初中數(shù)學(xué)中“平面展開最短路徑”教學(xué)反思

王輝

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，會遇到各種各樣的問題和阻力.平面展開求最短路徑問題，便是其中之一.在學(xué)習(xí)平面幾何乃至立體幾何的時(shí)候，求解最短路徑是最常見的問題，甚至是在一些數(shù)學(xué)競賽及考試測驗(yàn)中，最短路徑也是熱點(diǎn).每年的中考試題里，關(guān)于最短路徑的問題都是必考的知識點(diǎn).學(xué)生如果不能掌握解答此類問題的方法，在考試的時(shí)候往往會束手無策.想要解決這個(gè)問題，不僅要從解題思路和解答方法入手，更要讓學(xué)生掌握其中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想，學(xué)會轉(zhuǎn)化問題以求取結(jié)果的要領(lǐng)，這樣才能在不斷變換的題目中緊緊抓住問題的核心，從而順利解答.

一、基本工具

所謂的基本工具也就是常用的數(shù)學(xué)定理及公式，只有熟練掌握所需的公式及其變化形式，才能在解題的時(shí)候進(jìn)行有針對的套用，避免產(chǎn)生多余的錯(cuò)誤.常用的定理有：線段公理（即兩點(diǎn)之間線段最短）和垂線性質(zhì)的第二條（即垂線段最短）.

二、轉(zhuǎn)化方式

基本的轉(zhuǎn)化方式有化立為平和化折為直.通過將復(fù)雜問題進(jìn)行變形，使得問題簡單化，是轉(zhuǎn)化思想的核心所在.

1.化立為平

這是在教學(xué)材料中經(jīng)常出現(xiàn)的一種例題，求取螞蟻在不同的幾何表面爬行所經(jīng)過的最短路徑，這在生活中也具有很強(qiáng)的實(shí)用意義.通過化立為平的轉(zhuǎn)化方式，將數(shù)學(xué)問題從立體變成平面，從三維過渡到二維，實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問題簡單化的過程.

例如，有一只螞蟻在棱長是4的正方體ABCD-ABCD中爬行，從頂點(diǎn)A出發(fā)，沿長方體表面爬到點(diǎn)C處，這只螞蟻怎樣爬行的距離最短？最短距離是多長？

解析：螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，爬行的路線經(jīng)過不只一個(gè)平面，無法整體考慮或分部分考慮最短路線.可把螞蟻爬行路線所經(jīng)過的平面展開到同一平面，這樣所要解決的問題就轉(zhuǎn)化成為線段公理（兩點(diǎn)之間，線段最短）.要考慮到立體模型的多面性，螞蟻可爬行的最短路線不止一條，它還有可能經(jīng)過其他的兩個(gè)面，因此要對三種情況進(jìn)行一一分析.題目中所給出的是規(guī)則的正方體，每個(gè)面都是大小相同的正方形，所以三種情況的結(jié)果相等；若遇到所給幾何體并不規(guī)則，其長、寬、高都不相等，那么三種情況的結(jié)果就會有所不同，需要進(jìn)行比較才能得到最短路徑的結(jié)果.

2.化折為直

在很多考試中都將這類題目作為壓軸的大題，它既包含了實(shí)際應(yīng)用的原理，又提高了問題的復(fù)雜程度，增加了很多的迷惑性，使得學(xué)生容易產(chǎn)生畏難心理.通過化折為直的轉(zhuǎn)化方式，利用軸對稱原理可以使兩折甚至多折的問題轉(zhuǎn)化為簡單的點(diǎn)對點(diǎn)（線段公理）、點(diǎn)對直線（垂線性質(zhì)）的問題.

例如，要在直線燃?xì)夤艿繪上修建一個(gè)泵站，分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣（A、B兩點(diǎn)不在直線上，且到直線的距離不同）.那么泵站修在管道L的什么地方可使所用的輸氣管線最短？

解析：根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可知，作點(diǎn)B關(guān)于直線L的對稱點(diǎn)B.對稱軸直線L上的任意一點(diǎn)到點(diǎn)B和點(diǎn)B的距離相等.AC+BC最短的問題便可轉(zhuǎn)化為AC+BC最短，根據(jù)線段公理（兩點(diǎn)之問，線段最短）可知，當(dāng)點(diǎn)C為線段AB與直線L的交點(diǎn)時(shí).AC+BC=AC+BC=AB為最短，即所用的輸氣管線最短.

3.互相轉(zhuǎn)化

例如，平面上的∠AOB中，螞蟻從OB上的點(diǎn)M出發(fā)爬到OA某處返回到OB，這樣來回3次后最終爬到OB的點(diǎn)N處.已知∠AOB=15°，OM=1，ON=4，問螞蟻爬行的最短路徑長為多少？

解析：將這個(gè)問題轉(zhuǎn)化成空間中S型來回疊合的6個(gè)角，將其展開在同一平面內(nèi)，原來的路徑MCDEFGN轉(zhuǎn)化為展開后的MCDEFGN，由于兩點(diǎn)之間線段最短，所以最短路徑為MN.

事實(shí)上，此時(shí)“化立為平”的本質(zhì)還是軸對稱變換，將CD轉(zhuǎn)化為CD是通過作CD關(guān)于OA的軸對稱圖形得到，而將DE轉(zhuǎn)化為DE是通過先作DE關(guān)于OA的軸對稱圖形，再作關(guān)于OB的軸對稱圖形得到.在對稱軸相交的情況下，兩次軸對稱相當(dāng)于一次旋轉(zhuǎn)，故將DE轉(zhuǎn)化為DE可以想成一次旋轉(zhuǎn)變換.

總之，在數(shù)學(xué)中沒有任何一道題目是可以得到完美地解答的，通過不斷地探索和總結(jié)，慢慢地改進(jìn)和提高.化立為平和化折為直的思想就是在解決最短路徑實(shí)際問題中通過不斷積累所總結(jié)出來的一種轉(zhuǎn)化方法.要深刻體會這兩種方法所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，即轉(zhuǎn)化思想.使學(xué)生在學(xué)習(xí)中親身經(jīng)歷探索和發(fā)現(xiàn)的過程，改變傳統(tǒng)的學(xué)習(xí)方式，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力、拓展他們的思維空間.在生活中也要靈活運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，解決一些常見的難題.使學(xué)生不論在學(xué)習(xí)還是生活中都能做一個(gè)聰明而富有創(chuàng)造性的人，為新時(shí)期的教育道路打開嶄新局面.endprint