一個反正切公式和它的應用
2014-11-10 05:21:22朱路進貝淑坤劉春平
科技創新導報 2014年12期
朱路進 貝淑坤 劉春平
摘 要：首先給出了一個反正切相減公式，然后研究了一類通項用反正切表示的數項級數，應用反正切相減公式，給出了求這類級數和的一般方法。
關鍵詞：反正切相減公式 通項 級數的和
中圖分類號：O174.66 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）04（c）-0209-01
在中學和大學教科書[1-3]中，有如下幾道習題：
題1.若，求
題2.求級數的和.
題3.求級數的和.
這幾題均是利用“拆項相消”的方法進行求解的.對題1，注意到
（1）
聯想一下兩角差的正切公式，易知應作“拆項”
（2）
在教學過程中，學生反映這種技巧他們也能夠想到，但對文獻[2]給出的關于題2的“拆項”提示：
（3）
學生普遍反映不易想到.觀察題1-題3，可見它們的通項均為其中是二次三項式.一個自然的問題是：對數項級數
（4）
能否用“拆項相消”的方法求和？如果能，又該怎樣“拆項”？本文將對此問題進行探討.
首先，我們給出一個反正切相減公式，即
定理1 如果是定義在I上的非負函數，則
（5）
證明： 因為故
（6）
從而
（7）
注意到
故有
下面，我們討論級數（4）能夠“拆項相消”的條件.因為
如果級數（4）能用“拆項相消”的方法求和，則存在正整數m，使得
（9）
根據公式（5），令
（10）
解方程組（10）得
（11）
且
（12）
將代入（12），并令的系數為零，得
（13）
從而得到
定理2 如果方程
（14）
有整數解，則級數（4）可用拆項相消的方法求和.且“拆項”方法為
（15）
其中
（16）
利用定理2，我們很容易求解題2～題3.
題2 將.代入（14）式，得
（17）
易知（17）有整數解.再由（16）式得由
知級數的和為
題3 將代入（14），得
（18）
易知（18）有整數解.由（16）式得注意到（8）式，可知
故級數的和為
參考文獻
[1] 周敏澤.中國華羅庚學校數學課本（高一年級）[M].吉林：吉林教育出版社，2002：134.
[2] 孫清華，孫昊.數學分析疑難分析與解題方法（下冊）[M].武漢：華中科技大學出版社，2009-10.
[3] 郝彥.數學分析習題課指導書[M].浙江：浙江大學出版社，2009：127.endprint
摘 要：首先給出了一個反正切相減公式，然后研究了一類通項用反正切表示的數項級數，應用反正切相減公式，給出了求這類級數和的一般方法。
關鍵詞：反正切相減公式 通項 級數的和
中圖分類號：O174.66 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）04（c）-0209-01
在中學和大學教科書[1-3]中，有如下幾道習題：
題1.若，求
題2.求級數的和.
題3.求級數的和.
這幾題均是利用“拆項相消”的方法進行求解的.對題1，注意到
（1）
聯想一下兩角差的正切公式，易知應作“拆項”
（2）
在教學過程中，學生反映這種技巧他們也能夠想到，但對文獻[2]給出的關于題2的“拆項”提示：
（3）
學生普遍反映不易想到.觀察題1-題3，可見它們的通項均為其中是二次三項式.一個自然的問題是：對數項級數
（4）
能否用“拆項相消”的方法求和？如果能，又該怎樣“拆項”？本文將對此問題進行探討.
首先，我們給出一個反正切相減公式，即
定理1 如果是定義在I上的非負函數，則
（5）
證明： 因為故
（6）
從而
（7）
注意到
故有
下面，我們討論級數（4）能夠“拆項相消”的條件.因為
如果級數（4）能用“拆項相消”的方法求和，則存在正整數m，使得
（9）
根據公式（5），令
（10）
解方程組（10）得
（11）
且
（12）
將代入（12），并令的系數為零，得
（13）
從而得到
定理2 如果方程
（14）
有整數解，則級數（4）可用拆項相消的方法求和.且“拆項”方法為
（15）
其中
（16）
利用定理2，我們很容易求解題2～題3.
題2 將.代入（14）式，得
（17）
易知（17）有整數解.再由（16）式得由
知級數的和為
題3 將代入（14），得
（18）
易知（18）有整數解.由（16）式得注意到（8）式，可知
故級數的和為
參考文獻
[1] 周敏澤.中國華羅庚學校數學課本（高一年級）[M].吉林：吉林教育出版社，2002：134.
[2] 孫清華，孫昊.數學分析疑難分析與解題方法（下冊）[M].武漢：華中科技大學出版社，2009-10.
[3] 郝彥.數學分析習題課指導書[M].浙江：浙江大學出版社，2009：127.endprint
摘 要：首先給出了一個反正切相減公式，然后研究了一類通項用反正切表示的數項級數，應用反正切相減公式，給出了求這類級數和的一般方法。
關鍵詞：反正切相減公式 通項 級數的和
中圖分類號：O174.66 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）04（c）-0209-01
在中學和大學教科書[1-3]中，有如下幾道習題：
題1.若，求
題2.求級數的和.
題3.求級數的和.
這幾題均是利用“拆項相消”的方法進行求解的.對題1，注意到
（1）
聯想一下兩角差的正切公式，易知應作“拆項”
（2）
在教學過程中，學生反映這種技巧他們也能夠想到，但對文獻[2]給出的關于題2的“拆項”提示：
（3）
學生普遍反映不易想到.觀察題1-題3，可見它們的通項均為其中是二次三項式.一個自然的問題是：對數項級數
（4）
能否用“拆項相消”的方法求和？如果能，又該怎樣“拆項”？本文將對此問題進行探討.
首先，我們給出一個反正切相減公式，即
定理1 如果是定義在I上的非負函數，則
（5）
證明： 因為故
（6）
從而
（7）
注意到
故有
下面，我們討論級數（4）能夠“拆項相消”的條件.因為
如果級數（4）能用“拆項相消”的方法求和，則存在正整數m，使得
（9）
根據公式（5），令
（10）
解方程組（10）得
（11）
且
（12）
將代入（12），并令的系數為零，得
（13）
從而得到
定理2 如果方程
（14）
有整數解，則級數（4）可用拆項相消的方法求和.且“拆項”方法為
（15）
其中
（16）
利用定理2，我們很容易求解題2～題3.
題2 將.代入（14）式，得
（17）
易知（17）有整數解.再由（16）式得由
知級數的和為
題3 將代入（14），得
（18）
易知（18）有整數解.由（16）式得注意到（8）式，可知
故級數的和為
參考文獻
[1] 周敏澤.中國華羅庚學校數學課本（高一年級）[M].吉林：吉林教育出版社，2002：134.
[2] 孫清華，孫昊.數學分析疑難分析與解題方法（下冊）[M].武漢：華中科技大學出版社，2009-10.
[3] 郝彥.數學分析習題課指導書[M].浙江：浙江大學出版社，2009：127.endprint
