探析最短路徑問題

李桂生

在中考數學試卷中常常出現求幾條線段之和最小值的試題.這類試題通過考查點在直線上運動時與它相關線段和的最值情況，不但能了解學生綜合運用數學知識解題能力，而且還能通過讓學生對 “動”與“定”之間的關系的思考，深入了解學生的探索能力與識別能力，這對指導初中數學教師的教學及引導學生的學習有著重要的意義.

現特對求線段和最小值的幾種題型進行分析、歸納.

一、兩點在一條直線異側

圖1

例1如圖1，已知A、B在直線l的兩側，在l上求一點P，使得PA+PB最小.

解：連接AB，線段AB與直線l的交點P，就是所求.（根據兩點之間線段最短）

二、兩點在一條直線同側

例2如圖2，要在街道旁修建一個奶站C，向居民區A、B提供牛奶，奶站應建在什么地方，才能使從A、B到它的距離之和最短.

圖2圖3

解：只有A、C、B在同一直線上時，才能使AC+BC最小.作點A關于直線“街道”的對稱點A′，然后連接A′B，交“街道”于點C，則點C就是所求的點.如圖3.因為點A關于直線“街道”的對稱點A′，所以AC=A′C.所以AC+BC=A′C+BC，由三角形三邊關系可知，A′C+BC>A′B，所以當點C移到點C′時，AC+BC=A′C+BC= A′C′+BC′=A′B. 故此時AC+BC最小.

三、一點在兩相交直線內部

例3如圖4，已知A是銳角∠MON內部任意一點，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點B，C，組成三角形，使三角形周長最小.

圖4圖5

解：如圖5，分別作點A關于OM，ON的對稱點A′，A″；連接A′，A″，分別交OM，ON于點B、點C，則點B、點C即為所求.因為AB= A′B、AC= A″C，所以當A′B、BC和A″C三條線段在一條直線上時，三條邊AB、BC和AC的長度恰好能夠體現在一條直線上時，三角形的周長最小.

圖6

例4如圖6，A、B兩地在一條河的兩岸，現要在河上建一座橋MN，橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假設河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）

解：將點B沿垂直與河岸的方向平移一個河寬到E；連接AE交河對岸與點M，則點M為建橋的位置，MN即為所建的橋.由平移的性質，得BN∥EM且BN=EM，MN=CD，BD∥CE，BD=CE，所以A、B兩地的距離為：AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN.若橋的位置建在CD處，連接AC、CD、DB、CE，則AB兩地的距離為AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN.在△ACE中，因為AC+CE>AE ，所以AC+CE+MN>AE+MN，即AC+CD+DB>AM+MN+BN.所以橋的位置建在CD處，AB兩地的路程最短.

四、求圓上動點與定點的距離最小的方案設計

在此問題中，可根據圓上最遠點與最近點和點的關系可得到最優設計方案.

例5一點到圓上的點的最大距離為9，最短距離為1，則圓的半徑為多少？

圖7圖8

解：如圖7，當點A在圓外，則最小距離AB=1，最大距離AC=AB+2R=9，所以R=4.如圖8，當點A在圓內，則最小距離AB=1，最大距離AC=2R-AB=9，所以R=5.

總之，在解決最短路徑問題時，我們通常利用軸對稱、平移等變換把不在一條直線上的兩條線段轉化到一條直線上，從而解決問題.