初中數學數形結合解題思想的應用分析

李永生

摘要：數形結合解題思想是我們初中數學解題中最常用且最方便的解題方法之一.與其他解題方法相比數形結合解題方法有著直觀、形象、易接受的優點.因此，在初中數學教學活動中，教師要多引導學生利用數形結合的思想解決數學問題，鍛煉其分析問題的能力.

關鍵詞：初中數學解題方法數形結合

數學是一門邏輯性很強的學科，研究萬物的數量關系和空間形態是數學學習的目的.然而數學學科基本就是數與形的兩大基礎概念，要充分聯系數與形才能高效解題，準確解答.因此，數形結合的解題方法就是結合數與形的連接點，是數學解題方法中的比較高效的解題方法.數形結合解題方法在初中數學中的應用主要體現在以下幾個方面.

一、數形結合解題方法在函數解題中的應用

在初中數學教學中，函數章節一直是初中數學內容的重點，其中二次函數可以說是初中數學教學中的難點加重點.所以在學習二次函數時，靈活運用數形結合的解題思想就尤為重要.

例1若關于x的方程x2+2kx+3k=0的兩根都在-1和3之間，求k的取值范圍.

解：令f（x）=x2+2kx+3k，由題意及二次函數的圖象可知：

f（-1）>0，

f（3）>0，

f（-k）≤0，即

（-1）2+2k（-1）+3k>0，

32+2k·3+3k>0，

（-k）2+2k（-k）+3k≤0.

解得-1

點評：在學習一些一元二次不等式或者一元二次方程時，可以借助圖象分析，這樣解題更加直觀，更加快捷，而且錯誤率也比較低.

二、數形結合解題思想在應用題中的應用

應用題一直是數學教學中的一個重點題型，它占據著中考的較大分值，而且由于其涉及的知識點較多，無論是在教學中還是在學習中都有很大難度.要解決好應用題，就要鍛煉學生的綜合運用知識點的能力.因此，做好應用題的教學也是初中數學教學的一項重要目標.數形結合解題思想的優勢在應用題解題中表現得淋漓盡致.

圖1

例2某公司推出一種產品，其中x（件）是產品推銷的數量，y（元）是推銷費用，圖1所示表示了該公司每月付給推銷員推銷費的兩種方案.請根據圖解答下列問題：

（1）求y1與y2的函數解析式.

（2）解釋圖中表示的兩種方案是如何付推銷費的？

（3）如果你是推銷員，應如何選擇付費方案？

解：（1）y1=20x，y2=10x+300.

（2）y1表示：是不推銷產品沒有推銷費，每推銷10件產品得推銷費200元，y2是保底工資300元，每推銷10件產品再提成100元.

（3）如果推銷員的業務能力強，可以保證平均每月推銷多于30件時，就選擇y1的付費方案；否則，選擇y2的付費方案.

點評：這種應用題看著比較復雜，其實只要借助圖象分析，就能直觀地顯現出規律.

三、通過數形結合的解題方法解決不等式類型題目

在初中數學題目中，有一類判斷大小值的不等式題目.這種題目如果直接帶入，用傳統方法也能解出答案，但是比較復雜，同時增加了出現錯誤的概率.如果借助數形結合的圖象分析方法，用函數圖象數軸分析就能解決此類題目.

例3已知x為正實數，那么求y=x2+4+（2-x）2+1的最小值.

解：y=（x-0）2+（0-2）2+

（x-2）2+（0-1）2.

圖2

如圖2，令P（x，0）、A（0，2）和B（2，1），則y=PA+PB.

作B點關于x軸的對稱點B′（2，-1），則y的最小值為AB′=32+22=13.

點評：這類題目只要將公式稍作化簡，再借助函數圖象，可以找到解題的關鍵點.在碰到如此抽象的題目時，要靈活運用圖象分析方法，利用數形結合思想解決問題.

總之，數形結合思想在初中數學教學中時時都會出現.通過把數與形之間相互轉換，可以把原本抽象的數學問題直觀化、具體化.在教學中，教師應讓學生掌握數形結合的解題思想，鍛煉學生的分析思維能力，從而提高學生學習數學的能力.