構造法在立體幾何解題中的應用

周洪玉

【摘 要】文章就立體幾何教材中常見的一些基本立體圖形進行梳理，同時對這些典型的基本圖形在解題中應用進行分析。

【關鍵詞】化歸思想；構造法；基本圖形

解決數學問題的過程，本質上就是不斷的敘述問題、轉化問題，直到找到某些能解決問題的“東西”的過程，同時轉化也是減少運算的重要途徑，從而使解題速度得到提高。可以說，數學問題的解決過程無不是在不間斷的轉化過程中得到解決的。因此解決數學問題的過程中我們提倡“遇困難，要轉化”的基本思想方法，這就是的高中數學重要的轉化與歸的思想方法。

轉化與化歸思想：指在研究的和解決數學問題時，將遇到的難解決的問題，通過某種轉化，歸結為已經解決或比較容易解決的問題，最終使原問題得到解決。

轉化與化歸的原則：將不熟悉的問題轉化為熟知的問題——熟悉化原則；將抽象的問題轉化為具體直觀的問題—— 直觀化原則；將復雜問題轉化為簡單的問題——簡單化原則；正面討論比較困難時，應從問題的反面去探求——正難則反原則。

轉化與化歸思想的要素：轉化什么、轉化到何處去、怎么進行轉化、有幾種轉化方式。

轉化與化歸的方法：換元法、數形結合法、參數法、構造法、坐標法、類比法、特殊化方法、一般方法、等價問題法、補集法等。其中構造法指“構造”出一個合適數學模型，從而把問題轉化成易于解決的問題。

一、利用教材中立體幾何中的基本圖形“解決”問題

立體幾何解題的重要基礎是作圖，幾何作圖的基本原則，強調立體與實際，因此解決問題過程中要善于利用教材中典型例題、典型習題、公理、定理、性質“解決”所對應的基本圖形，現將就這些典型的基本圖形在解題中應用進行分析。

教材問題：如果有一個角所在平面外一點到角的兩邊的距離相等，那么這點在平面內的射影在 這個角的平分線上。

教材習題：經過一個角的頂點引這所在平面的斜射線，設它和已知角的兩邊的夾角為銳角且相等，求證：這條斜線在平面內的射影是這個的平分線。

三垂線定理，基本構成：一面四線三垂直，可處理空間兩直線的垂直問題、點直線的距離問題。

最小角定理：平面的斜線和它在平面內的射影所成的角，是這條斜線與這個平面內經邊斜足的直線所成的一切角中最小的角，可得公式cosθ=cosθ1cosθ2，公式也可用來求異面直線所成的角。

長方體的性質：長方體的一條對角線長的平方等于同一個頂點上三條棱長的平方和；體對角線長等于它外接球的半徑；可將一個對棱相等的空間四面體內置于長方體內；共點的兩兩互垂的三條線段可構造一個長方體。

正方體的性質：正方體是特殊的長方體，正四面體可內置于正方體；正四面體的相關距離、角度計算中借助正方體來研究；正方體有外接球、內切球、內嵌球（內切球不斷膨脹與正方體的所有棱均相切）；共點且兩夾角相等三條直線由正四面體來構造。

球的截面的性質：一個平面截一個球面，所得的截線是以球心在截面內的射影為圓心，以r=（其中R為球的半徑，d為球心到截面的距離）為半徑的一個圓，截面是一個圓。

平面的法向量：如果表示向量a的有向線段所在直線垂直于平面α，則稱這個向量垂直于平面α，記作a⊥α，那么向量a叫球做平面α的法向量。

二、巧用構造基本圖形：解決“問題”

立體幾何常見問題有證明空間的平行與垂直關系、空間角、空間距離等。問題的解決一般有兩條途徑，即兩種轉化方式，：空間問題平面化、構造基本圖形來解決問題；兩種方法：傳統的幾何法（找—證—算）、空間向量坐標法（建系—點的坐標—向量的坐標—代入公式運算）。

例：如右圖，△ADP為正三角形，四邊形ABCD為正方形，平面PAD⊥平面ABCD，M為平面ABCD內的一動點，且滿足MP=MC，則點M在正方形ABCD內的軌跡為（點O為正方形ABCD的中心）（）

A B C D

分析：對于條件MP=MC易聯想平面幾何中的結論：平面內一動點M到線段PC兩端點的距離相等，動點M在線段PC的中垂線上，往空間拓展，則中垂線過線段的中心，中垂線的方向呢？不確定，動起來，形成一個平面，即線段PC的中垂面，至此構造了一個點M所在平面；題設又要求點M同時必須在平面AC上，那么點M在兩個平面的交線上，是一條線段，故排除選C、D，如何確定這條交線呢？找兩個點，兩個平面的公共點，結合選項，選項B中的點B不能充當點M的角色，排除選項B，正確選項為A，可進一步進行驗證。

例：四面積P—ABC可，三條側棱兩兩垂直，M是面ABC內一點，且點M到三個面PAB、PAC、PBC的距離分別是2、3、6，則點M到頂點P的距離是（）。

分析：如圖可構造出滿足條件的長方體，其體對角線長7即為所求。.

例：已知二面角α-1-β的大小為60°，m、n為異面直線，且m⊥α、n⊥β，則m、n所成的角為（）

A.30° B.60° C.90° D.120°

分析：易聯想教材中的習題，但有些不同，m、n為異面直線，而不是相交直線，能轉化嗎？根據異面直線成角的概念，平移轉化為相交直線成角——空間問題平面化，答案易確定為D，錯了，忽略了異面直線的范圍，因此要注意思維的嚴謹性：求角，在哪里、如何的轉化。

例：如圖正三棱錐A-BCD中，E、F分別是AB、BC中點，EF⊥DE，且AC=1，則正三棱錐A=BCD的外接球的體積（）

A. B. C. D.

分析：正三棱錐對棱垂直，得AC⊥BD，由EF⊥DE，得AC⊥平面ABD，結論：AB、AC、AD兩兩垂直，構造正方體，構造外接球，體對角線與球的直徑相等，得球的半徑R=，正確選項為C。

例：過空間一點作四條射線，每兩條射線所成的角均相等，那么這個角的余弦值為（）

分析：

法一、構成正四面體，中心為P，與四個頂點連接起來，在三角形中完成計算。

法二：構造正四面體，中心為P，過點P分別作四個面的垂線，轉化為求側面與底面所成二面角的補角問題，同樣可以完成計算，答案為

例：已知球的半徑為2，相互垂直的兩個平面分別截球面得兩個圓，若兩圓的公共弦為2，則兩圓的圓心距等于（）

A.1 B. C. D.2

分析：做圖難，輔助線多；轉化難。

法一：做球面，兩個平面截此球面，截面圓相交弦長為2，弦AB中點C。

思路一：球面的截面的性質指導結引作圖，連OO1，連OO2，構造平面，得矩形OO1CO2；

思路二：轉化為平面，局部研究，其中一個截面圓，圓心O1，弦AB弦AB中點C，連O1C.

同理：連O2C，連OO1，連OO2，得矩形OO1CO2.

在Rt△OBC中，OC==

法二：特殊化處理，使其中一個截面圓O2過球心O，則OO1=O1O2=。

高中階段，幾乎每一個問題均要用到轉化與化歸的思想，當我們在研究數學問題思維受阻時，可等價轉化為另一種情形，即另一種情境使問題得到解決，這是一條有效解決問題的途徑，同時高考對此思維想的考查也尤其重視，借此對考生的數學能力進行區分，因此在教學中要“善用，妙用”，以優化教學質量，更提高學生的數學能力和素質。endprint

【摘 要】文章就立體幾何教材中常見的一些基本立體圖形進行梳理，同時對這些典型的基本圖形在解題中應用進行分析。

【關鍵詞】化歸思想；構造法；基本圖形

解決數學問題的過程，本質上就是不斷的敘述問題、轉化問題，直到找到某些能解決問題的“東西”的過程，同時轉化也是減少運算的重要途徑，從而使解題速度得到提高。可以說，數學問題的解決過程無不是在不間斷的轉化過程中得到解決的。因此解決數學問題的過程中我們提倡“遇困難，要轉化”的基本思想方法，這就是的高中數學重要的轉化與歸的思想方法。

轉化與化歸思想：指在研究的和解決數學問題時，將遇到的難解決的問題，通過某種轉化，歸結為已經解決或比較容易解決的問題，最終使原問題得到解決。

轉化與化歸的原則：將不熟悉的問題轉化為熟知的問題——熟悉化原則；將抽象的問題轉化為具體直觀的問題—— 直觀化原則；將復雜問題轉化為簡單的問題——簡單化原則；正面討論比較困難時，應從問題的反面去探求——正難則反原則。

轉化與化歸思想的要素：轉化什么、轉化到何處去、怎么進行轉化、有幾種轉化方式。

轉化與化歸的方法：換元法、數形結合法、參數法、構造法、坐標法、類比法、特殊化方法、一般方法、等價問題法、補集法等。其中構造法指“構造”出一個合適數學模型，從而把問題轉化成易于解決的問題。

一、利用教材中立體幾何中的基本圖形“解決”問題

立體幾何解題的重要基礎是作圖，幾何作圖的基本原則，強調立體與實際，因此解決問題過程中要善于利用教材中典型例題、典型習題、公理、定理、性質“解決”所對應的基本圖形，現將就這些典型的基本圖形在解題中應用進行分析。

教材問題：如果有一個角所在平面外一點到角的兩邊的距離相等，那么這點在平面內的射影在 這個角的平分線上。

教材習題：經過一個角的頂點引這所在平面的斜射線，設它和已知角的兩邊的夾角為銳角且相等，求證：這條斜線在平面內的射影是這個的平分線。

三垂線定理，基本構成：一面四線三垂直，可處理空間兩直線的垂直問題、點直線的距離問題。

最小角定理：平面的斜線和它在平面內的射影所成的角，是這條斜線與這個平面內經邊斜足的直線所成的一切角中最小的角，可得公式cosθ=cosθ1cosθ2，公式也可用來求異面直線所成的角。

長方體的性質：長方體的一條對角線長的平方等于同一個頂點上三條棱長的平方和；體對角線長等于它外接球的半徑；可將一個對棱相等的空間四面體內置于長方體內；共點的兩兩互垂的三條線段可構造一個長方體。

正方體的性質：正方體是特殊的長方體，正四面體可內置于正方體；正四面體的相關距離、角度計算中借助正方體來研究；正方體有外接球、內切球、內嵌球（內切球不斷膨脹與正方體的所有棱均相切）；共點且兩夾角相等三條直線由正四面體來構造。

球的截面的性質：一個平面截一個球面，所得的截線是以球心在截面內的射影為圓心，以r=（其中R為球的半徑，d為球心到截面的距離）為半徑的一個圓，截面是一個圓。

平面的法向量：如果表示向量a的有向線段所在直線垂直于平面α，則稱這個向量垂直于平面α，記作a⊥α，那么向量a叫球做平面α的法向量。

二、巧用構造基本圖形：解決“問題”

立體幾何常見問題有證明空間的平行與垂直關系、空間角、空間距離等。問題的解決一般有兩條途徑，即兩種轉化方式，：空間問題平面化、構造基本圖形來解決問題；兩種方法：傳統的幾何法（找—證—算）、空間向量坐標法（建系—點的坐標—向量的坐標—代入公式運算）。

例：如右圖，△ADP為正三角形，四邊形ABCD為正方形，平面PAD⊥平面ABCD，M為平面ABCD內的一動點，且滿足MP=MC，則點M在正方形ABCD內的軌跡為（點O為正方形ABCD的中心）（）

A B C D

分析：對于條件MP=MC易聯想平面幾何中的結論：平面內一動點M到線段PC兩端點的距離相等，動點M在線段PC的中垂線上，往空間拓展，則中垂線過線段的中心，中垂線的方向呢？不確定，動起來，形成一個平面，即線段PC的中垂面，至此構造了一個點M所在平面；題設又要求點M同時必須在平面AC上，那么點M在兩個平面的交線上，是一條線段，故排除選C、D，如何確定這條交線呢？找兩個點，兩個平面的公共點，結合選項，選項B中的點B不能充當點M的角色，排除選項B，正確選項為A，可進一步進行驗證。

例：四面積P—ABC可，三條側棱兩兩垂直，M是面ABC內一點，且點M到三個面PAB、PAC、PBC的距離分別是2、3、6，則點M到頂點P的距離是（）。

分析：如圖可構造出滿足條件的長方體，其體對角線長7即為所求。.

例：已知二面角α-1-β的大小為60°，m、n為異面直線，且m⊥α、n⊥β，則m、n所成的角為（）

A.30° B.60° C.90° D.120°

分析：易聯想教材中的習題，但有些不同，m、n為異面直線，而不是相交直線，能轉化嗎？根據異面直線成角的概念，平移轉化為相交直線成角——空間問題平面化，答案易確定為D，錯了，忽略了異面直線的范圍，因此要注意思維的嚴謹性：求角，在哪里、如何的轉化。

例：如圖正三棱錐A-BCD中，E、F分別是AB、BC中點，EF⊥DE，且AC=1，則正三棱錐A=BCD的外接球的體積（）

A. B. C. D.

分析：正三棱錐對棱垂直，得AC⊥BD，由EF⊥DE，得AC⊥平面ABD，結論：AB、AC、AD兩兩垂直，構造正方體，構造外接球，體對角線與球的直徑相等，得球的半徑R=，正確選項為C。

例：過空間一點作四條射線，每兩條射線所成的角均相等，那么這個角的余弦值為（）

分析：

法一、構成正四面體，中心為P，與四個頂點連接起來，在三角形中完成計算。

法二：構造正四面體，中心為P，過點P分別作四個面的垂線，轉化為求側面與底面所成二面角的補角問題，同樣可以完成計算，答案為

例：已知球的半徑為2，相互垂直的兩個平面分別截球面得兩個圓，若兩圓的公共弦為2，則兩圓的圓心距等于（）

A.1 B. C. D.2

分析：做圖難，輔助線多；轉化難。

法一：做球面，兩個平面截此球面，截面圓相交弦長為2，弦AB中點C。

思路一：球面的截面的性質指導結引作圖，連OO1，連OO2，構造平面，得矩形OO1CO2；

思路二：轉化為平面，局部研究，其中一個截面圓，圓心O1，弦AB弦AB中點C，連O1C.

同理：連O2C，連OO1，連OO2，得矩形OO1CO2.

在Rt△OBC中，OC==

法二：特殊化處理，使其中一個截面圓O2過球心O，則OO1=O1O2=。

高中階段，幾乎每一個問題均要用到轉化與化歸的思想，當我們在研究數學問題思維受阻時，可等價轉化為另一種情形，即另一種情境使問題得到解決，這是一條有效解決問題的途徑，同時高考對此思維想的考查也尤其重視，借此對考生的數學能力進行區分，因此在教學中要“善用，妙用”，以優化教學質量，更提高學生的數學能力和素質。endprint

【摘 要】文章就立體幾何教材中常見的一些基本立體圖形進行梳理，同時對這些典型的基本圖形在解題中應用進行分析。

【關鍵詞】化歸思想；構造法；基本圖形

解決數學問題的過程，本質上就是不斷的敘述問題、轉化問題，直到找到某些能解決問題的“東西”的過程，同時轉化也是減少運算的重要途徑，從而使解題速度得到提高。可以說，數學問題的解決過程無不是在不間斷的轉化過程中得到解決的。因此解決數學問題的過程中我們提倡“遇困難，要轉化”的基本思想方法，這就是的高中數學重要的轉化與歸的思想方法。

轉化與化歸思想：指在研究的和解決數學問題時，將遇到的難解決的問題，通過某種轉化，歸結為已經解決或比較容易解決的問題，最終使原問題得到解決。

轉化與化歸的原則：將不熟悉的問題轉化為熟知的問題——熟悉化原則；將抽象的問題轉化為具體直觀的問題—— 直觀化原則；將復雜問題轉化為簡單的問題——簡單化原則；正面討論比較困難時，應從問題的反面去探求——正難則反原則。

轉化與化歸思想的要素：轉化什么、轉化到何處去、怎么進行轉化、有幾種轉化方式。

轉化與化歸的方法：換元法、數形結合法、參數法、構造法、坐標法、類比法、特殊化方法、一般方法、等價問題法、補集法等。其中構造法指“構造”出一個合適數學模型，從而把問題轉化成易于解決的問題。

一、利用教材中立體幾何中的基本圖形“解決”問題

立體幾何解題的重要基礎是作圖，幾何作圖的基本原則，強調立體與實際，因此解決問題過程中要善于利用教材中典型例題、典型習題、公理、定理、性質“解決”所對應的基本圖形，現將就這些典型的基本圖形在解題中應用進行分析。

教材問題：如果有一個角所在平面外一點到角的兩邊的距離相等，那么這點在平面內的射影在 這個角的平分線上。

教材習題：經過一個角的頂點引這所在平面的斜射線，設它和已知角的兩邊的夾角為銳角且相等，求證：這條斜線在平面內的射影是這個的平分線。

三垂線定理，基本構成：一面四線三垂直，可處理空間兩直線的垂直問題、點直線的距離問題。

最小角定理：平面的斜線和它在平面內的射影所成的角，是這條斜線與這個平面內經邊斜足的直線所成的一切角中最小的角，可得公式cosθ=cosθ1cosθ2，公式也可用來求異面直線所成的角。

長方體的性質：長方體的一條對角線長的平方等于同一個頂點上三條棱長的平方和；體對角線長等于它外接球的半徑；可將一個對棱相等的空間四面體內置于長方體內；共點的兩兩互垂的三條線段可構造一個長方體。

正方體的性質：正方體是特殊的長方體，正四面體可內置于正方體；正四面體的相關距離、角度計算中借助正方體來研究；正方體有外接球、內切球、內嵌球（內切球不斷膨脹與正方體的所有棱均相切）；共點且兩夾角相等三條直線由正四面體來構造。

球的截面的性質：一個平面截一個球面，所得的截線是以球心在截面內的射影為圓心，以r=（其中R為球的半徑，d為球心到截面的距離）為半徑的一個圓，截面是一個圓。

平面的法向量：如果表示向量a的有向線段所在直線垂直于平面α，則稱這個向量垂直于平面α，記作a⊥α，那么向量a叫球做平面α的法向量。

二、巧用構造基本圖形：解決“問題”

立體幾何常見問題有證明空間的平行與垂直關系、空間角、空間距離等。問題的解決一般有兩條途徑，即兩種轉化方式，：空間問題平面化、構造基本圖形來解決問題；兩種方法：傳統的幾何法（找—證—算）、空間向量坐標法（建系—點的坐標—向量的坐標—代入公式運算）。

例：如右圖，△ADP為正三角形，四邊形ABCD為正方形，平面PAD⊥平面ABCD，M為平面ABCD內的一動點，且滿足MP=MC，則點M在正方形ABCD內的軌跡為（點O為正方形ABCD的中心）（）

A B C D

分析：對于條件MP=MC易聯想平面幾何中的結論：平面內一動點M到線段PC兩端點的距離相等，動點M在線段PC的中垂線上，往空間拓展，則中垂線過線段的中心，中垂線的方向呢？不確定，動起來，形成一個平面，即線段PC的中垂面，至此構造了一個點M所在平面；題設又要求點M同時必須在平面AC上，那么點M在兩個平面的交線上，是一條線段，故排除選C、D，如何確定這條交線呢？找兩個點，兩個平面的公共點，結合選項，選項B中的點B不能充當點M的角色，排除選項B，正確選項為A，可進一步進行驗證。

例：四面積P—ABC可，三條側棱兩兩垂直，M是面ABC內一點，且點M到三個面PAB、PAC、PBC的距離分別是2、3、6，則點M到頂點P的距離是（）。

分析：如圖可構造出滿足條件的長方體，其體對角線長7即為所求。.

例：已知二面角α-1-β的大小為60°，m、n為異面直線，且m⊥α、n⊥β，則m、n所成的角為（）

A.30° B.60° C.90° D.120°

分析：易聯想教材中的習題，但有些不同，m、n為異面直線，而不是相交直線，能轉化嗎？根據異面直線成角的概念，平移轉化為相交直線成角——空間問題平面化，答案易確定為D，錯了，忽略了異面直線的范圍，因此要注意思維的嚴謹性：求角，在哪里、如何的轉化。

例：如圖正三棱錐A-BCD中，E、F分別是AB、BC中點，EF⊥DE，且AC=1，則正三棱錐A=BCD的外接球的體積（）

A. B. C. D.

分析：正三棱錐對棱垂直，得AC⊥BD，由EF⊥DE，得AC⊥平面ABD，結論：AB、AC、AD兩兩垂直，構造正方體，構造外接球，體對角線與球的直徑相等，得球的半徑R=，正確選項為C。

例：過空間一點作四條射線，每兩條射線所成的角均相等，那么這個角的余弦值為（）

分析：

法一、構成正四面體，中心為P，與四個頂點連接起來，在三角形中完成計算。

法二：構造正四面體，中心為P，過點P分別作四個面的垂線，轉化為求側面與底面所成二面角的補角問題，同樣可以完成計算，答案為

例：已知球的半徑為2，相互垂直的兩個平面分別截球面得兩個圓，若兩圓的公共弦為2，則兩圓的圓心距等于（）

A.1 B. C. D.2

分析：做圖難，輔助線多；轉化難。

法一：做球面，兩個平面截此球面，截面圓相交弦長為2，弦AB中點C。

思路一：球面的截面的性質指導結引作圖，連OO1，連OO2，構造平面，得矩形OO1CO2；

思路二：轉化為平面，局部研究，其中一個截面圓，圓心O1，弦AB弦AB中點C，連O1C.

同理：連O2C，連OO1，連OO2，得矩形OO1CO2.

在Rt△OBC中，OC==

法二：特殊化處理，使其中一個截面圓O2過球心O，則OO1=O1O2=。

高中階段，幾乎每一個問題均要用到轉化與化歸的思想，當我們在研究數學問題思維受阻時，可等價轉化為另一種情形，即另一種情境使問題得到解決，這是一條有效解決問題的途徑，同時高考對此思維想的考查也尤其重視，借此對考生的數學能力進行區分，因此在教學中要“善用，妙用”，以優化教學質量，更提高學生的數學能力和素質。endprint