談談函數方程思想

向琪

函數方程思想即函數與方程之間的轉化思想，也就是將函數問題轉化為方程的觀點來解決，或者將方程問題轉化為函數的思想來解決.這個思想方法既是全國各地高考命題的重點，又是熱點，幾乎每年高考數學試題中都會出現，因此，掌握好函數方程思想是十分必要的.

第一，常見如下三種類型的轉化.

（1）若a>f（x）（a≥f（x））恒成立，則a>f（x）max（a≥f（x）max）（如果函數沒有最大值，其值域是（m，n），則a≥n）.

若a

（2）設函數f（x）的定義域為D，若x1∈D，使a>f（x）（a≥f（x））成立，則a>f（x）min（或a≥f（x）min）（如果函數沒有最小值，其值域是（m，n）則a>m）.

若x1∈D，使a

（3）若方程a=f（x）有解，則a的取值范圍為函數f（x）的值域.

第二，根據以上三點，有下列變式結論.

（1）若對x1，x2∈D，|f（x1）-f（x2）|≤a成立，則a≥f（x）max-f（x）max.

（2）若x1∈D1，x2∈D2，使得f（x1）=g（x2）f（x）在D1上的值域A與函數g（x）在D2上的值域B的交集不是空集，即A∩B≠.

（3）若x1∈D1，x2∈D2，使得f（x1）=g（x2）f（x）在D1上的值域A是函數g（x）在D2上的值域B的子集，即AB.

（4）若f（x），g（x）是閉區間D上的連續函數，則對x1，x2∈D，使得f（x1）≤g（x2）f（x）max≤g（x）min.

（5）若x1∈D1，x2∈D2，使得f（x1）≥g（x2）f（x）min≥g（x）min.

例1已知集合P=x|12≤x≤2|，函數y=log2（ax2-2x+2）的定義域為Q.

（1）若P∩Q≠，求實數a的取值范圍；

（2）若方程log2（ax2-2x+2）=2在12，2內有解，求實數a的取值范圍；

（3）若不等式log2（ax2-2x+2）>2在12，2內恒成立，求實數a的取值范圍.

解：（1）由題意，不等式ax2-2x+2>0在區間12，2上有解，即在區間12，2上至少存在一個實數使不等式ax2-2x+2>0成立.

由ax2-2x+2>0，得a>-2（1x）2+2·1x.

∵x∈12，2，

∴1x∈12，2.

∴函數y=-2（1x）2+2·1x∈-4，12.

∴a>-4.

（2）由題意，方程a=2x+2x2在區間12，2內有解，令x+1=t，則x=t-1，t∈32，3；則a=2x+2x2=2t+1t-2.

令y=t+1t，則y′=1-1t2>0.

∴y=t+1t在區間32，3上是增函數.

∴2t+1t-2∈

32，12，即a∈32，12.

（3）由題意，a>2x+2x2在區間12，2上恒成立，由（2）知，2x+2x2∈32，12，所以a>12.

例2設函數f（x）=ax+xlnx，g（x）=x3-x2-3.如果存在x1、x2∈[0，2]，使g（x1）-g（x2）≥M成立，求滿足條件的最大整數M.

解：由題意，M≤[g（x1）-g（x2）]max=g（x）max-g（x）min即可.

∵g′（x）=3x2-2x=x（3x-2），

∴x∈（0，32）時，g′（x）<0，g（x）遞減；x∈（23，2）時，g′（x）>0，g（x）遞增.

∴g（x）min=g（23）=-8527，g（x）max=max{g（0），g（2）}=1.

∴g（x）max-g（x）min=11227.

即M≤11227，所以滿足條件的最大整數M為4.