1.

把x、y的值代入①，得z=1.所以原方程組的解為x=1y=1z=1

注意：上面例子的整體思想就是從問(wèn)題的整體性出發(fā)，對(duì)其結(jié)論進(jìn)行分析和改造，有意識(shí)地進(jìn)行整體改造，這種方法在代數(shù)式求值、解方程（組）等方面有廣泛的應(yīng)用，這種整體求解的方法比常規(guī)的消元法和代入法要簡(jiǎn)單得多.

從以上所列舉的例題可以看出，方程組的一些特殊解法的歸類引導(dǎo)，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，不局限于常規(guī)解法，在熟悉掌握常規(guī)解法的基礎(chǔ)上，去了解更多的方法，到時(shí)候解題就不會(huì)感到措手不及，遇到做過(guò)的類似題目就會(huì)精神振奮，才能發(fā)揮他們的聰明才智，

去大膽地開(kāi)發(fā)、探索、創(chuàng)造，找出更適合的解法.

方程組的特殊解法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)無(wú)與倫比的解題之美妙，有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)明創(chuàng)造能力，這對(duì)于開(kāi)闊學(xué)生視野、拓展學(xué)生思維轉(zhuǎn)換及空間想象能力有著重要的作用.

作者簡(jiǎn)介：何文良，男，1957年7月出生，大專，就職學(xué)校：四川青川縣房石九年制學(xué)校，從事數(shù)學(xué)教學(xué)工作，研究方向：思維訓(xùn)練與拓展。