數值保角變換的新算法

姚國梅YAO Guo-mei；呂毅斌LV Yi-bin；王櫻子WANG Ying-zi

（①昆明理工大學理學院，昆明 650500；②昆明理工大學計算中心，昆明 650500）

（①Faculty of Science，Kunming University of Science and Technology，Kunming 650500，China；②Computing Center，Kunming University of Science and Technology，Kunming 650500，China）

0 引言

數值保角變換是復變函數的一個基本問題，它廣泛應用于物理學和工學等領域。在大多數情況下，需要通過數值計算求解滿足被給定條件的變化函數。保角變換的變換函數求解方法一般可以分為解析法和數值方法。對于解析法，只有在極少數的情況下能用初等函數表示保角變換函數，因此很多情況下，僅僅指出了變換函數的存在，而不能求出變換函數。基于實際工程問題的復雜性，在大多數情況下必須利用數值方法求解滿足被給定條件下的保角變換問題。很多學者對此做了大量研究[5-9]。

本論文研究在模擬電荷法下基于改進高斯消去法的數值計算法來求解保角變換問題，文中首先用模擬電荷法原理通過電荷點和約束點構造約束方程，再利用改進高斯消去法的高精度求解該約束方程，得到模擬電荷和近似保角變換半徑，進而構造出近似保角變換函數，并在文章結尾通過數值實驗驗證算法的有效性。

1 模擬電荷點的計算

本節主要講述利用模擬電荷法對區域外部計算保角變換的數值方法（如圖1）[11]。在圖1 中，C 是z 平面上任意的Jordan 曲線，曲線C 的區域外部作為D，ζj（j=1，2，…，N）是在區域內部配置的電荷點，zi（i=1，2，…，N）是邊界C上的約束點，w=f（z）是從（這里=D∪C）到w 平面上的單位圓外部（包括單位圓邊界）的保角映射。在不失一般性的情況下，假定z=0 在C 的內部且f（0）=0，保角變換函數w=f（z）滿足正規化條件f（∞）=∞，f′（∞）＞0 時表示如下：

其中，γ 是外部變換半徑，g（z）是Dirichlet 型場勢問題：

的解。h（z）是g（z）的共軛調和函數，且h（∞）=0。以下文中均以G，H，Γ 表示g，h，γ 的近似值。

圖1 基于模擬電荷法的數值保角變換

根據模擬電荷法（圖1），可以用圍繞C 的區域內部配置的電荷點ζj（j=1，2，…，N）作為極的對數勢場的1 維結合

來高度近似g（z）[11]，這時g（z）的共軛調和函數h（z）可以被如下函數近似：

未知電荷qj可以通過邊界上選擇N 個約束點zi在滿足外部Dirichlet 問題的邊界條件進行求解，即滿足：

又根據條件g（∞）=0，h（∞）=0，由式（1），（2）可得：

由式（3）和（4）可知qj（j=1，2，…，N）和logΓ 滿足下列線性方程組：

2 數值保角變換的新算法

通過上節討論，根據模擬電荷法的原理，在求解模擬電荷點以及近似變換半徑過程中，首先，要用圍繞C 的區域內部配置N 個電荷點作為極的對數勢場的1 次結合的G（z）來高度近似g（z），而它的共軛調和函數h（z）則用H（z）來近似，再通過邊界條件以及電荷點和約束點的配置構造出約束方程（5）。因此，數值保角變換的算法過程整理如下。

數值保角變換的算法：①給出模擬電荷法的模擬電荷和約束點數量N；②根據模擬電荷法的原理[11]，給出電荷點ζ1，…，ζN，約束點z1，…，zN；③由模擬電荷點和約束點以及變換半徑構造約束方程組（5）；④計算模擬電荷q1，…，qN和變換半徑Γ；⑤根據（1）式和（2）式構造G（z），H（z）；⑥構造近似保角變換函數。

在上述算法過程中，第4 步模擬電荷q1，…，qN和變換半徑Γ 的計算結果對保角變換的精度影響很大。因此，為了高精度地求解模擬電荷和近似變換半徑，采用輾轉相除法的高斯消去法[1-4]求解約束方程（5），進而得到高精度的模擬電荷和變換半徑。

本文的做法是：

①整數處理：如果方程組的系數不是整數，則在方程兩邊同時乘以10w（w 為正整數）使其變為整數（參見表1）；②非負處理：若所要消元的系數為負，則通過同乘-1使其變為正數（參見表2）；③換行：若所要消元的系數不是非零最小，則交換方程位置變為最小（參見表3）；④整數倍消元：若所要消元系數相除時不能整除，則對系數相除取整（參見表4）。這樣做可以使原方程組化為等價方程的過程中不出現除法，從而可以絕對消除因除法帶來的累積誤差。（下列表中，[ ]表示取整符號，&表示邏輯語句且，?表示換行，←表示賦值。）

表1 整數處理

表2 非負處理

表3 換行

表4 整數倍消元

3 數值實驗

在模擬電荷法下基于改進高斯消去法的方法對橢圓外部的保角變換進行數值實驗。程序用MATLAB7.0 編寫，誤差結果采用倍精度計算。誤差的定義是由邊界C 上的點所對應的保角變換點與邊界保角變換所得單位圓盤圓周半徑方向的最大距離。[10]誤差計算公式如下：

電荷點和約束點的配置問題參考文獻[11]。

①當a=3 時，數值實驗結果參見圖2 和圖3。

圖3 a=3

圖2 給出了N=200 時模擬電荷的分布位置（“+”表示模擬電荷位置）；而圖3 則給出了在a=3 時近似保角變換的誤差結果圖，在圖3 中橫坐標表示電荷點的個數，縱坐標則表示誤差。由圖3 可以看出隨著電荷點數的增加，誤差結果將會變小。

②當a=5 時，數值實驗結果參見圖4 和圖5。

圖4 a=5，N=200

類似的，圖4 給出了N=200 時模擬電荷的分布位置（“+”表示模擬電荷位置）；圖5 則給出了在a=5 時近似保角變換的誤差結果圖，由圖5 可以看出隨著模擬電荷數的增加，誤差結果越來越小。

上述實驗說明，隨著模擬電荷點數的取值越多，本算法保角變換的計算精度越高。因此根據計算精度要求，可以提前確定所需模擬電荷點的數量。

圖5 a=5

4 結論

本文在模擬電荷法的原理下，利用改進高斯消去法高精度地計算了模擬電荷點，進而提出了高精度的保角變換的新算法，然后通過典型圖形的數值實驗驗證了該算法的有效性。今后對本算法進行誤差分析，然后可以將其運用到多連通區域的數值保角變換以及流體力學中的渦流計算問題。

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