基于過(guò)程能力指數(shù)的可連續(xù)提交的驗(yàn)收抽樣檢驗(yàn)方案

宋向東　何倩

摘 要：驗(yàn)收抽樣檢驗(yàn)是從一批產(chǎn)品中抽取一些單位產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)以決定能否接收該批產(chǎn)品的統(tǒng)計(jì)方法。可連續(xù)提交的計(jì)量驗(yàn)收抽樣檢驗(yàn)更貼合實(shí)際操作的要求，將其同有精確分布函數(shù)的程能力指數(shù)相結(jié)合，利用OC曲線的性質(zhì)得到兩個(gè)不等式，利用二分法查找出同時(shí)滿足兩個(gè)不等式的最優(yōu)解，由此制定了一個(gè)可連續(xù)提交的計(jì)量驗(yàn)收抽樣方案。同時(shí)給出了在生產(chǎn)方風(fēng)險(xiǎn)、使用方風(fēng)險(xiǎn)、AQL及LTPD取一定值時(shí)驗(yàn)收抽樣檢驗(yàn)方案的樣本量及對(duì)應(yīng)的臨界值表。

關(guān)鍵詞：可連續(xù)提交；計(jì)量驗(yàn)收抽樣檢驗(yàn)；過(guò)程能力指數(shù)

中圖分類號(hào)：F270 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1673-291X（2014）28-0283-03

緒論

驗(yàn)收抽樣是統(tǒng)計(jì)質(zhì)量控制的一個(gè)重要領(lǐng)域，它的最初應(yīng)用是在第二次世界大戰(zhàn)時(shí)美國(guó)用來(lái)檢測(cè)子彈質(zhì)量，保證在戰(zhàn)爭(zhēng)時(shí)能夠彈無(wú)虛發(fā)。驗(yàn)收抽樣檢驗(yàn)是從一批產(chǎn)品中抽取一些單位產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)以決定能否接收該批產(chǎn)品的統(tǒng)計(jì)方法，它只需抽取一定的樣本進(jìn)行檢驗(yàn)，并作出接收或拒絕整批的決定[1]。

驗(yàn)收抽樣檢驗(yàn)方案是由檢驗(yàn)所需的樣本容量和接收準(zhǔn)則組成的方案。一個(gè)好的驗(yàn)收抽樣檢驗(yàn)方案能夠顯著的減少使用方所需要的產(chǎn)品和生產(chǎn)方實(shí)際提供的產(chǎn)品之間的差異。單一樣本的驗(yàn)收抽樣檢驗(yàn)方案因其操作上的簡(jiǎn)便，所以被廣泛應(yīng)用于實(shí)際中。但是在很多情況下，一批產(chǎn)品在進(jìn)行單一樣本的抽樣檢驗(yàn)被拒絕時(shí)，生產(chǎn)方可能會(huì)懷疑其抽樣檢驗(yàn)的結(jié)果，并對(duì)該批產(chǎn)品連續(xù)提交，即按照合同或規(guī)定的條款再次抽取相同數(shù)量的樣品進(jìn)行檢驗(yàn)，這種檢驗(yàn)方式稱為可連續(xù)提交的驗(yàn)收抽樣檢驗(yàn)。我們假設(shè)在產(chǎn)品連續(xù)提交時(shí)，產(chǎn)品未被再加工或改變質(zhì)量，并把傳統(tǒng)的抽樣檢驗(yàn)稱為在允許連續(xù)提交時(shí)的第一次檢驗(yàn)。在允許連續(xù)提交的前提下，如果生產(chǎn)方并不認(rèn)可第一次抽樣檢驗(yàn)的結(jié)果，就會(huì)進(jìn)行后續(xù)的抽樣檢驗(yàn)，并且只考慮最后一次抽樣檢驗(yàn)的結(jié)果來(lái)做出決定，傳統(tǒng)的多樣本驗(yàn)收抽樣檢驗(yàn)同時(shí)考慮多次抽樣檢驗(yàn)的結(jié)果是很有意義的，但是本文的研究是不考慮前幾次抽樣檢驗(yàn)結(jié)果的情況。通常如果生產(chǎn)方對(duì)自己產(chǎn)品的質(zhì)量有把握，他們會(huì)比較傾向于再進(jìn)行后續(xù)的抽樣檢驗(yàn)。

傳統(tǒng)的驗(yàn)收抽樣檢驗(yàn)包括計(jì)數(shù)驗(yàn)收抽樣檢驗(yàn)和計(jì)量驗(yàn)收抽樣檢驗(yàn)。產(chǎn)品質(zhì)量特性的定量計(jì)量通常能夠比定性計(jì)量提供更多關(guān)于產(chǎn)品制造過(guò)程的信息，且計(jì)量驗(yàn)收抽樣檢驗(yàn)所需的樣本量也較計(jì)數(shù)檢驗(yàn)有明顯下降[2]。因此，計(jì)量驗(yàn)收抽樣檢驗(yàn)方案被廣泛應(yīng)用。制定計(jì)量驗(yàn)收抽樣檢驗(yàn)方案的方式不只一種，國(guó)標(biāo)中所列的計(jì)量驗(yàn)收抽樣檢驗(yàn)的操作步驟較多且計(jì)算繁瑣。過(guò)程能力指數(shù)有計(jì)算簡(jiǎn)便的優(yōu)點(diǎn)，在過(guò)去的十年里，人們不斷探究過(guò)程能力指數(shù)與計(jì)量驗(yàn)收抽樣檢驗(yàn)結(jié)合的案例，本文將可連續(xù)提交的計(jì)量驗(yàn)收抽樣檢驗(yàn)與過(guò)程能力指數(shù)相結(jié)合，當(dāng)產(chǎn)品的某一質(zhì)量特性服從正態(tài)分布時(shí)，制定一個(gè)基于過(guò)程能力指數(shù)的可連續(xù)提交的計(jì)量驗(yàn)收抽樣檢驗(yàn)方案。

一、過(guò)程能力指數(shù)

我們所研究的可連續(xù)提交的計(jì)量抽樣檢驗(yàn)建立在精確的樣本分布而非近似的分布，做出的決定也更加準(zhǔn)確、可靠。

假設(shè)產(chǎn)品的質(zhì)量特性X服從均值為μ方差為σ2的正態(tài)分布，即X～N（μ，σ2），USL和LSL分別為上規(guī)格限和下規(guī)格限，過(guò)程能力指數(shù)Cpk用下面的式子來(lái)表示即：

Cpk=Min

，= （1）

其中，d=（USL-LSL）/2，M=（USL+LSL）/2。

過(guò)程能力指數(shù)Cpk被認(rèn)為是基于過(guò)程加工能力的指數(shù)，在正態(tài)分布過(guò)程下Cpk與加工能力B有緊密的聯(lián)系，即Φ（3Cpk）-1≤B≤Φ（3Cpk），其中Φ（·）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率分布函數(shù)。這也就是說(shuō)當(dāng)Cpk=1時(shí)，加工過(guò)程的最大次品率為2.7‰；當(dāng)Cpk=1.33時(shí)，加工過(guò)程的最大次品率降至0.066‰；當(dāng)Cpk=1.67時(shí)，次品率僅為0.000544‰；當(dāng)Cpk=2時(shí)，次品率為0.000002‰。因此使用方在購(gòu)買生產(chǎn)法的產(chǎn)品時(shí)，一般會(huì)指定一個(gè)最小的Cpk的值。如果達(dá)不到事先規(guī)定的最小的Cpk的值，就會(huì)認(rèn)為生產(chǎn)過(guò)程不合格。否則，生產(chǎn)過(guò)程合格。

過(guò)程能力指數(shù)Cpk的估計(jì)用pk表示，把過(guò)程均值μ和過(guò)程標(biāo)準(zhǔn)差σ分別用樣本均值x=xi /n和樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=

（xi-[x]）2/（n-1）1/2來(lái)代替，則有：

Cpk=Min

，= （2）

在正態(tài)分布的假設(shè)下，Lin 和 Pearn得到了pk精確的概率分布函數(shù)[3]：

F[ p k]（y）=1-G

×[?（t+ξ）+

?（t-ξ）]dt （3）

其中y>0，b=d/σ，ξ=（μ-M）/σ，G（·）為自由度為n-1的卡方分布的概率分布函數(shù)，?（·）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)。pk的概率分布函數(shù)可以用卡方分布和正態(tài)分布相結(jié)合的形式表示。

二、制定一個(gè)基于過(guò)程能力指數(shù)Cpk的可連續(xù)提交批的抽樣檢驗(yàn)方案

一批產(chǎn)品連續(xù)提交的情況一般可以分為第一次檢驗(yàn)結(jié)果被懷疑或按照合同條款的規(guī)定生產(chǎn)方可以再次抽取相同數(shù)量的樣品進(jìn)行檢驗(yàn)兩種情況。在連續(xù)提交時(shí)某批產(chǎn)品的質(zhì)量不因排序或再加工而改變的前提下，可連續(xù)提交的計(jì)量驗(yàn)收抽樣檢驗(yàn)步驟可以分為以下幾步：

（1）對(duì)第一次抽取的樣本進(jìn)行檢驗(yàn)，即按照正常的驗(yàn)收檢驗(yàn)方案，該方案包括樣本容量n和接收的臨界值C0。當(dāng)我們根據(jù)第一次抽樣的樣本計(jì)算出的pk的值大于臨界值C0則接收該批產(chǎn)品。

（2）如果進(jìn)行上述檢驗(yàn)的結(jié)果為拒絕，可按照合同規(guī)定進(jìn)行m次抽樣檢驗(yàn)，在第m-1次重新提交依然不接收時(shí)拒絕接收該批。對(duì)于可連續(xù)提交的抽樣方案，在第一次檢驗(yàn)不被接收的情況下允許重新提交m-1次，且每次檢驗(yàn)均需要重新抽樣。換句話說(shuō)，質(zhì)量不變的一批產(chǎn)品需要進(jìn)行m次檢驗(yàn)，當(dāng)m的值取2時(shí)，只需用樣本量為n和臨界值C0的一次抽樣檢驗(yàn)方案進(jìn)行一次重新抽樣。

Cpk的表達(dá)式還可以用Cpk=（d/σ-|ξ|）/3來(lái)表示，其中ξ=（μ-M）/σ。若Cpk=C，b=d/σ可以寫成b=3C+|ξ|。當(dāng)Cpk=C時(shí)，Pa（C）為操作特性曲線函數(shù)，Pa（C）的表達(dá)式如下：

Pa（C）=P（pk≥C0）=1-P（pk

=G

[?（t+ξ）+?（t-ξ）]dt （4）

對(duì)于基于過(guò)程能力指數(shù)Cpk的可重新提交的抽樣檢驗(yàn)方案，最終接收的概率可以用下面的式子表示出來(lái)[4]：

πA（Cpk）=Pa（Cpk）+[1-Pa（Cpk）]Pa（Cpk）+[1-Pa（Cpk）]2Pa（Cpk）+…+[1-Pa（Cpk）]m-1Pa（Cpk）==1-[1-Pa（Cpk）]m （5）

由于我們對(duì)批的處置是基于對(duì)樣本的檢測(cè)結(jié)果，因此存在做出錯(cuò)誤決定的可能。一般地，當(dāng)質(zhì)量水平為可接收時(shí)，但不被驗(yàn)收抽樣方案所接收的概率稱為生產(chǎn)方風(fēng)險(xiǎn)，用α表示；當(dāng)質(zhì)量水平為不滿意值時(shí)，但被驗(yàn)收抽樣方案接收的概率稱為使用方風(fēng)險(xiǎn)，用β表示。OC曲線的任意兩點(diǎn)都可以用來(lái)指定抽樣方案，通常用可接收質(zhì)量水平AQL和批允許不良率LTPD這兩個(gè)點(diǎn)，生產(chǎn)法和使用方都會(huì)提出一定的要求來(lái)保護(hù)各自的利益。這樣在一個(gè)設(shè)計(jì)較好的抽樣方案中，雙方的風(fēng)險(xiǎn)保持在一個(gè)平衡的狀態(tài)。當(dāng)產(chǎn)品次品率為AQL時(shí)，過(guò)程能力指數(shù)用CAQL表示，此時(shí)生產(chǎn)方希望使用方以1-α的高接收概率接收；當(dāng)產(chǎn)品的次品率為L(zhǎng)TPD時(shí)，過(guò)程能力指數(shù)用CLTPD表示，此時(shí)使用方希望以很小的概率β接收。由此，基于過(guò)程能力指數(shù)Cpk的可重新提交的驗(yàn)收抽樣方案的參數(shù)（n，C0）需要滿足下面兩個(gè)方程：

πA（CAQL）=1-[1-Pa（CAQL）]m≥1-α （6）

πA（CLTPD）=1-[1-Pa（CLTPD）]m≤β （7）

也就是同時(shí)滿足下面兩個(gè)非線性方程：

1-

G

×[?（t+

ξ）+?（t- ξ）]dt ] m-α≤0 （8）

1-

G

×[?（t+

ξ）+?（t- ξ）]dt ] m-（1-β）≤0 （9）

其中bA=3CAQL+|ξ|，bL=3CLTPD+|ξ|，CAQL>CLTPD。我們可以注意到所需的樣本容量n為滿足以上兩個(gè)式子最小的正整數(shù)。

三、計(jì)算n和C0的算法步驟及常見臨界值表

由于過(guò)程的參數(shù)μ和σ是未知的，因此ξ=（μ-M）/σ也是未知的，在實(shí)際中ξ的值也是要估計(jì)的。為此Pearn和Wu在其文章中進(jìn)行了嚴(yán)格的計(jì)算得出：在ξ=1時(shí)，n和C0的值的較為合理，本文中我們令ξ=1。利用二分法[5]查找出在給定α、β、CAQL、CLTPD的值時(shí)滿足（8）式和（9）式的n和C0的值，其中所得到的n值為滿足兩式的最小正整數(shù)，n和C0的值即組成了相應(yīng)的計(jì)量驗(yàn)收抽樣檢驗(yàn)方案。為了更好的將本文的結(jié)論運(yùn)用到實(shí)際中，我們計(jì)算了在一些較為常見的α、β、CAQL和CLTPD條件下的n和C0的值。

結(jié)論

驗(yàn)收抽樣檢驗(yàn)是生產(chǎn)方和使用方合作的前提，而在實(shí)際中僅進(jìn)行一次抽樣檢驗(yàn)就做出拒絕的決定往往并不能令人信服，可連續(xù)提交的計(jì)量驗(yàn)收抽樣檢驗(yàn)方案對(duì)于雙方來(lái)說(shuō)都更加容易接受，過(guò)程能力指數(shù)的深入研究和廣泛應(yīng)用也使得實(shí)際操作變得更加簡(jiǎn)便易行，兩者的結(jié)合更是計(jì)量驗(yàn)收抽樣檢驗(yàn)的一大進(jìn)步。通過(guò)本文的研究，希望可以對(duì)驗(yàn)收抽樣檢驗(yàn)的方法和理念提供指導(dǎo)和幫助。