試論初中階段如何解一元二次不等式

劉粉喜

初中階段，一元二次不等式的解題方法有很多種，只要方法選擇得當(dāng)，就能夠快速、準(zhǔn)確地解題，達(dá)到事半功倍的成效.

本文通過(guò)實(shí)例，對(duì)一元二次不等式的解題方法進(jìn)行探討.

一、一元二次不等式的因式分解法

這種方法的優(yōu)點(diǎn)：易理解、易接受，思路清晰簡(jiǎn)單.具體操作如下：

第一，將一元二次不等式標(biāo)準(zhǔn)化為ax2+bx+c>0（<0），其中，a>0.

第二，如果在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)ax2+bx+c>0被因式分解，就可以將其分解成為a（x-x1）（x-x2）>0（<0），其中，a>0，這樣可以得到同ax2+bx+c>0（<0）等價(jià)的不等式組.

第三，如果在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)ax2+bx+c>0無(wú)法進(jìn)行因式分解，那么ax2+bx+c>0（<0）就只可能存在兩種解：一是一切實(shí)數(shù)，二是空集.

注：分式不等式f（x）g（x）>0f（x）>0或者f（x）<0，

g（x）>0或者g（x）<0.

分式不等式f（x）g（x）≥0f（x）≥0或者f（x）≤0，

g（x）≥0或者g（x）≤0.

二、含參數(shù)的一元二次不等式解法

在面對(duì)含有字母系數(shù)的問(wèn)題之時(shí)，不能刻意去做分類，而是應(yīng)該注意到能不分類就不分類，根據(jù)規(guī)則到了無(wú)法繼續(xù)解答的時(shí)候，再進(jìn)行分類.同時(shí)，分類的標(biāo)準(zhǔn)也會(huì)相應(yīng)出現(xiàn).簡(jiǎn)單而言，就是以不變應(yīng)萬(wàn)變.具體步驟如下：

第一，定下不等式的名分——屬于一元一次不等式，還是一元二次不等式，而x2的系數(shù)是否為0決定了其屬于一次還是二次.

第二，對(duì)于二次不等式，應(yīng)該重視兩個(gè)重要問(wèn)題：其一，開(kāi)口方向；其二，兩根大小.

例如，解關(guān)于x的不等式ax2-（2a+1）x+2<0（a∈R）.

分析：考慮到x2的系數(shù)為a，所以，在解決不等式時(shí)有兩個(gè)問(wèn)題：第一，不等式屬于哪一種類型；第二，相應(yīng)的二次函數(shù)圖象的開(kāi)口方向以及兩根具體的大小.所以，既要考慮系數(shù)a是否為0及其正負(fù)情況，還需要考慮到兩根具體的大小.

解：原不等式可化為（ax-1）（x-2）<0.

第一， 當(dāng)a=0時(shí)，得到-x+2<0，所以x>2.

第二，當(dāng)a≠0時(shí)，方程（ax-1）（x-2）=0的兩個(gè)根x1=1a，x2=2.

如果a<0，那么1a<2，且此時(shí)二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向下，就可以得到x<1a或x>2.

如果a>0，那么1a-2=1-2aa；且此時(shí)二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向上，

其中，如果1-2a>0，那么02，可以得到2

其中，如果1-2a<0，那么a>12，這時(shí)1a<2，可以得到1a

其中，如果1-2a=0，那么a=12，這時(shí)1a=2，則得到（x-2）2<0，所以x∈.

綜上所述，當(dāng)a=0時(shí)，原不等式的解集為{x|x>2}；

當(dāng)a<0時(shí)，原不等式的解集為：{x|x<1a或者x>2}；

當(dāng)0

當(dāng)a>12時(shí)，原不等式的解集為：{x|1a

當(dāng)a=12時(shí)，原不等式的解集為：空集.

并非所有的不等式都能進(jìn)行因式分解，這時(shí)的求根需要考慮到求根公式，并且并非在遇到任何的參數(shù)的時(shí)候，都需要將其與0進(jìn)行比較，而是要根據(jù)具體的題目來(lái)決定是否進(jìn)行分類，如何分類.比如，（x-a2）（x-a2-1）<0，考慮到a2

總之，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，尤其是一元二次不等式教學(xué)，教師應(yīng)該讓學(xué)生掌握更加輕松的解題方式，這樣才能夠讓學(xué)生不再對(duì)其產(chǎn)生為難情緒，在解決問(wèn)題時(shí)也能夠輕松應(yīng)對(duì)，確保在今后的應(yīng)用當(dāng)中能夠選擇最短的路徑或者是最恰當(dāng)?shù)慕忸}方法來(lái)解決一元二次不等式.