小學(xué)數(shù)學(xué)教科書“式與方程”的銜接特點探析

孔明英

小學(xué)數(shù)學(xué)教科書作為教師教與學(xué)生學(xué)的范本與主要素材，其內(nèi)容的銜接影響著數(shù)學(xué)教與學(xué)的方式、途徑、效果等多個層面。特別是對類似于“式與方程”這樣的知識，既是小學(xué)數(shù)學(xué)由算術(shù)過渡到代數(shù)的第一個顯性知識模塊，又是數(shù)學(xué)在知識內(nèi)容、思想方法與思維方式上的一次飛躍，作為一個關(guān)鍵節(jié)點的知識模塊，其內(nèi)容本身及其與前后知識的銜接對小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習、數(shù)學(xué)思維的過渡與發(fā)展均具有重要影響。下面擬以現(xiàn)行蘇教版的小學(xué)數(shù)學(xué)教科書為例，探尋“式與方程”的銜接特征，以期為教科書的設(shè)置以及教師對教材的有效使用提供一些幫助。

一、 教科書中“式與方程”的銜接特征

1. 主體內(nèi)容的獨立單元式螺旋上升

小學(xué)數(shù)學(xué)中的“式與方程”主要包括用字母表示數(shù)、簡易方程和列方程解決簡單的實際問題等內(nèi)容。蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教科書就“式與方程”的內(nèi)容，根據(jù)學(xué)生的心理特征、知識間的邏輯關(guān)系等情況，在編排方式上采用了螺旋上升式。其具體的設(shè)置情況如表1所示。

表 1 蘇教版教科書“式與方程”主體單元設(shè)置情況

蘇教版教科書在四年級下學(xué)期最后一個單元安排了用字母表示數(shù)，這是在學(xué)生經(jīng)過第一學(xué)段的準備后，明確設(shè)置代數(shù)知識，要求滲透代數(shù)思想方法的獨立單元。在此單元中教材大部分內(nèi)容是先通過簡單的問題情境，讓學(xué)生先理解字母可以表示數(shù)，進而逐步提升原有問題情境的復(fù)雜性，循序漸進地引導(dǎo)學(xué)生熟練地使用含有字母的式子表示各種基本的數(shù)量關(guān)系。其中的例題大多數(shù)采用了歸納的思想方法，通過特例、由算式表示數(shù)量等，啟發(fā)學(xué)生歸納出一般的規(guī)律，而這個一般規(guī)律需要用含有字母的式子來表示。如下例所示：

擺1個三角形用3根小棒

擺2個三角形用小棒的根數(shù)是：2×3

擺3個三角形用小棒的根數(shù)是：（ ）×3

擺4個三角形用小棒的根數(shù)是：（ ）×3

……

擺a個三角形用小棒的根數(shù)是：（ ）×（ ）

問題：你知道這里的a可以表示哪些數(shù)么？[1]

接著再學(xué)習化簡形如“ax±by”這樣含有字母的式子，這部分需要列出的含有字母的式子已經(jīng)達到了以三步運算為主，且是后繼學(xué)習形如ax+by=c式方程的基礎(chǔ)。

到五年級下冊第一單元方程部分，教材首先結(jié)合具體情境——“用式子表示天平兩邊物體的質(zhì)量關(guān)系”，引導(dǎo)學(xué)生了解等式和方程的關(guān)系，理解并會應(yīng)用包含四則運算的簡單方程。其中有關(guān)等式的性質(zhì)是貫穿整個方程學(xué)習的核心——“等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù)，所得的結(jié)果仍然是等式”，“等式兩邊同時乘以或除以同一個不等于0的數(shù)，所得的結(jié)果仍然是等式”。這樣使先前等式性質(zhì)與新知充分聯(lián)系起來。教材另外重點強調(diào)的是未知數(shù)的表達既可以是“x”，亦可以是“y”，還可以是“a”，甚至可以是任何字母，即數(shù)學(xué)不再是單純地研究量的科學(xué)，還是研究結(jié)構(gòu)的科學(xué)，“變量不再表示數(shù)，而是表示一個給定域中的類[2]”（如在五年級下冊蘇教版教材第2頁到第3頁都刻意用不同的字母來表示等式中的未知量）。同時拓展了字母代數(shù)的含義，做到有機地與“式與方程”前一單元內(nèi)容的銜接。

到六年級上冊的方程單元，考慮到學(xué)生已經(jīng)能夠熟練地運用等式的性質(zhì)來解形如x+a=b、ax=b和x÷a=b的方程，對于ax±by的化簡也已學(xué)過，教科書主要設(shè)置用形如ax+b=c、ax÷b=c和ax+bx=c的方程來解決實際問題，并引導(dǎo)學(xué)生自主探索有關(guān)方程的解法。三個獨立單元的學(xué)習使學(xué)生分析、抽象概括的能力得到增強，符號感得到逐步發(fā)展，與此同時，對方程解的準確性檢驗，在文化層面上還傳遞了一種自省的內(nèi)涵。

2.多層面的漸進式前置滲透

表 2 “式與方程”前置性內(nèi)容簡要分析

由符號“●”“▲”“（ ）”“□”這些既可表示填寫數(shù)的空位，也可用來表示數(shù)的符號這樣的孕伏階段逐漸過渡到圖形面積計算公式和一些運算定律的前置性知識，為正式學(xué)習字母表示數(shù)做好鋪墊。由25+（ ）=18+（ ）等算術(shù)或代數(shù)的結(jié)構(gòu)關(guān)系式進行呈現(xiàn)與滲透，體現(xiàn)代數(shù)知識的結(jié)構(gòu)特征與代數(shù)思維的關(guān)系性等。如此形成從不同層面的情境、不同層面的知識、不同層面的思維進行前置性滲透，為學(xué)生后繼“式與方程”的學(xué)習奠定基礎(chǔ)。

3.多元化的散點式后置拓展

小學(xué)數(shù)學(xué)的“式與方程”實際上是代數(shù)學(xué)習的一個開端與顯性知識模塊，后繼其他知識點的學(xué)習可以此為基礎(chǔ)進行拓展。現(xiàn)選取“比與比例”以及六年級上冊《解決問題的策略》中的“替換與假設(shè)策略”內(nèi)容對方程知識的隱性延伸做稍微的闡述：第一，方程“等價思想”的拓展應(yīng)用。具體表現(xiàn)為六年級上冊認識比單元《大樹多高》中測量大樹高度的實踐活動就是利用“在同一地點，同時測量不同的竹竿，高度與影長的比值是相等的”這種等價思想列出具有對應(yīng)性的方程的。第二，方程“假設(shè)思想”的拓展應(yīng)用。具體表現(xiàn)如解決問題策略單元的例2“全班42人去公園劃船，一共租用了10只船。每只大船坐5人，每只小船坐3人。租用的大船和小船各有多少只？”教材試圖啟發(fā)學(xué)生使用多種具體的假設(shè)方法解決問題，這些均屬于方程知識的實際應(yīng)用，單元后面的“雞兔同籠”問題也有異曲同工之效。如此通過或顯性或隱性、不同數(shù)學(xué)知識模塊以及不同知識領(lǐng)域?qū)Ψ匠讨R進行散點式的拓展、滲透與鞏固，有效地強化與提升了“式與方程”與其他知識內(nèi)容的銜接與融合。

二、 教科書中“式與方程”銜接的建議

1.加強“式與方程”單元編排的系統(tǒng)性

“式與方程”模塊在蘇教版教科書劃分為四、五、六三個年級的各一個單元來編排，雖然設(shè)置了針對性的銜接點，但時間跨度較長，由于遺忘等會造成銜接的困難，同時也會對形成系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生不利影響。知識系統(tǒng)性的不完整，對學(xué)生的靈活運用是具有破壞性的，所以可適當集中設(shè)置，如將五、六年級兩單元合并為一單元，增強方程體系的系統(tǒng)性。這樣安排也能更好地貫徹《數(shù)學(xué)課程標準（2011版）》中降低的解方程的要求（由之前“理解等式的性質(zhì)”到現(xiàn)今的“依據(jù)等式的性質(zhì)來解方程”），在人教版的小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中此內(nèi)容就編排在5年級上冊的一個單元里。endprint

2.注重“式與方程”內(nèi)容與學(xué)生數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的銜接

“式與方程”三部分內(nèi)容的銜接符合知識之間的邏輯關(guān)系，強調(diào)了數(shù)學(xué)的現(xiàn)實情境，以及數(shù)學(xué)與現(xiàn)實的銜接，但在設(shè)置與銜接中缺少對學(xué)生數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的關(guān)注。《數(shù)學(xué)課程標準（2011版）》明確要求：“數(shù)學(xué)教學(xué)活動必須建立在學(xué)生的認知發(fā)展水平與已有的知識經(jīng)驗基礎(chǔ)上。教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動的機會。幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。”因此教科書在前面的引入到后繼的復(fù)習階段，可由學(xué)生依據(jù)自身已有的知識經(jīng)驗自主設(shè)計問題，來讓其他同學(xué)解答，使所學(xué)內(nèi)容與學(xué)生的活動經(jīng)驗緊密結(jié)合。通過相互間基于數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗的討論與交流，提升彼此的活動經(jīng)驗與解決問題的能力，促進數(shù)學(xué)學(xué)習的個性化，拓展數(shù)學(xué)的本原性知識，獲得更廣泛的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。

3.增加“式與方程”與相關(guān)數(shù)學(xué)史知識的銜接與提升

蘇教版教科書在“式與方程”三個模塊中，僅有兩冊書在“你知道嗎？”中提及一點數(shù)學(xué)史知識，一個是最早有意識地系統(tǒng)使用字母的數(shù)學(xué)家韋達，另一點是介紹我國古代數(shù)學(xué)家李治的“天元術(shù)”與朱世杰的“四元術(shù)”，對相關(guān)數(shù)學(xué)史的滲透與拓展存在不足。如對方程及代數(shù)具有重要貢獻的笛卡爾的有關(guān)觀點：“如果我們要解決一個問題，我們首先假定解已經(jīng)得到了，并且給解的結(jié)構(gòu)中需要的每個量命名——不論是未知量還是已知量。平等對待未知量和已知量。然后，我們必須想方設(shè)法建立量和量之間的自然關(guān)系，直到我們發(fā)現(xiàn)用兩種表達式表示同一個量。因為這兩個表達式表示同一個量，所以可以建立等式[2]。”這是笛卡爾在1637年出版的《幾何學(xué)》中最早提出的方程，這一特別的等式的概念未曾提及。由此可見，具有明顯文化符號特征的數(shù)學(xué)史知識需要更多地在編排中給予關(guān)注，將相關(guān)史實所蘊含的人文內(nèi)涵傳遞出來，體現(xiàn)數(shù)學(xué)作為人類文化子系統(tǒng)的特征[3]。

由于小學(xué)數(shù)學(xué)教科書綜合性強，可讀性與易讀性要求高，在關(guān)注整套教科書的編排，關(guān)注“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”等大模塊設(shè)計的同時，還要進一步關(guān)注各個主題之間的有機銜接與融合，注重各主題間的優(yōu)化與滲透，以充分發(fā)揮教科書的功能與價值，增進教科書的有效使用。

參考文獻

[1] 義務(wù)教育課程標準實驗教科書《數(shù)學(xué)》（四年級下冊）[M].南京：江蘇教育出版社，2012：106.

[2] （美）理查德·曼凱維奇.數(shù)學(xué)的故事.馮速譯[M].海口：海南出版社，2002：110.

[3] 鄭毓信，王憲昌，蔡仲.數(shù)學(xué)文化學(xué)[M].成都：四川教育出版社，2000.

【責任編輯：陳國慶】endprint

2.注重“式與方程”內(nèi)容與學(xué)生數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的銜接

“式與方程”三部分內(nèi)容的銜接符合知識之間的邏輯關(guān)系，強調(diào)了數(shù)學(xué)的現(xiàn)實情境，以及數(shù)學(xué)與現(xiàn)實的銜接，但在設(shè)置與銜接中缺少對學(xué)生數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的關(guān)注。《數(shù)學(xué)課程標準（2011版）》明確要求：“數(shù)學(xué)教學(xué)活動必須建立在學(xué)生的認知發(fā)展水平與已有的知識經(jīng)驗基礎(chǔ)上。教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動的機會。幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。”因此教科書在前面的引入到后繼的復(fù)習階段，可由學(xué)生依據(jù)自身已有的知識經(jīng)驗自主設(shè)計問題，來讓其他同學(xué)解答，使所學(xué)內(nèi)容與學(xué)生的活動經(jīng)驗緊密結(jié)合。通過相互間基于數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗的討論與交流，提升彼此的活動經(jīng)驗與解決問題的能力，促進數(shù)學(xué)學(xué)習的個性化，拓展數(shù)學(xué)的本原性知識，獲得更廣泛的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。

3.增加“式與方程”與相關(guān)數(shù)學(xué)史知識的銜接與提升

蘇教版教科書在“式與方程”三個模塊中，僅有兩冊書在“你知道嗎？”中提及一點數(shù)學(xué)史知識，一個是最早有意識地系統(tǒng)使用字母的數(shù)學(xué)家韋達，另一點是介紹我國古代數(shù)學(xué)家李治的“天元術(shù)”與朱世杰的“四元術(shù)”，對相關(guān)數(shù)學(xué)史的滲透與拓展存在不足。如對方程及代數(shù)具有重要貢獻的笛卡爾的有關(guān)觀點：“如果我們要解決一個問題，我們首先假定解已經(jīng)得到了，并且給解的結(jié)構(gòu)中需要的每個量命名——不論是未知量還是已知量。平等對待未知量和已知量。然后，我們必須想方設(shè)法建立量和量之間的自然關(guān)系，直到我們發(fā)現(xiàn)用兩種表達式表示同一個量。因為這兩個表達式表示同一個量，所以可以建立等式[2]。”這是笛卡爾在1637年出版的《幾何學(xué)》中最早提出的方程，這一特別的等式的概念未曾提及。由此可見，具有明顯文化符號特征的數(shù)學(xué)史知識需要更多地在編排中給予關(guān)注，將相關(guān)史實所蘊含的人文內(nèi)涵傳遞出來，體現(xiàn)數(shù)學(xué)作為人類文化子系統(tǒng)的特征[3]。

由于小學(xué)數(shù)學(xué)教科書綜合性強，可讀性與易讀性要求高，在關(guān)注整套教科書的編排，關(guān)注“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”等大模塊設(shè)計的同時，還要進一步關(guān)注各個主題之間的有機銜接與融合，注重各主題間的優(yōu)化與滲透，以充分發(fā)揮教科書的功能與價值，增進教科書的有效使用。

參考文獻

[1] 義務(wù)教育課程標準實驗教科書《數(shù)學(xué)》（四年級下冊）[M].南京：江蘇教育出版社，2012：106.

[2] （美）理查德·曼凱維奇.數(shù)學(xué)的故事.馮速譯[M].海口：海南出版社，2002：110.

[3] 鄭毓信，王憲昌，蔡仲.數(shù)學(xué)文化學(xué)[M].成都：四川教育出版社，2000.

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2.注重“式與方程”內(nèi)容與學(xué)生數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的銜接

“式與方程”三部分內(nèi)容的銜接符合知識之間的邏輯關(guān)系，強調(diào)了數(shù)學(xué)的現(xiàn)實情境，以及數(shù)學(xué)與現(xiàn)實的銜接，但在設(shè)置與銜接中缺少對學(xué)生數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的關(guān)注。《數(shù)學(xué)課程標準（2011版）》明確要求：“數(shù)學(xué)教學(xué)活動必須建立在學(xué)生的認知發(fā)展水平與已有的知識經(jīng)驗基礎(chǔ)上。教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動的機會。幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。”因此教科書在前面的引入到后繼的復(fù)習階段，可由學(xué)生依據(jù)自身已有的知識經(jīng)驗自主設(shè)計問題，來讓其他同學(xué)解答，使所學(xué)內(nèi)容與學(xué)生的活動經(jīng)驗緊密結(jié)合。通過相互間基于數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗的討論與交流，提升彼此的活動經(jīng)驗與解決問題的能力，促進數(shù)學(xué)學(xué)習的個性化，拓展數(shù)學(xué)的本原性知識，獲得更廣泛的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。

3.增加“式與方程”與相關(guān)數(shù)學(xué)史知識的銜接與提升

蘇教版教科書在“式與方程”三個模塊中，僅有兩冊書在“你知道嗎？”中提及一點數(shù)學(xué)史知識，一個是最早有意識地系統(tǒng)使用字母的數(shù)學(xué)家韋達，另一點是介紹我國古代數(shù)學(xué)家李治的“天元術(shù)”與朱世杰的“四元術(shù)”，對相關(guān)數(shù)學(xué)史的滲透與拓展存在不足。如對方程及代數(shù)具有重要貢獻的笛卡爾的有關(guān)觀點：“如果我們要解決一個問題，我們首先假定解已經(jīng)得到了，并且給解的結(jié)構(gòu)中需要的每個量命名——不論是未知量還是已知量。平等對待未知量和已知量。然后，我們必須想方設(shè)法建立量和量之間的自然關(guān)系，直到我們發(fā)現(xiàn)用兩種表達式表示同一個量。因為這兩個表達式表示同一個量，所以可以建立等式[2]。”這是笛卡爾在1637年出版的《幾何學(xué)》中最早提出的方程，這一特別的等式的概念未曾提及。由此可見，具有明顯文化符號特征的數(shù)學(xué)史知識需要更多地在編排中給予關(guān)注，將相關(guān)史實所蘊含的人文內(nèi)涵傳遞出來，體現(xiàn)數(shù)學(xué)作為人類文化子系統(tǒng)的特征[3]。

由于小學(xué)數(shù)學(xué)教科書綜合性強，可讀性與易讀性要求高，在關(guān)注整套教科書的編排，關(guān)注“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”等大模塊設(shè)計的同時，還要進一步關(guān)注各個主題之間的有機銜接與融合，注重各主題間的優(yōu)化與滲透，以充分發(fā)揮教科書的功能與價值，增進教科書的有效使用。

參考文獻

[1] 義務(wù)教育課程標準實驗教科書《數(shù)學(xué)》（四年級下冊）[M].南京：江蘇教育出版社，2012：106.

[2] （美）理查德·曼凱維奇.數(shù)學(xué)的故事.馮速譯[M].海口：海南出版社，2002：110.

[3] 鄭毓信，王憲昌，蔡仲.數(shù)學(xué)文化學(xué)[M].成都：四川教育出版社，2000.

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