高等代數中替換定理的一種證明

蔣紅梅

（四川文理學院 數學與財經學院，四川 達州 635000）

高等代數是師范院校本專科學生必修的一門基礎數學課。通過本課程的教學，學生要掌握基本理論、基本方法和基本技能，培養學生的科學思維、邏輯推理、運算能力及高觀點處理中學教材的能力。教師在定理的教學中，不僅要講清定理內容，而且要講清定理的證明和應用，以便學生深刻理解定理內容。替換定理是《高等代數》中一個十分重要的基本定理。《高等代數》是對向量的個數r作數學歸納法，應用向量等價理論證明此定理，兩個結論同時證明，證明過程清楚明了，但證明篇幅較長；在高等代數中，證明篇幅雖然很短，但初學者理解起來有些困難，而且學生很難理解其證明過程，最終將導致學生失去學習興趣。本文將利用線性方程組和矩陣的相關理論給出替換定理的另一個證明，力求給出該定理的比較簡潔的證明過程，便于學生理解。

一、預備知識

定理1：若含有n個未知量的非齊次線性方程組有解，且其系數矩陣A的秩為r，那么當r=n時，此方程有唯一解，當r＜n時，此方程有無窮多解。定理2：（替換定理）設向量組{α1，α2，…，αr}（1）線性無關，并且它可由向量組{β1，β2，…，βS}（2）線性表示。那么r≤s，并且必要時可以對（2）中向量重新編號，使得{α1，α2，…，αr}替換{β1，β2，…，βS}后，所得到的向量組{α1，α2，…，αr，βr+1，βr+2，…，βS}（3）與（2）等價。

二、替換定理的證明

通過線性方程理論和矩陣理論的學習后，應用此理論給出替換定理的證明。證明：∵α1，α2，…，αr線性無關，∴當且僅當數k1=k2=…=kr=0時，使k1α1+k2α2+…+krαr=0成立.∵（1）可以由（2）線性表示，即：

方程組（4）可視為關于β1，β2，…，βs的廣義的非齊次線性方程組，其中aij為未知量的系數，i=1，2，…r.j=1，2，…，s。此方程組有非零解，否則{α1，α2，…，αr}線性相關。設方程組（4）的系數矩陣為A，增廣矩陣為A，當方程組有唯一解時，r（A）=r（A）=s=r，當方程組有無窮多解時，r（A）=r（A）≤r＜s。因此，r≤s。設方程組（4）的系數矩陣A的秩為t（t=r≤s），方程組（4）的增廣矩陣（Ab）經過初等行變換可化為：

當r=s時，方程組（5）中不含有變量βr+1，…，βS，方程組（5）

化為

從方程組（6）可知向量組{β1，β2，…，βS}可由向量組{α1，α2，…，αs}線性表示，而向量組{α1，α2，…，αs}也可由向量組{β1，β2，…，βS}線性表示，因此向量組（2）與向量組（3）等價。當r＜s時，方程組（5）可化為

從方程組（7）可知向量組{β1，β2，…，βS}可由向量組{α1，α2，…，αr，βr+1，βr+2，…，βS}線性表示，而向量組{α1，α2，…，αr，βr+1，βr+2，…，βS}也可由向量組{β1，β2，…，βS}線性表示，因此向量組（2）與向量組（3）等價。

不同的高等代數教材中，證明替換定理的方法不一樣，在高等代數的教學中，將替換定理的不同證明方法介紹給學生，有助于學生對定理的理解和知識的應用。在高等代數中，替換定理安排在第二章第5節——向量及其線性相關性，在學習第三章——線性方程組后，用此方法證明定理能讓學生簡潔易懂，便于培養學生學習的興趣。當然，我們也可以提出某種方法讓學生獨立或分組討論，從而達到以學致用的目的，提高學生自主探求學習的能力。

[1]廖家藩.高等代數[M].成都：電子科技大學出版社，1995.

[2]郭衛舵，龍德明.高等代數[M].成都：成都科技大學出版社，1997.

[3]徐德余.高等代數[M].成都：四川大學出版社，2002.

[4]徐德余.線性方程組理論在高等代數中的應用[J].綿陽師范學院報，2008，（11）：6-11.

[5]北京大學數學系幾何與代數教研室前代數小組.高等代數（三版）[M].北京：高等教育出版社，2000.