虛功原理法和割補法在繩索（或鏈條）的平衡問題中的比較

馮強

摘 要： 靜力學問題在物理學中是難點問題，虛功原理法和割補法是解決靜力學問題的兩種重要方法。本文通過對處于平衡態的繩索（或鏈條）問題的研究，嘗試對這兩種方法進行比較，同時對處于平衡態的繩索（或鏈條）問題得出結論。

關鍵詞： 虛功原理法 割補法 繩索（或鏈條）問題

如圖1所示，一根2m長的棒，一端被支撐著，在棒的中間有一個60N的重物，離支點0.5m處還有一個100N的重物。假如不考慮棒的重量，為了保持它的平衡，我們要在棒的另一端加多大的力？假設在棒的另一端放上一個滑輪，并在滑輪上懸掛一個重物W，為了使棒平衡，W應該是多重？我們設想W落下任意一段距離，為了簡便起見，設它下降了4cm，那么這兩個重物要升高多少呢？棒的中心升高了2cm，而離固定端0.5m處的那一點升高了1cm，所以，各個重物與高度的乘積之和不變。這個原理告訴我們，W乘以下降的4cm，加上60N乘以升高的2cm，再加上100N乘以升高的1cm，其和必定是零

-4W+2×60+1×100=0，W=55N

這就是說，為了使棒平衡，必須加上一個55N的重物。用這種方法，我們可以得出“平衡”定律——復雜的橋梁建筑的靜力學等。這種處理物體的方法稱為“虛功原理”，該原理是由伯努利首先提出的。因為為了進行這種論證，我們必須“設想”系統移動一下——即使它實際上沒有移動，甚至不能移動[1]。下面我們討論這個原理在繩索（或鏈條）的平衡問題中的幾個應用。

例1：如圖2所示，一個半徑為R的四分之一光滑柱面置于水平桌面上。球面上有一條光滑勻質鐵鏈，一端固定于球面頂點A，另一端恰好與桌面不接觸，且單位長度鐵鏈的質量為ρ，求鐵鏈A端所受的拉力。

解法一：虛功原理法

如圖3所示，設將鐵鏈B端延長Δx，則A端所受拉力F不變，設在A端拉力F作用下鐵鏈移動了距離Δx，則拉力做的功為

W■=FΔx

鐵鏈的重力勢能改變為ΔE■=ρΔxgR，相當于B端的Δx的一段搬到了A端。按照功能原理：拉力的功等于鐵鏈重力勢能的改變量，W■=ΔEP，

即FΔx=ρΔxgR

∴F=ρgR

解法二：割補法

如圖4所示，將四分之一光滑柱面懸空，將鐵鏈如圖補充完整，然后用光滑水平面把OB段給頂起來，則O點和B點的拉力必為零，A點的拉力F就等于AO段鐵鏈的重力，即

F=ρgR

討論：1.上式說明，A點的拉力F，也即A、B兩點的拉力之差就等于相當于A、B兩點的高度差R（亦即AO）那段鐵鏈的重量。

2.虛功原理解法奇特，但割補法解題同樣奇妙。

例2：均勻的不可伸長的繩子，其兩端懸掛在A、B兩點，B點比A點高h（圖5）。在A點繩子張力為T■，求在B點繩子的張力。繩子的質量為m，繩長為l。

解法一：虛功原理法

假設我們在A點存有一段繩子。在A點放下長為Δl的一小段繩子，與此同時在B點抽出同樣長度Δl的繩子，顯然，這時要做功，所做的功等于（T■-T■）Δl，式中T■和T■分別是在B點和A點處繩子的張力。這個功用于將質量mΔl/l這段繩子提高h時勢能的變化。根據功能原理

mg■h=（T■-T■）Δl

因此得到

T■=T■+mgh/l

解法二：填補法

用長為L的光滑斜面放在A、B兩點，加段繩子沿著這個斜面將繩子接通（圖6）。當然整段繩子應當處于平衡。躺在斜面上的這段繩子是由于在B點與A點處繩子的張力差而維持平衡

T■-T■=■g■

∴T■=T■+■

討論：1.上式再次說明B、A兩點的張力之差就等于B、A兩點高度差h的一段繩子的重力。

2.兩種解法同樣奇妙。

例3：質量為m、長度為l的均勻光滑粗繩，穿過半徑為R的光滑滑輪并搭在輪上（圖7），求繩上最大張力。

解法一：虛功原理法

設繩子下端據滑輪中心的豎直高度為x，則有

l=2x+πR 即x=（l-πR）/2

顯然繩子中的最大張力出現在滑輪頂端，將繩子下端緊挨光滑水平面，并用長為2R的繩子將下端連起來，如圖8所示。滑輪頂端繩子張力應該不變，設為T■，假設繩子逆時針轉過Δl，則T■做功為T■Δl，按功能關系，它就應該等于把長度為Δl的一段繩子由水平面移到滑輪頂端重力勢能的增量，■mg（x+R）。即

T■Δl=■mg（x+R）=■mg（■+R）=■mg■

故T■=■mg

解法二：割補法

如圖9所示，將滑輪改為半徑相同的光滑半圓柱體且固定，讓右端繩子長度保持不變（即保持x不變），左端多余繩子剪掉，使下端對齊，則繩子一定處于平衡狀態，最大張力T■出現在半圓柱體頂端且等于左側部分繩子的重力，因為繩子端點到滑輪頂端的豎直高度是

h=x+R=（1-πR）/2+R=■

故T■=■h=■mg

討論：兩種解法都同樣奇妙，同樣精彩。

例4：玩具列車由許多節車廂組成。它以恒定速度沿光滑水平軌道行駛，進入“死圈”（圖10），列車全長為L，圈的半徑為R（R比車廂長得多，但L>2πR）。試問列車應具有多大的初速度，才能防止險情，不讓一節車廂脫離翻圈軌道？

圖10

解法一：虛功原理法：

設列車質量為M，初速為v■，隨著進入“死圈”，列車速度減慢，當“死圈”整個擠滿一節節車廂（而后來也不變化時），列車速度達到最小值v。據機械能守恒定律

■=■+ΔMgR ①

式中ΔM是位于“死圈”上的所有車廂的質量，其值為

ΔM=■·2πR ②

“死圈”上的車廂受到軌道的支持力作用，最小壓力出現在“死圈”的頂點。要不讓一節車廂脫離圈，在這極限情況下車廂對軌道壓力為零。這時每節車廂受到重力mg（m是每節車廂質量）和兩節相鄰車廂間掛鉤的拉力T（圖11）。這兩個力的合力豎直向下，使車廂具有必要的向心加速度v■/R，設“死圈”上每節車廂對圓心張角為α，則有

2Tsin■+mg=m■

圖11 圖12

這里考慮α角很小，α=l/R（l為每節車廂的長度），用此角代替它的正弦。注意m=（l/L）M=（αR/L）M（忽略兩相鄰車廂之間的間隔），于是前一方程可改寫成

T+■Mg=M■ ②

現在我們求拉力。討論聚集在“死圈”上的部分車廂（圖12）。假設這部分車廂移動一小段距離Δx，則力T做功W=TΔx，但是由于列車速度不變，這個功應該等于質量為Δm的車廂上升到高為2R處其勢能的變化，Δm是長為Δx所對應的車廂質量，Δm=（■）Δx，因此

TΔx=■Δx·g·2R，即T=■ ③

解①、②和③式，得到所求列車的初速度

v■=■。[2]

解法二：割補法

其他步驟與虛功原理解法相同，關鍵是③式的得出思路不一樣。如圖13，若把列車看做是一串光滑鐵鏈，把“死圈”改為如圖所示的半圓形“光滑管道”（其拐角處有一段極小圓弧），則“死圈”右半段鐵鏈受力情況不變，因為此時鐵鏈做勻速運動，所以其中張力應與其速度無關，假設速度很小（趨于零），則“死圈”中最高點張力就應該等于對應的豎直直徑的一段鏈條的重力。即

T=■2Rg=■

與③式相同。

結論：1.在繩索（鏈條）問題中，如果沒有摩擦，且繩索（鏈條）處于平衡狀態（靜止或勻速），則繩索（鏈條）中任意兩點A、B的張力之差就等于相當于這兩點高度差的一段繩索（鏈條）的重力。

2.在解決靜力學的鏈條問題中，虛功原理法和填補法同樣簡單、奇妙，各有千秋。

3.提高學生能力的一種重要方式就是一題多解，多一種方法就多一分能力，因此我認為在物理教學中適當介紹虛功原理和割補法很有必要。

參考文獻：

[1][美]費恩曼.費恩曼物理學講義.上海科學技術出版社，2006：37-38.

[2]劉海生.俄羅斯中學物理競賽試題精編.南京師范大學出版社，2005：153-154.