從學生認知水平入手 用矛盾運動規律教學——《圓的周長》的教學設計與思考

游家水

（游家水：廣州市越秀區署前路小學 廣東廣州510080 責任編輯：李士飛）

《圓的周長》是人教版義務教育課程六年級上冊第四單元 《圓》第二節的內容。從單元編排上看，第四單元知識內容分為三部分：認識圓、圓周長、圓面積，本課時既是對圓認識的繼續深化，又為圓面積的研究奠定基礎。從“周長”知識體系編排上看，本課時是在三年級上冊學習了周長的一般概念以及長方形、正方形周長計算的基礎上做進一步研究。學生從學習直線圖形到學習曲線圖形，不論是內容還是研究問題的方法，都有所變化。教材通過對圓周長的研究，使學生初步認識研究曲線圖形的基本方法，同時滲透“化曲為直”的轉化思想和“類比猜想”的合情推理方法。

一、學生已有的知識經驗

學生在三年級已經學習了周長的意義及測量周長的方法，有計算直線圖形周長的知識基礎，對曲線圖形的周長也有較為深刻的認識，因此學生對于理解圓周長的意義、測量圓周長的方法都具有較豐富的認知經驗。他們樂于接受化曲為直的數學思想，通過引導基本能夠運用滾圓法、繞繩法等方法測量圓周長。

但六年級學生思維仍處于以具體形象思維為主的階段，其抽象邏輯能力和合情推理能力還處于發展之中，學生往往缺乏思維的自覺性，缺乏主動調度相關舊知，自主遷移類推知識方法的能力。

對于推導圓周長計算公式而言，雖然學生認知結構中已有“封閉平面圖形的周長可能與其圖形內的某些線段具有倍數關系”的數學觀念，“長方形、正方形的周長與其圖形內的某些線段具有倍數關系”這一類比原型與方法例證，通過類比由加法交換律推導出乘法交換律、由加法結合律推導出乘法結合律的實踐經驗基礎，以及學生畫圓時所獲得的舊知——“半徑、直徑決定圓的大小，半徑、直徑越長，圓的周長就越長，面積就越大”的知識經驗，但就大多數學生而言，要求其借助類比猜想，在探索圓周長計算公式的過程中有意識地從“圓周長與什么有關”、“為什么要研究圓的周長與直徑關系”、“周長與直徑有什么關系”三個核心問題切入開展自主探究，進而理解圓周率的意義常常存在較大的困難。因此，教師在教學中要給學生提供必要的指導，以幫助學生進行探究。

二、運用矛盾運動規律學習新知

小學生學習數學的過程，其實質是一種矛盾運動，是學生發現矛盾、分析矛盾、解決矛盾的過程。學生學習新知識，當原有的知識、技能、方法不能解決面臨的新數學現象、數學問題時，矛盾就出現了，從而產生認知沖突。這時，學生就會產生強烈的學習需要與求知欲望，從而充分調動相關舊知來解決問題。而當問題解決后，新問題會隨之出現。瑞士著名心理學家皮亞杰就曾經指出：“任何認識，在解決了前面的問題后，又會提出新的問題。”

基于這一認識，本課采取了以下的教學策略：在“呈現矛盾—分析矛盾—解決矛盾”的過程中，激發學生的學習需要與求知欲。在“分析矛盾—解決矛盾”的過程中，滲透數學思想方法，培養學生初步邏輯思維能力和合情推理能力。把教學過程看作是“呈現矛盾—分析矛盾—解決矛盾”的過程。教學時注意創設問題情景，適時呈現矛盾，讓學生在“沖突—平衡—再沖突—再平衡”的循環往復心理過程中，積極主動地參與知識的發生、形成與發展過程，提高分析問題和解決問題的能力，發展學生的空間觀念，拓展學生的認知結構。

（一）創設情境，建立概念

創設問題情境，激發學生的求知欲望，并通過摸、指、描等體驗活動，充分地建立圓周長概念。

首先，呈現問題情境：喜羊羊和灰太狼來到草地上跑步比賽，灰太狼是沿著正方形的花壇跑；喜羊羊沿著圓形的花壇跑。學生自然明確，灰太狼所跑的路程是正方形的周長，是我們已經學過的知識；喜羊羊所跑的路程是圓的周長，是我們本節課要研究的知識，揭示課題。其次，讓學生感受新知識。讓學生拿出圓形學具看一看、摸一摸、說一說、描一描圓周長，體會圓的周長的含義。

（二）實驗探究，獲取新知

新授環節以“呈現矛盾—分析矛盾—解決矛盾”為教學主線，在發現矛盾到解決矛盾的過程中，突出教學重點、突破教學難點。

1.測量實驗，產生需要

在測量法的教學環節中，通過提供的典型材料，讓學生體會到有的圓可以用“繞繩法”或“滾動法”等方法來測量出它的周長，滲透了“化曲為直”的數學思想方法。但同時也認識到“繞繩”、“滾動”等測量方法的局限性，引發其探索研究“計算公式”的必要性，使之帶著問題學習新知識，探索解決問題的方法與途徑，實現認知平衡。

2.再次實驗，探究新知

圓周率是探究圓周長計算公式的中介點，它既反映了圓周長與直徑的關系，同時利用圓周率，可以求出周長，因此理解圓周率的意義及其價值是推導計算公式的關鍵。在本環節，我設計了導向明確的問題，使學生再次經歷呈現矛盾—分析矛盾—解決矛盾的過程，經歷自主探究新知的學習過程。當學生在探索圓周長計算公式之時，直線圖形周長的研究方法與曲線圖形周長的研究方法不同，怎樣尋找圓周長的計算公式？新的矛盾再次產生，這時可以適時地啟發學生借助直線圖形周長的規律：直線圖形的周長與其圖形內的某些線段存在倍數關系，由此類比：圓周長與直徑是否也存在倍比關系？再次引發學生的認知沖突，指引探究的方向。

首先，我讓學生想一想：圓周長與什么有關？引導學生回憶：畫圓的時候，半徑決定圓的大小，在同圓中直徑是半徑的2倍，所以圓的周長與圓的半徑和直徑都有關系，先研究周長和直徑的關系。

第二步，我向學生拋出“圓的周長和直徑有什么關系？”這一獲取新知的核心矛盾，引導學生類比猜想：長方形的周長是它長加寬的和的2倍，正方形的周長是它邊長的4倍，學生可能會猜想出圓的周長與直徑之間可能也存在這樣的倍數關系。那么圓的周長與直徑的比值會不會是一個固定不變的數呢？板書：C÷d=□。

第三步是引導學生猜想，通過幾何推理確定周長與直徑關系比值的范圍 （如下圖）。

第四步是運用數據驗證推理。學生四人小組分工合作，測量出圓周長，用計算器計算比值，并填寫完成下表。

測量對象 圓的周長 圓的直徑 周長與直徑的比值圓1圓2圓3

學生實驗后并匯報周長與直徑的比值，發現：圓的周長是直徑的3倍多一些。由于測量周長、直徑時，總存在測量的誤差，因此難以找到圓周長與直徑的確切比值，怎樣才能找到它們的比值呢？

第五步是介紹劉徽的“割圓術”，讓學生體會隨著圓內接多邊形的邊數增加，多邊形周長近似于圓周長，滲透極限的數學思想；介紹祖沖之的圓周率，認識圓周率是一個無限不循環小數，用π來表示。并借數學文化激發學生的愛國情懷，培養民族自豪感。

第六步是推導出圓周長的計算公式：我們知道C÷d=π，所以可以推導出C=πd或C=2πr。

（三）多層練習，鞏固新知

練習設計分為四個層次：第一層次是基本練習，安排運用公式計算圓的周長的題目，反饋學生對新知識的掌握情況。第二層次是安排兩道看圖求周長的題目，再次運用公式計算圓的周長，鞏固新知，形成技能。第三層次是選擇題，鞏固圓周率的概念，知道π是一個無限不循環的小數；理解圓周率是一個定值，不受圓大小的影響；利用圓周率的近似值進行估算，體現解決問題的靈活性。第四層次是利用所學知識解決實際問題。包括：直接利用計算公式解決問題；利用計算公式解決變式練習；計算公式的逆向運用，培養學生逆向思維。

整個教學過程是以邏輯嚴密的數學問題為主線，以學生的學習認知基礎為出發點，適時地創設問題情境，使學生經歷多次“呈現矛盾—分析矛盾—解決矛盾”的過程，讓學生在“沖突—平衡—再沖突—再平衡”的循環往復心理過程中，積極主動地參與知識的發生、形成與發展過程，提高分析問題和解決問題的能力，發展學生的空間觀念，拓展學生的認知結構。