復數輻角主值與反三角函數的關系及應用

盼劉鐵

對于一些復雜的反三角函數問題，如果我們采用普通的三角方法，很難求解.但是，如果我們采用復數法，將反三角函數轉化為復數的輻角主值再求解，既方便省事又簡化了運算.

一、復數輻角主值與其他反三角函數的關系

z1=arctanyx；（-∞，+∞）；（-π2，π2）；

z2=arcsinyx2+y2；[-1，1]；[-π2，π2].

z3=arccosxx2+y2；[-1，1]；[0，π]；

z4=arccotxy；（-∞，+∞）；[0，π].

復數輻角主值與其他反三角函數的關系如下表：

象限

關系第一象限

x>0，y>0第二象限

x<0，y>0第三象限

x<0，y<0第四象限

x>0，y<0

z1與argzargz=z1argz=z1+πargz=z1-πargz=z1

z2與argzargz=z2argz=z2+πargz=z2-πargz=z2

z3與argzargz=z3argz=z3argz=-z3argz=-z3

z4與argzargz=z4argz=z4argz=z4-πargz=z4-π

軸向

關系x軸正半軸

x>0，y=0y軸正半軸

x=0，y>0x軸負半軸

x<0，y=0y軸負半軸

x=0，y<0

z1與argzargz=z1=0z1不存在argz=z1+π=πz1不存在

z2與argzargz=z2=0argz=z2=π2argz=z2+π=πargz=z2=-π2

z3與argzargz=z3=0argz=z3=π2argz=z3=πargz=-z3=-π2

z4與argzz4不存在argz=z4=π2z4不存在argz=-z4=-π2

二、應用

1.巧解反三角問題

例1計算arctanx+arctan1-x1+x（x<-1）.

解：∵x<-1，1-x1+x=-1+21+x<-1，

∴-π2

∴-π

∵arctan（-x）+arctanx-1x+1

=arg（1-xi）+arg[（x+1）+（x-1）i]

=arg（1-xi）[（x+1）+（x-1）i]

=arg[（x2+1）-（x2+1）i]

=-π4.

∴arctanx+arctan1-x1+x=π4.

2.求角問題

例2若α，β為銳角，tanα=17，sinβ=110，

試證：α+2β=45°.

證明：∵α，β為銳角tanα=17，sinβ=110，

0<α<π6，0<β<π6，0<α+2β<π2，

又∵α+2β=arg[（7+i）（3+i）2]

=arg（50+50i）=arg[502（cosπ4+isinπ4）]，

∴α+2β=π4=45°.

3.求解反三角函數的證明題

例3已知a2+b2=c2，

arcsin1a+arcsin1b=π2（a≠0且b≠0），求證：ab=c.

證明：∵arcsin1a+arcsin1b

=arc（a2-1+i）+arg（b2-1+i）

=arg[（a2-1）（b2-1）-1+（a2-1+b2-1）i]

=π2.

∴（a2-1）（b2-1）=1，即a2b2=a2+b2.

又a2+b2=c2，

∴ab=c.

綜上所述，在解決復雜的反三角問題時，如果不能直接求解，可將它轉化為復數輻角問題，或可收到意想不到的效果.

參考文獻

鐘玉泉.復變函數論.北京：高等教育出版社，2013.

李中恢.復數法在三角問題中的應用.南昌：南昌高專學報，2008（4）.

張建忠.復數輻角與反三角函數.甘肅：數學教學研究，1999（1）.

李中恢.復數法在平面幾何中的應用.寧波：寧波教育學院學報，2006（4）.