一個(gè)反正切公式和它的應(yīng)用

朱路進(jìn)　貝淑坤　劉春平

摘 要：首先給出了一個(gè)反正切相減公式，然后研究了一類通項(xiàng)用反正切表示的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，應(yīng)用反正切相減公式，給出了求這類級(jí)數(shù)和的一般方法。

關(guān)鍵詞：反正切相減公式 通項(xiàng) 級(jí)數(shù)的和

中圖分類號(hào)：O174.66 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2014）04（c）-0209-01

在中學(xué)和大學(xué)教科書[1-3]中，有如下幾道習(xí)題：

題1.若，求

題2.求級(jí)數(shù)的和.

題3.求級(jí)數(shù)的和.

這幾題均是利用“拆項(xiàng)相消”的方法進(jìn)行求解的.對(duì)題1，注意到

（1）

聯(lián)想一下兩角差的正切公式，易知應(yīng)作“拆項(xiàng)”

（2）

在教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生反映這種技巧他們也能夠想到，但對(duì)文獻(xiàn)[2]給出的關(guān)于題2的“拆項(xiàng)”提示：

（3）

學(xué)生普遍反映不易想到.觀察題1-題3，可見(jiàn)它們的通項(xiàng)均為其中是二次三項(xiàng)式.一個(gè)自然的問(wèn)題是：對(duì)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

（4）

能否用“拆項(xiàng)相消”的方法求和？如果能，又該怎樣“拆項(xiàng)”？本文將對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行探討.

首先，我們給出一個(gè)反正切相減公式，即

定理1 如果是定義在I上的非負(fù)函數(shù)，則

（5）

證明： 因?yàn)楣?/p>

（6）

從而

（7）

注意到

故有

下面，我們討論級(jí)數(shù)（4）能夠“拆項(xiàng)相消”的條件.因?yàn)?/p>

如果級(jí)數(shù)（4）能用“拆項(xiàng)相消”的方法求和，則存在正整數(shù)m，使得

（9）

根據(jù)公式（5），令

（10）

解方程組（10）得

（11）

且

（12）

將代入（12），并令的系數(shù)為零，得

（13）

從而得到

定理2 如果方程

（14）

有整數(shù)解，則級(jí)數(shù)（4）可用拆項(xiàng)相消的方法求和.且“拆項(xiàng)”方法為

（15）

其中

（16）

利用定理2，我們很容易求解題2～題3.

題2 將.代入（14）式，得

（17）

易知（17）有整數(shù)解.再由（16）式得由

知級(jí)數(shù)的和為

題3 將代入（14），得

（18）

易知（18）有整數(shù)解.由（16）式得注意到（8）式，可知

故級(jí)數(shù)的和為

參考文獻(xiàn)

[1] 周敏澤.中國(guó)華羅庚學(xué)校數(shù)學(xué)課本（高一年級(jí)）[M].吉林：吉林教育出版社，2002：134.

[2] 孫清華，孫昊.數(shù)學(xué)分析疑難分析與解題方法（下冊(cè)）[M].武漢：華中科技大學(xué)出版社，2009-10.

[3] 郝彥.數(shù)學(xué)分析習(xí)題課指導(dǎo)書[M].浙江：浙江大學(xué)出版社，2009：127.endprint

摘 要：首先給出了一個(gè)反正切相減公式，然后研究了一類通項(xiàng)用反正切表示的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，應(yīng)用反正切相減公式，給出了求這類級(jí)數(shù)和的一般方法。

關(guān)鍵詞：反正切相減公式 通項(xiàng) 級(jí)數(shù)的和

中圖分類號(hào)：O174.66 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2014）04（c）-0209-01

在中學(xué)和大學(xué)教科書[1-3]中，有如下幾道習(xí)題：

題1.若，求

題2.求級(jí)數(shù)的和.

題3.求級(jí)數(shù)的和.

這幾題均是利用“拆項(xiàng)相消”的方法進(jìn)行求解的.對(duì)題1，注意到

（1）

聯(lián)想一下兩角差的正切公式，易知應(yīng)作“拆項(xiàng)”

（2）

在教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生反映這種技巧他們也能夠想到，但對(duì)文獻(xiàn)[2]給出的關(guān)于題2的“拆項(xiàng)”提示：

（3）

學(xué)生普遍反映不易想到.觀察題1-題3，可見(jiàn)它們的通項(xiàng)均為其中是二次三項(xiàng)式.一個(gè)自然的問(wèn)題是：對(duì)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

（4）

能否用“拆項(xiàng)相消”的方法求和？如果能，又該怎樣“拆項(xiàng)”？本文將對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行探討.

首先，我們給出一個(gè)反正切相減公式，即

定理1 如果是定義在I上的非負(fù)函數(shù)，則

（5）

證明： 因?yàn)楣?/p>

（6）

從而

（7）

注意到

故有

下面，我們討論級(jí)數(shù)（4）能夠“拆項(xiàng)相消”的條件.因?yàn)?/p>

如果級(jí)數(shù)（4）能用“拆項(xiàng)相消”的方法求和，則存在正整數(shù)m，使得

（9）

根據(jù)公式（5），令

（10）

解方程組（10）得

（11）

且

（12）

將代入（12），并令的系數(shù)為零，得

（13）

從而得到

定理2 如果方程

（14）

有整數(shù)解，則級(jí)數(shù)（4）可用拆項(xiàng)相消的方法求和.且“拆項(xiàng)”方法為

（15）

其中

（16）

利用定理2，我們很容易求解題2～題3.

題2 將.代入（14）式，得

（17）

易知（17）有整數(shù)解.再由（16）式得由

知級(jí)數(shù)的和為

題3 將代入（14），得

（18）

易知（18）有整數(shù)解.由（16）式得注意到（8）式，可知

故級(jí)數(shù)的和為

參考文獻(xiàn)

[1] 周敏澤.中國(guó)華羅庚學(xué)校數(shù)學(xué)課本（高一年級(jí)）[M].吉林：吉林教育出版社，2002：134.

[2] 孫清華，孫昊.數(shù)學(xué)分析疑難分析與解題方法（下冊(cè)）[M].武漢：華中科技大學(xué)出版社，2009-10.

[3] 郝彥.數(shù)學(xué)分析習(xí)題課指導(dǎo)書[M].浙江：浙江大學(xué)出版社，2009：127.endprint

摘 要：首先給出了一個(gè)反正切相減公式，然后研究了一類通項(xiàng)用反正切表示的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，應(yīng)用反正切相減公式，給出了求這類級(jí)數(shù)和的一般方法。

關(guān)鍵詞：反正切相減公式 通項(xiàng) 級(jí)數(shù)的和

中圖分類號(hào)：O174.66 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2014）04（c）-0209-01

在中學(xué)和大學(xué)教科書[1-3]中，有如下幾道習(xí)題：

題1.若，求

題2.求級(jí)數(shù)的和.

題3.求級(jí)數(shù)的和.

這幾題均是利用“拆項(xiàng)相消”的方法進(jìn)行求解的.對(duì)題1，注意到

（1）

聯(lián)想一下兩角差的正切公式，易知應(yīng)作“拆項(xiàng)”

（2）

在教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生反映這種技巧他們也能夠想到，但對(duì)文獻(xiàn)[2]給出的關(guān)于題2的“拆項(xiàng)”提示：

（3）

學(xué)生普遍反映不易想到.觀察題1-題3，可見(jiàn)它們的通項(xiàng)均為其中是二次三項(xiàng)式.一個(gè)自然的問(wèn)題是：對(duì)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

（4）

能否用“拆項(xiàng)相消”的方法求和？如果能，又該怎樣“拆項(xiàng)”？本文將對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行探討.

首先，我們給出一個(gè)反正切相減公式，即

定理1 如果是定義在I上的非負(fù)函數(shù)，則

（5）

證明： 因?yàn)楣?/p>

（6）

從而

（7）

注意到

故有

下面，我們討論級(jí)數(shù)（4）能夠“拆項(xiàng)相消”的條件.因?yàn)?/p>

如果級(jí)數(shù)（4）能用“拆項(xiàng)相消”的方法求和，則存在正整數(shù)m，使得

（9）

根據(jù)公式（5），令

（10）

解方程組（10）得

（11）

且

（12）

將代入（12），并令的系數(shù)為零，得

（13）

從而得到

定理2 如果方程

（14）

有整數(shù)解，則級(jí)數(shù)（4）可用拆項(xiàng)相消的方法求和.且“拆項(xiàng)”方法為

（15）

其中

（16）

利用定理2，我們很容易求解題2～題3.

題2 將.代入（14）式，得

（17）

易知（17）有整數(shù)解.再由（16）式得由

知級(jí)數(shù)的和為

題3 將代入（14），得

（18）

易知（18）有整數(shù)解.由（16）式得注意到（8）式，可知

故級(jí)數(shù)的和為

參考文獻(xiàn)

[1] 周敏澤.中國(guó)華羅庚學(xué)校數(shù)學(xué)課本（高一年級(jí)）[M].吉林：吉林教育出版社，2002：134.

[2] 孫清華，孫昊.數(shù)學(xué)分析疑難分析與解題方法（下冊(cè)）[M].武漢：華中科技大學(xué)出版社，2009-10.

[3] 郝彥.數(shù)學(xué)分析習(xí)題課指導(dǎo)書[M].浙江：浙江大學(xué)出版社，2009：127.endprint