基于顧客服務(wù)水平的物流網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問題

單而芳，孫廣帥（上海大學(xué) 管理學(xué)院，上海 200444）

0 引言

物流網(wǎng)絡(luò)設(shè)計問題是供應(yīng)鏈設(shè)計中的一個主要問題。以往研究物流網(wǎng)絡(luò)設(shè)計問題的文獻(xiàn)主要將物流網(wǎng)絡(luò)設(shè)計問題分為三個層面，即戰(zhàn)略層面、策略層面和運營層面。從戰(zhàn)略和策略層面上來研究，Miller[1]利用一個混合整數(shù)規(guī)劃模型解決了鐵路網(wǎng)絡(luò)選址的最優(yōu)化問題；Crainic[2]利用數(shù)學(xué)規(guī)劃的方法做了一個內(nèi)部服務(wù)網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)化設(shè)計；Melkote和Daskin[3]使用混合整數(shù)規(guī)劃將設(shè)施選址的問題和網(wǎng)絡(luò)設(shè)計問題結(jié)合在一起；Drezner和Wesolowsky[4]運用啟發(fā)式算法介紹了一種確定設(shè)施連接的網(wǎng)絡(luò)設(shè)計問題；高陽和李雪[5]針對逆向物流網(wǎng)絡(luò)的多目標(biāo)和回收廢舊品數(shù)量的不確定性，建立了隨機多目標(biāo)規(guī)劃模型；廖偉和潘瑤[6]考慮碳的成本和環(huán)境雙重因素，建立起碳交易下的低碳銷售物流網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化模型；伍星華和王旭[7]以再制造閉環(huán)物流網(wǎng)絡(luò)設(shè)計為研究對象，以總運營收益最大為目標(biāo)，建立了再制造閉環(huán)物流網(wǎng)絡(luò)的同周期優(yōu)化設(shè)計模型。然而，隨著對于物流網(wǎng)絡(luò)的逐漸深入的研究，學(xué)者們考慮更多的是將戰(zhàn)略、策略層面與運營層面相結(jié)合，從單一的物流網(wǎng)絡(luò)路線設(shè)計問題轉(zhuǎn)為對物流網(wǎng)絡(luò)設(shè)計和商品運輸、加工處理、倉儲以及銷售相結(jié)合的問題上來。例如：Jayaraman[8]在FLP結(jié)構(gòu)中加入了EOQ庫存模型和采購成本（假設(shè)庫存有確定的批量和確定的需求）；Nozick和Turnquisk[9]提出了一個關(guān)于完全庫存成本的線性函數(shù)，并將其作為設(shè)置分配中心的函數(shù)；Daskin，Coullard和Shen[10]，Miranda和Garrido[11]發(fā)表了相似的FLP模型關(guān)于庫存控制決策的文獻(xiàn)；Miranda和Rarrido[12]提出了通過控制安全庫存來解決物流網(wǎng)絡(luò)設(shè)計的問題。最近Jiuh-Biing Sheu和Alex Y.-S.Lin[13]提出了利用分層的網(wǎng)絡(luò)設(shè)施區(qū)解決全局物流網(wǎng)絡(luò)設(shè)計的問題；周向紅和高陽[14]考慮廢品回收中心的處理能力限制和庫存成本，以回收網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)利潤最大化和社會效益最大化為目標(biāo)，建立了多周期多目標(biāo)的廢舊品回收網(wǎng)絡(luò)模型；韓雪和張鄰[15]通過考慮服務(wù)水平、物流成本以及產(chǎn)品價格之間的相互作用，建立了物流網(wǎng)絡(luò)雙層規(guī)劃模型。

通過上述的文獻(xiàn)可以看出，目前的物流網(wǎng)絡(luò)設(shè)計的研究更多的在于將策略和戰(zhàn)略層面同運營層面相結(jié)合，理論聯(lián)系實際，在傳統(tǒng)的選址問題的基礎(chǔ)上，加大了對于商品運輸、加工處理、存儲以及銷售等細(xì)節(jié)方面的研究。

本文主要是對供應(yīng)鏈中商品在基于顧客服務(wù)水平下的物流網(wǎng)絡(luò)設(shè)計的優(yōu)化研究。通過將物流網(wǎng)絡(luò)中策略和運營層面的問題相結(jié)合，將傳統(tǒng)的選址問題、定價問題以及顧客的服務(wù)水平等問題結(jié)合起來去考慮，將原本靜態(tài)的數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)變?yōu)閯討B(tài)模型。使其與現(xiàn)實問題更加契合。最后，通過將選址、定價以及顧客服務(wù)水平的結(jié)合，又找出了顧客服務(wù)水平與零售價格之間的關(guān)系，具有一定的現(xiàn)實意義。

1 背景介紹

如圖1，供應(yīng)商i經(jīng)由配送中心j運輸?shù)纳唐窋?shù)量為Yij，由配送中心j到零售商k運輸?shù)纳唐窋?shù)量為Xjk，而零售商接收到訂購的貨物后，又需要將貨物提供給顧客以滿足顧客的需求。

在此研究背景下，對于供應(yīng)商會有幾個策略上的計劃問題：

（1）決定挑選哪幾個配送中心來加工和處理商品。

（2）確定由供應(yīng)商經(jīng)由配送中心j貨物Yij的數(shù)量。

（3）確定經(jīng)由配送中心j到達(dá)零售商k的貨物Xjk的數(shù)量。

（4）確定商品的批發(fā)價格。

對于零售商會有運營上的計劃問題：確定倉庫庫存的服務(wù)水平等級。

另外，在本問題中還要做出以下的幾個假設(shè)：

（1）顧客的需求是不確定性的；

（2）零售商k與倉庫之間的距離可以忽略為0；

（3）由于本文中研究的零售商與顧客是1對1的，所以根據(jù)Miranda[12]的研究中提出的假設(shè)：顧客的需求概率密度函數(shù)與倉庫的庫存概率密度函數(shù)相等。即用1-α表示顧客需求的概率（同時也表示倉庫庫存的概率），Z1-α表示倉庫庫存的安全系數(shù)。由于顧客的服務(wù)水平與顧客的需求概率呈正相關(guān)關(guān)系。顧客的需求概率等于倉庫庫存的概率，而根據(jù)庫存安全系數(shù)的定義來看，倉庫庫存概率與倉庫安全系數(shù)呈正相關(guān)。故可以推出：顧客的服務(wù)水平與倉庫的安全系數(shù)是正相關(guān)關(guān)系。

圖1 運輸配送網(wǎng)絡(luò)

2 數(shù)學(xué)模型

2.1 參數(shù)和變量

Q*i：每個供應(yīng)商i最大提供的商品量；

Qk：零售商k訂購貨物的量；

Dk：顧客k每日的平均需求量；

pk：供應(yīng)商賣給零售商k的商品的批發(fā)價格；

Yij：供應(yīng)商i經(jīng)過配送中心j運輸商品的數(shù)量；

Xjk：經(jīng)由配送中心j到零售商k運輸商品的數(shù)量；

ej：建設(shè)配送中心j所需要的固定成本；

bj：為0-1變量，0：j被選為配送中心，1：j不被選為配送中心；

αij：從供應(yīng)商i經(jīng)由配送中心j的單位的運輸成本；

βjk：由配送中心j到零售商k的單位運輸成本；

cj：配送中心j加工處理貨物的單位成本；

dk：顧客k每日需求的不確定量；

Fk（q）：顧客k的需求量q的概率密度函數(shù)；

φk：零售商k的零售價；

hk：零售商k倉庫商品的單位儲存成本；sk：零售商k倉庫商品的單位缺貨成本；

LTk：零售商k的補貨提前期；

（1-α ）k：零售商k對應(yīng)顧客需求的概率；

Z（1-α）k：零售商k倉庫的庫存安全系數(shù)。

2.2 目標(biāo)函數(shù)

由于供應(yīng)商要確定在物流網(wǎng)絡(luò)中得到最大的收益，他們需要考慮以下的幾個因素：

綜上，供應(yīng)商的目標(biāo)函數(shù)可以寫為：

另一方面，零售商k的利潤需要考慮以下幾個因素：

（1）零售商k訂購商品的成本：

（2）零售商k的銷售收益：

（3）零售商k剩余商品的持有成本：

這里 ［Qk－ Dk］+=max｛ Qk－ Dk,0｝

（4）零售商k的缺貨成本：

這里 ［Dk－ Qk］+=max｛ Dk－ Qk,0｝

通過上面這些因素，可以將零售商的利潤目標(biāo)函數(shù)寫成：

由于顧客的需求是不確定性的，所以我們只能確定零售商的期望利潤。基于公式（12），零售商的利潤目標(biāo)函數(shù)可以表示為：

用ESR表示所有零售商銷售利潤，它可以表示為：

用EIC表示在顧客需求不確定性條件下的期望倉庫成本，它可以表示為：

整理之后可以得到：

3 理論方法

對于供應(yīng)商的數(shù)學(xué)模型來講，它是一個非線性的混合整數(shù)規(guī)劃的問題，本文是利用軟件Lingo來對這一問題進(jìn)行求解。

對于零售商的數(shù)學(xué)模型，首先Adelman[16]和Javid[17]證明它的目標(biāo)函數(shù)是凹的（保證它的二階導(dǎo)數(shù)是大于0的）。因此，如果我們認(rèn)為E［ θ（ D,Q ）］是一個關(guān)于Qk的連續(xù)函數(shù)，那利潤最大的點是可以通過來獲得。

則可以得到：

另外，根據(jù)Pablo A.Miranda[10]在文獻(xiàn)中得到的結(jié)果顧客需求的概率所以我們可以推導(dǎo)出1-α

基于上述的分析，我們分別得到供應(yīng)商利潤最大和零售商利潤最大的數(shù)學(xué)模型。但是，要同時求得兩者利潤最大的結(jié)果，本文使用到遺傳算法。算法的步驟如圖2所示：

圖2

4 實證分析

由于文章中數(shù)學(xué)模型中的變量和參數(shù)比較多，在現(xiàn)實中難以獲得全部的真實數(shù)據(jù)，所以文章用隨機數(shù)來對模型進(jìn)行模擬，并驗證是否能求得最優(yōu)解。

4.1 首先根據(jù)顧客需求概率1-α的未知和已知，我們可以將數(shù)學(xué)模型分為兩種情況：

4.1.1 當(dāng)顧客需求概率1-α為已知時，那可以直接根據(jù)公式，來求得訂貨量Qk和供應(yīng)商的批發(fā)價pk。

模型中各參數(shù)取值如表1、表2：

表1

表2

經(jīng)過計算可以得出：

4.1.2 當(dāng)顧客需求概率1-α未知時，則需要根據(jù)圖2的算法進(jìn)行迭代和計算從而得出最后的最優(yōu)解如表3～表7：

表3

表4

表5

表6

表7

求解得：Q1=909,p1=9；Q2=1 606,p2=9；Q3=1 207,p3=7；Q4=1 208,p4=10。

以上求解得到的都是局部最優(yōu)解，由于此問題是NP-難問題[18]，所以無法得到全局最優(yōu)解。

4.2 本文除了求得最優(yōu)解之外，還將對1-α和φk之間的關(guān)系進(jìn)行分析

首先，在討論1-α和φk的關(guān)系時，前提是以供應(yīng)商的利益作為主體。所以根據(jù)公式，由于供應(yīng)商的利益為主體，使其利益最大化。即令pk無限接近于φk，可以得到：

由于sk和hk為固定值，所以我們可以看出顧客需求的概率1-α和零售商的零售價φk是呈反函數(shù)的關(guān)系。同時顧客需求概率1-α和顧客服務(wù)水平是呈正相關(guān)關(guān)系。所以：當(dāng)sk和hk一定，零售價φk越大，則顧客需求概率1-α越小，相應(yīng)的顧客服務(wù)水平（安全庫存系數(shù)）也越小；反之零售價φk越小，則顧客需求概率1-α越大，相應(yīng)的顧客服務(wù)水平（安全庫存系數(shù)）也越大。（如圖3所示）

5 結(jié)論

本文主要研究基于顧客服務(wù)水平下的物流網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)化設(shè)計問題。通過考慮物流運營管理中庫存管理以及顧客服務(wù)水平的因素，優(yōu)化了以供應(yīng)商到配送中心再到零售商的物流網(wǎng)絡(luò)。解決了供應(yīng)商與零售商收益最大化的物流設(shè)計方案。另外，在考慮供應(yīng)商為主體，即實現(xiàn)供應(yīng)商利益最大化的前提下，得到顧客需求概率與零售價之間的函數(shù)關(guān)系，并且又推導(dǎo)出顧客服務(wù)水平與零售價呈負(fù)相關(guān)關(guān)系這一結(jié)論。對于現(xiàn)實中滿足顧客需求同時保證零售商利益最優(yōu)情況，有著一定的借鑒作用。現(xiàn)實中，由于涉及服務(wù)水平的因素是多方面的，因此考慮更多與服務(wù)水平相關(guān)的因素并且尋找它們與服務(wù)水平之間的變化關(guān)系是需要進(jìn)一步探索的重要問題。

圖3 sk為20，hk為3的顧客需求的概率1-α和零售商的零售價φk的關(guān)系圖

[1] T.Miller,D.Wise,L.Clair.Transport network design and mode choice modeling for automobile distribution:a case study[J].Location Science,1996(4):37-48.

[2] T.G.Crainic.Service network design in freight transportation[J].European Journal of Operational Research,2000,122:272-288.

[3] S.Melkote,M.S.Daskin.Capacitated facility location/network design problems[J].European Journal of Operational Research,2001,129:481-495.

[4] Z.Drezner,G.O.Wesolowsky.Network design:selection and design of links and facility location[J].Transportation Research Part A,2003,37:241-256.

[5] 高陽，李雪.隨機環(huán)境下再制造逆向物流網(wǎng)絡(luò)選址研究[J].數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識，2013(16):27-34.

[6] 廖偉，潘瑤，賀政綱.考慮碳交易的銷售物流網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化[J].統(tǒng)計與決策，2013(12):176-179.

[7] 伍星華，王旭，代應(yīng).再制造閉環(huán)物流網(wǎng)絡(luò)的多周期優(yōu)化設(shè)計模型[J].計算機集成制造系統(tǒng)，2011(9):2015-2021.

[8] V.Jayaraman.Transportation,facility location and inventory issues in distribution network design[J].International Journal of Physical Distribution&Logistics Management,1998,18(5):471-494.

[9] L.K.Nozick,M.Turnquist.Integrating inventory impacts into a fixed-charge model for locating distribution centers[J].Transportation Research Part E,1998,34(3):173-186.

[10] M.S.Daskin,C.Coullard,Z.-J.M.Shen.An inventory-location model:Formulation,solution algorithm and computational results[J].Annals of Operations Research,2002,110(1):83-106.

[11] P.A.Miranda,R.A.Garrido.Incorporating inventory control decisions into a strategic distribution network design model with stochastic demand[J].Transportation Research Part E,2004,40(3):183-207.

[12] P.A.Miranda,R.A.Garrido.Inventory service-level optimization within distribution network design problem[J].International Journal of Production Economics,2009,122:276-285.

[13] J.B.Sheu,A.Y.S.Lin.Hierarchical facility network planning modelfor global logistics network configurations[J].Applied Mathematical Modelling,2012,36:3053-3066.

[14] 周向紅，高陽.基于動態(tài)定價的多周期多目標(biāo)產(chǎn)品回收網(wǎng)絡(luò)設(shè)計[J].系統(tǒng)工程，2013(91):93-97.

[15] 韓雪，張鄰.客戶價值導(dǎo)向的競爭性物流網(wǎng)絡(luò)雙層規(guī)劃模型[J].公路交通科技，2013,2(30):140-146.

[16] D.Adelman.A price-directed approach to stochastic inventory/routing[J].Operations Research,2004,52:499-514.

[17] A.A.Javid,N.Azad.Incorporating location,routing and inventory decisions in supply chain network design[J].Transportation Research Part E,2010,46:582-597.

[18] P.A.Miranda,R.A.Garrido.e-Work based collaborative optimization approach for strategic loaistic network design problem[J].Computer&Industrial Engineering,2009,57:3-13.