挖掘課本內(nèi)涵，靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解題

劉善翔

一、靈活運(yùn)用指數(shù)、對(duì)數(shù)的性質(zhì)解題

例1求y=ln（4x-8）4的導(dǎo)數(shù).

錯(cuò)誤解法：原函數(shù)可化為y=4ln（4x-8）.

令y=4lnu，u=4x-8.

則y′=4u，u′=4.

∴y′=4u·4=164x-8.

正確解法：令y=lnu，u=v4，v=4x-8.

∴y′=1u，u′=4v3，v′=4.

∴y′=1u·4v3·4=1v4·4v3·4=16v=164x-8.

點(diǎn)評(píng)：在錯(cuò)誤解法中，將原函數(shù)變形為y=4ln（4x-8）時(shí)縮小了自變量x的取值范圍，即由 x≠2變成了x>2.一般地，y=ln[f（x）]n求導(dǎo)時(shí)，n為奇數(shù)時(shí)可先化為y=nln[f（x）]，再求導(dǎo)；n為偶數(shù)時(shí)一般不能化為y=nln[f（x）].若f（x）為恒正函數(shù)，也可先化簡(jiǎn)，再求導(dǎo).

例2求y=xx的導(dǎo)數(shù).

錯(cuò)誤解法1：y′=x·xx-1=xx.

錯(cuò)誤解法2：y′=xx·lnx.

正確解法：y=（elnx）x=exlnx，

∴y′=（exlnx）′=exlnx（xlnx）=exlnx（lnx+1）=xx+xxlnx.

點(diǎn)評(píng)：y=xx既不是y=ax形式也不是y=xn形式，不能套用這兩個(gè)函數(shù)的求導(dǎo)公式，應(yīng)利用指數(shù)的性質(zhì)alogNa=N將它化為復(fù)合函數(shù)形式，再求導(dǎo).

二、靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性

課本只討論了開(kāi)區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性，這給我們解題帶來(lái)很大的局限性，其實(shí)，若利用閉區(qū)間上的單調(diào)性，將更加方便.為此，先引入以下結(jié)論：

定理1：若x0∈（a，b）時(shí)，f′（x0） > 0（<0），且f′（b）≥0（≤0），則f（x）在（a，b]上是增函數(shù)（減函數(shù)）.

類(lèi)似地，可得到 f（x）在[a，b）或[a，b]上為增函數(shù)或減函數(shù)的條件.

定理1可結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性的定義進(jìn)行說(shuō)明.

定理2：若 f（x）在（a，b]及[b，c）上都是增函數(shù)（減函數(shù)），則f（x）在（a，c）上也是增函數(shù)（減函數(shù)）.

先證f（x）在（a，c）上也是增函數(shù)的情形，同理可證f（x）在（a，c）上是減函數(shù)的情形.

證明：設(shè)x1、x2是（a，c）上的任意兩個(gè)數(shù)，則

當(dāng)x1、x2均為（a，b]或[b，c）上的數(shù)時(shí)，顯然f（x1）

當(dāng)x∈（a，b），x2∈（b，c）時(shí)，有f（x1）

∴f（x1）

即對(duì)任意x1、x2∈（a，c），都有f（x1）

例3求y=x3的單調(diào)區(qū)間.

解：y′=3x2，令y′=0，則x=0.

∴ y=x3在（-∞，0]及[0，+∞）上是增函數(shù).

∴ y=x3在（-∞，+∞）上是增函數(shù).

定理3：若 f（x）在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且∈（a，b）時(shí) f′（x0）≥0（≤0），且滿(mǎn)足f′（x0）=0的點(diǎn)為一些不連續(xù)點(diǎn)，則y=f（x）在（a，b）上是增函數(shù)（減函數(shù)）.

可結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性的定義及定理1、定理2進(jìn)行證明，此處從略.

例4求證：y=x-sinx在（-∞，+∞）上是增函數(shù).

證明：y′=1-cosx≥0，令y′=0，則x=2kπ（k∈Z）.

∵（2kπ，2kπ）為一些不連續(xù)點(diǎn)，

∴y=x-sinx在（-∞，+∞）上是增函數(shù).

三、靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大（小）值

連續(xù)函數(shù)y=f（x）在[a，b]上有意義，則f（x）在[a，b]上必有最大值與最小值，且最值在區(qū)間端點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)或?qū)?shù)為0的點(diǎn)上取得.若y=f（x）在（a，b）上可導(dǎo)，則求f（x）的最值只須比較端點(diǎn)及導(dǎo)數(shù)為0的各點(diǎn)的函數(shù)值的大小即可，可不必判斷各點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，這種方法對(duì)中差生更為有利，可減少計(jì)算量.若y=f（x）在（-∞，+∞）可導(dǎo)，則求f（x）在（-∞，+∞）的最值，還應(yīng)與x=±∞處的極限進(jìn)行比較.

例5求y=f（x）=（x+1）2（x-1）3在[-2，2]上的最值.

解：y′=2（x+1）（x-1）3+3（x-1）2=（x+1）（x-1）2（5x+1）

令y′=0則x1=-1，x2=1，x3=-15.

∴f（-2）=-27，f（-1）=f（1）=0，f（-15）=-34563125，f（2）=9.

∴y = f（x）在x=-2時(shí)ymin=-27，x=2時(shí)ymax=9.

總之，導(dǎo)數(shù)常出現(xiàn)在函數(shù)中的單調(diào)性、最值、不等式證明以及與解析幾何相聯(lián)系的綜合性問(wèn)題上.因此，在教學(xué)中，要注重概念的理解和運(yùn)用，注重常規(guī)題型的訓(xùn)練和常規(guī)方法的總結(jié)，充分利用導(dǎo)數(shù)解題，突出導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.