在高中數學思維課堂的研究中成長

● 高 峰

2013年12月26日，青島二中分校一年一度的教學工作會議如期召開了。我很榮幸能作為理科代表，上了一節主題為“重塑價值，激活思維”的展示課，二中本校數學教研組長、省特級教師于世章老師對這節課給予了高度評價。可我知道這堂課的成功不是偶然的，它凝聚了我對數學教學的理解和26年來我對數學思維課堂研究孜孜以求地探索。數學是思維的體操，數學是思維的工具，數學語言與符號是思維訓練的載體，數學教育的重要目的就是培養學生的思維能力，促進學生思維的發展是數學課堂教學的靈魂，教師要像火把那樣去點燃學生數學思維的火花。至今，我還清楚地記得探究思維課堂的過程中遭遇的困惑和糾結以及在解決這些困惑時帶給我的靈動。

一、有趣的情境像磁鐵，吸引學生打開思維之門

思維從直接經驗的情境而起，人們不會無故思維，思維不會憑空而起，在學校里，思維訓練最大的困難是，學校里缺少可以引起思維的經驗的情境，我們要打開學生思維之門，就要為他們創造這樣的情境，貼近生活的情境最生動也最有趣。領悟到的這一點卻不是一蹴而就的。

1987年我大學畢業了，但不幸卻突然降臨到我的頭上。5月的一天，一向身體強健的父親突發心梗不幸去世，照顧兩腿患股骨頭缺血壞死的母親的重擔立馬落到我的肩上。由于母親單位宿舍離二中太遠，我只能放棄去二中母校任教的機會，來到離家不到500米的青島二十五中。據說那里的教學狀況不容樂觀，但對我這個高、初中都在二中這樣的優質高中上學的人來說，還是沒有什么概念。開學沒幾天我就感覺出校園的氛圍好像哪里不對，由于學生學習基礎相對較差，沒有養成良好的學習習慣，老師上課經常要停下課維持紀律。這是我始料未及的。印象中，做老師很美，可以帶著一群孩子跑來跑去，歡聲笑語；可以在黑板上揮灑自如，知識便隨著粉筆淌出，涓涓不停。直到自己做了老師，才發現美是需要付出很多代價的，老師自身要有滿腹的學問，縝密的思維以及較強的管理能力。這些對于剛剛踏上講臺的我來說簡直要成了天底下最困難的事。

我第一個想到的是去向老教師請教。環顧數學組內男老師居多，下了課他們一般沒什么話，默默地點上一支煙抽起來，我小心的與鄰近的幾位老師提出聽課學習的要求，基本遭到婉拒：“沒什么好聽的。這些學生教的好不好結果都一樣！”只有對桌的孫老師允許。隨著上課鈴聲響起，孫老師一上課就強調：“兩手放在桌子上，眼睛看著我的臉！”。孫老師嚴厲的聲音果然奏效，隨眼神迷茫但少有學生做小動作，感覺孫老師總結的幾個題型也很不錯，下課剛想張口要她的備課本學習下，卻看見她麻利的鎖緊辦公室的抽屜，我突然發現那是一本舊的前后都退色并卷了邊的教案，直覺告訴我這本教案也許用了好久……我該怎么辦？我職業的價值何在？難道我的未來也要重復昨天的故事嗎？這個念頭深深的刺痛了我，我不甘啊！我想既然數學以它高度的抽象性令學生們望而生畏，也許可以從改變孩子們心底里枯燥的數學開始。沒有語文的詩情畫意，沒有英語的異域風情，數學課堂如何才能變得“情趣盎然呢”？那時，教室里有了幻燈機，我每節課都親自設計幻燈片，從黑白到彩色，從靜止到動態。后來，學校里有了電腦，使我如魚得水，因為信息技術可以充分發揮其在音、視、聲等各個方面的優勢，動態地顯示出知識的演變過程，精心制作的課件能使課堂變靜為動，變無聲為有聲，使教學難點由復雜變為簡單，大大激發了學生的學習興趣。

上述生動和趣味性的學習材料，就連幾個常開小差的學生也安靜了下來，下課鈴響時，一個聲音傳來：“啊！這么快就下課了！”，我的心中一陣竊喜，我終于找到了打開學生思維之門的鑰匙了！回到辦公室，我靜靜的回味這節課，通過情景教學把枯燥無味的傳授知識變為主動有趣的獲取知識，使學生在愉快中學習，在興趣中記憶，收到了事半功倍的效果。思考的結論正如數學家張壽武所說：“樂趣才是數學研究的持久動力。”

“轉軸撥弦三兩聲，未成曲調先有情。”一個好的開端是師生間建立感情的第一座橋梁，它能引起學生的興趣，又能激發學生的求知欲望，使教學活動進行的生動、活潑、自然。這次的成功使我領悟到：興趣是開啟數學思維之門的金鑰匙。教學一旦引起了學生的興趣，啟動了學生的思維之門，就會對學科產生強烈的求知欲望，短短幾年，我所教的學生就被我這個年輕的“小老師”所“征服”，教育教學成績特別顯著，所教班級在全校或全市同類學校中名列前茅。我在1998年、2000年連續兩次被評為青島市青年教師優秀專業人才稱號。

二、請君入甕，思維活動貫穿于課堂始終

教數學一定教思維的，因為思維課堂是探索教學本質，理性思考課堂文化的教育實踐。思維課堂突出思維培養，追求人人走向深度學習。它包括個體思維的深入挖掘與集體思維的快樂共享，只有做到兼顧思維的個體發展和集體提升，才能走進真正意義上的思維課堂。問題導學、深度思維，是思維課堂的重要特征，也是思維課堂的必然要求。可你信不信，現在看來似乎淺顯的不能再淺顯的道理，對我來說也是畫著一段弧線才認定的。

正當我為自己的教學成績沾沾自喜的時候，一次和班里的后進生談話，學生怯怯地說：“老師，你講的數學挺有意思，我比以前喜歡數學了，可是我們學這些究竟有什么用呢？”我一下子被問住了。是啊！花這么大的力氣學會這些數學公式、定理，難道僅僅為了應付考試？對將來不從事數學專業的人，是否沒有任何意義？這個疑問使我十幾年的積攢的驕傲幾乎喪失殆盡。事后我試圖從教材每一章節的內容中，尋找數學與生活的關系，期待聯系學生已有的生活經驗和已有知識進行教學，喚起學生已有的感性認識，如：立體幾何中可以利用學生所在的教室講解正方體；數列里可以設計“家里買房買車用分期付款的方法，算算用10年還是20年付款劃算”等。這種回歸生活學數學的方式讓數學自身的魅力得到了進一步的展現，也讓學生感受到數學有用，數學就在我們身邊。一學期過去了，在期末考試中，我所教的學生的整體水平卻看不出任何變化，為什么這次學科生活化的努力，并沒有必然導致學生學習效率的提高呢？原來數學知識源于生活，但并不等于生活本身的摹本。它是對生活中的數量關系與空間形式的提煉。因此，它高于生活、概括生活，具有高度的抽象性。這個結論迫使我思考更深層次的問題：數學本身的魅力到底在哪里？當學生們把在學校里學習的數學公式、定理都忘掉的時候，剩下的究竟是什么呢？

愛因斯坦說過：“如果人們已經忘記了他們在學校里所學的一切，那么所留下的就是教育”。物理學家勞厄有句名言：“重要的不是獲得知識，而是發展思維品質和能力。”是的，沒有什么比思維品質的培養更為重要的了，數學學科的使命是培養學生的思維能力！我們先人的智慧有 “三思而后行”，“吾日三省吾身”，思維的價值之一，即在于能延緩不可挽救的行動的采取，有思維習慣的人，總是把自己的行動盡量地當做試探的，去觀察，思考，推理，不盲目行動，即使實際行動的結果否定了原來的假說，對有思維習慣的人來說，這種失敗也不只是失敗，而是教訓。在數學里，我們可不靠感覺的觀察，而得到觀念的聯絡。數學是推理的典型，無論幾何學還是代數學，處處充滿著聯合觀念而推理成功的著例。于是，我對自己提出了新的目標，打造思維課堂，培養學生數學思維能力！

2004年，高中新課程改革的啟動給我帶來了及時雨，新課程標準要求教師在備課的過程中必須精心創設教學情境，有效地調動學生主動參與教學活動，使其學習的內部動機從好奇逐步升華為興趣、志趣、理想以及自我價值的實現。數學學習不僅僅是記憶一些重要的數學結論，還要發展數學思維能力和積極的情感態度。反思自己以往的做法，我欣喜的對自己的教學經歷做出下面的判斷：用情景的設計激發學生的興趣，用數學生活化方式溝通學生已有知識與新學知識之間的聯系、使新課的學習切入學生的經驗系統，竟然冥冥之中和新課改要求相吻合，高興之余，發現了自己教學水平停滯不前的原因，這成為我突破自我進入教職生涯第二個階段的突破口，那就是：我只注意了課堂導入時思維的啟迪，而沒有使思維活動貫穿于課堂學習的全過程。那么，什么可以作為引領學生思維活動于課堂始終的力量呢？如果我借“題”發揮，設置開放性問題進行引領，也許可以使思維活動貫穿于課堂始終。在直線與圓錐曲線的位置關系的教學中，我做了大膽的嘗試，把一個常規問題進行這樣設置的：“直線y=3x+m與拋物線y=x2相交于A、B兩點，_____，求直線AB的方程。你能對直線補充一個恰當的條件，使直線方程得以確定嗎？”此題一出示，學生的思維馬上活躍起來，補充的條件也形形色色，如：

財務共享服務中心是一種全新的概念，很多企業都渴望利用財務共享中心來實現降低成本目標，這其實是對財務共享中心的概念不明確的表現，并不是所有企業都需要建立財務共享中心，也不是任何企業都可以建立財務共享中心。首先要明確，財務共享中心并不能幫助所有企業實現財務數據規范化和標準化，也并不能幫助所有企業降低財務成本，節省人力資源。施行財務共享服務中心首先要保障企業擁有足夠的經濟實力，并且要擁有一定數量且分布各地的分公司，每個分公司都擁有自己的辦事處和銷售點，而且在國外的分公司實行財務共享服務中心要收到當地的法律保護。目前而言，適合建立財務共享服務中心的企業多為金融企業、服務企業以及銷售企業。

（2）OA⊥OB；

（3）線段AB被y軸平分；

（4）線段AB的中點到y軸的距離最短。

學生暢所欲言，涉及到的知識有韋達定理、弦長公式、中點坐標公式、兩條直線互相垂直的充分必要條件、數形結合思想等，學生不自覺地進入了自主學習狀態。這是一個開放題，其目的在于通過學習提高學生發現問題、吸收信息，主動獲取知識、重組應用的能力。這個案例告訴我：在思維課堂中，問題導學與深度思維相互促進，表現在學中問、問中思、思中動的深度學習過程中。問題導學可以發揮問題情境的優勢，有效喚醒學生的內部動機，最大限度地發揮學習者的學習積極性和主動性；深度思維則能挖掘問題的本質，不斷激發內部的潛力。

我還嘗試了一題多變，一題多問以及一題多解等多種形式進行借“題”發揮，引導學生多方法、多視角思考問題和發現問題，形成良好的思維品質，從而在很大程度上培養了學生的思維開拓性。功夫不負有心人，我的課堂教學效益大大提高，教學成績有了質的飛躍。如：2007年，我所教的高三10班在高三全市第一次模底考試中平均分高出市平線3.1分，名列全市第6名；二模平均分又高出市平線，名列全市第5名，及格率列全市第4名，受到校領導的表揚；在高考也取得了特別突出的成績。在學生思維能力得到培養的同時，我自己也得到了成長。2005年9月，我獲得青島市教學能手稱號，論文《新課程理念下的教學反思》在2005年市高中數學學科優秀論文評選獲一等獎；同年8月被青島市人事處教育人才培訓學院聘請為“青島市青年教師培訓班主講教師”，在指導青年教師提高課堂教學效果和能力等方面作出了突出的貢獻；《突破橢圓焦點三角形中的思維定勢》在2006年發表于《課程改革與實踐》第5期；《如何在課堂教學中體現課程改革的精髓》在2006年海南人教普高數學課標實驗經驗交流會上交流并獲一等獎；同年2月編寫《中學教材·標準學案·人教A版數學必修4》擔任主編；《中學教材·標準學案·北師大版數學必修4》擔任副主編等。

三、反省思維在研究性實踐活動中誕生

沒有一個情景會帶著問題同時出現，常言道：題目出的好，一半解答了。訓練學生解決已經準備好的問題并不能培養他們自己發現和選擇重要的問題。一直以來，我忽略了思維的一個重要形態，問題，將直接經驗的、感覺理智化成為一個待解決的問題。一個沒有訓練的人，會亂猜，妄想，而受過思維訓練的人，會根據觀察找出真正的困難所在，形成一個明確的問題。要想真正培養學生的思維品質，教師不僅要教會學生如何解決問題，也要教會他們發現值得解決的問題。我找到了繼續前進的方向。

現在想來，把思維教學上升到反省思維的高度得益于2010年我校改為青島二中分校這一契機。受孫先亮校長教學理念的啟迪，使我漸漸領悟到：好的教育不是給予，而是一種激發。在“青島市中小學科研工作站第五屆訪學站”學習的一年里，在閱讀經典的過程中，使我有頓悟的感覺。俗話說：一本好書就是一個好朋友，一個優秀的教育思想就是一位好老師。他們啟迪了我的教育智慧，如果能把學生帶到一個環境，幫助他們成為更好的學習者，感到需要問個 “為什么？ ”、“是什么？ ”、“怎么形成的？ ”、“如何變化的？ ”等，那么就能促進學生思維的真正發展。學生的問題意識越強烈，他們的思維就越活躍，越富有創造性。可我如何才能讓學生會問問題呢？

原來，學生并不是空著腦袋走進教室的。在日常生活中，在以往的學習中，他們已經形成了豐富的經驗。雖然，有些問題他們還沒有接觸過，沒有現成的經驗，但當問題一旦呈現在面前時，他們往往也可以基于相關的經驗，依靠他們的認知能力，形成對問題的某種解釋。而且，這種解釋并不都是胡亂猜測，而是從他們的經驗背景出發而推出的合乎邏輯的假設。所以，教學不能無視學生的這些經驗，而是應當引導學生從原有的知識經驗中“生長”出新的知識經驗。因此要著力于把教學變成有意義的活動而不是完成繁忙的工作。

恰在此時學校要求開發校本課程，組織學科社團。我感覺這是個難得的“試驗田”。正巧我講到“正余弦定理”，利用周五社團活動時間，我托在建筑設計院的同學，借來了測量儀器，帶領數理社團的“社員們”來到二中校園“靜思湖”畔，請同學們設計一個方案：測量與計算位于兩岸的A、B兩處的距離。

這些思維活躍的孩子們一下子陷入了沉默，因為他們發現，這和平日課堂上的問題情景大不一樣，課堂上的數學問題簡單明了，一般都會具體指出讓他們干什么，他們多么希望這次的問題也會這樣清晰明確。可見，在現實生活中，問題解決的第一步是確定問題的存在。情境迫著他們去想，參照過去的經驗，很快有人小聲嘀咕起來（也就是反省思維所指的“暗示”）：這是一個解三角形的問題，初中學過解直角三角形，現在我們手里的工具有水平儀、測角儀和卷尺，可以測得陸地間的距離和夾角，因此，如果可以保證角C是直角，邊AC、BC的長可測，則AB邊長可求。馬上有學生反駁道：“若角C不是直角又怎樣求呢？這樣勾股定理不能用了。若角C為銳角或鈍角這個三角形還能解嗎？”。社長梁子英馬上回應：“當然可以！因為根據尺規作圖原理，已知兩邊和一夾角一定可以確定一個三角形，所以理論上AB邊的長是確定的。但是怎么求，我得想想”。學生們的思維漸漸歸束到一個確定的問題，這就是反省思維的第三形態。在實際思維里，每一階段，都有助于暗示的完成，而使它可以作為一個指導的臆說；都有助于問題的確定，而使它更明困難的所在。

帶著這個問題孩子們拖著行李回家了。周一的數學課孩子們給我了一個大大的驚喜，那就是他們把上周五遇到的問題分別用不同的思路給出了解法——余弦定理的幾種證明方法。從反省思維的“臆說”形態直接過渡到“推理”。又到了周五社團活動時間，我看到更多人來到水塘邊觀看、研究、驗證利用余弦定理求不可到達A、B兩點距離的過程。這件事使我認識到，學生至少可以懂得這樣的道理：對于同一事物或困境，看到別人作出了與自己截然不同的反應，這將會激活學生對問題的好奇心，與此同時反過來成為發展自我、認識自我的一個契機。

正當大家欣喜若狂的告訴我最后結果時，我又指著水塘對岸的兩個小亭子說：對岸（不可到達）兩個亭子點之間的距離可不可以知道？這次大家思維的敏捷性明顯高于上次，馬上開始分頭觀察，圍成一圈談論起來，副社長楊占博根據自己畫出的三角形ABC得出下列結論：一個三角形明顯不夠用的。可能需要構建多個三角形。可見，觀念的修正又引導到新發現，新的事實而估量舊的事實。

這個觀點馬上被數學課代表連懷東質疑：“正余弦定理都是在一個三角形中成立的，那么這個題難道不能用正余弦定理來解決？”兩個同學的話使大家轉入到另一個暗示。這使我懂得，情境如果更復雜，思維自然也更縝密。不一會劉昕風同學就畫出了上面那個圖，并且標注出可以測量的邊長DC，以及可以度量的∠ADB，∠BDC，∠BCA，∠ACD。

學生們下面的行為，令我更是目瞪口呆，只見他們為了解決這個問題，把思維過程分為以下幾個遞進的小問題：

1.是否可以用測得的量表示AC？

2.是否可以用你測得的量表示BC？

3.是否可以用你測得的量表示AB？

4.是否可以把已知量和待求量往某一個三角形內集中？

當他們把最后研究的成果交給我的時候，我發現了他們眼睛里閃爍的光芒！他們因為這次“創性的”解決了開始看起來“錯綜復雜，無從下手”的問題，他們懂得了真實世界的問題解決和書本問題的不同，它深深的扎根于多重背景之間，這些背景也影響了問題的解決，有時困難幾乎籠罩了全部情境，必須經過仔細觀察和反省，才漸漸歸束到一個確定的問題，而這時才成為一個真正的問題。

在社團活動這塊“試驗田”上取得的對思維活動的進一步認識是：教學中教師和學生的互動，并不只是簡單的“你問我答式”的形式的互動，而是教師與學生在教學內容上的“思維互動”或“深層互動”。以此為契機，我把這個方法逐漸引入到課堂教學，2012年10月，我成功總結出——小班化高中數學新授課模式為“疑、思、探、歸、用”五字教學法，其中最關鍵的一個字就是“疑”，學生要盡量自己發掘問題，這種能充分調動、發揮學生主體性的探究式學習方式，改變了傳統教學壓抑學生興趣和熱情，影響學生發展思維和智力的狀態，使每個學生的學習興趣和主動意識得以長久的保持。讓學生在自主的學習環境下，自主探索，討論總結，獲得成功。不但學會傾聽，學會討論，而且也學會表達，學會組織，對學生情感態度價值觀的培養與滲透，也許可以延續到學生的一生的發展。

辛勤的勞動終于換來豐碩的成果。2012年11月21日，我通過舉行“全市高中數學學科小班化教學策略與研究”研討與交流會，把課題研究一年來的經驗總結并編輯印刷成冊，為全市小班化趨勢下的課堂教學起到很好的引領和推動作用。我的課堂教學改革和教育科研也進入了一個嶄新的境界。如2011年《校本課程應重點體現學生數學思維能力的培養》發表于《中學數學雜志》，榮獲山東省教學能手稱號；2012年在學校期中總結會上做“講述自己的教育故事”發言；被學校推薦 《青島市優秀教師風采錄》（第十七集）人選。《普通高中數學小班化教學策略與研究》階段性報告獲山東省優秀成果一等獎。在學校“校園人物”評選中榮獲“精彩人物”和“學生最喜歡的老師”稱號和獎杯。2013年在青島市中小學教師“十二五”讀書實踐工程被評為“先進個人”“十佳教育讀書人物”，數學組被評為青島市中小學教師“十二五”讀書實踐工程“十佳教師讀書團隊”，榮獲山東省特級教師稱號。

學生總說喜歡上我的課，說我的課與別人不同，能引發他們思考，我的課堂教學中的什么因素使得學生傾心于我？我重新審視自己的26年的教職生涯，慢慢地找到答案。總結出來，我對思維課堂教學追求這樣三個特點：有趣；有情；有靈動。一個學生或許是空虛而怠惰的，或者雖有興趣而興趣不屬于功課。教師的首要任務是打動他的心情，傳到于他以一種理智的奮激。能夠喚醒一種理智的興趣，或能夠傳到對于一項知識或技能的探求的熱誠。其次，思維是積極的探索、搜索、研究以求發現新事物或獲得已知的事物的新理解。思維實在就是一種疑問。一個有生氣的討論，會把問題的中心顯示出來。在我的課堂中，學生可隨時發表問題及見解，平等的交流，耐心的傾聽，及時捕捉學生的思維的閃光點，把握稍縱即逝的教學機遇，使課堂學習成為再發現，再創造的過程，讓“質疑、解疑”成為課堂教學的主旋律。思維課堂最根本的特點，是教師與學生雙方的生命體驗，而不是一堆知識的羅列。教師引領的關鍵是讓學生確定學習作為自己的目標，而不是爭取完成任務。放手讓學生獨立思考、大膽地嘗試解決新問題，在進行想法的交流和思維的碰撞，是讓學生產生問題的有效方法。

教育是生命之間的對話，在這個對話中，可以超越一切塵世的干擾，而達到精神的愉悅。生命境界的教師把學生作為一個個單獨的生命主體去看待，他能夠深入學生的生命內質，把握學生個體生命的特質，從而引導每個生命的成長。回想26年的教育經歷，我感到一個人生命的高度不在于他每天的忙碌，而是取決于他的追求和夢想。沒有夢想，生命會原地踏步，會像驢子拉磨一樣重復繞圈子。有了夢想，我們才會去追求，才會有實現夢想的重要時刻。我的教育思想在思維課堂的研究中日漸豐富，我的教育教學生活，在實踐中引領教師服務學生愈加豐盈充實。我用我的生命踐行著我的教育夢想。