Matlab在線性代數教學中的應用研究

尹麗,高輝,萬瑩

摘? 要：線性代數是工、管、理科各專業的數學必修課，是學生學習后續專業課的數學工具，同時也是研究生入學必考的科目。把Matlab應用到線性代數的教學中，在課堂上可以吸引同學們的注意力，激發學生學習本門課程的熱情，提高教學效果。學生們在后續的專業課學習和工作中可以靈活使用線性代數這門數學工具。筆者結合課堂教學實踐，舉例說明Matlab在線性代數教學中的作用。

關鍵詞：Matlab應用；線性代數教學；應用研究

中圖分類號：O151.2?????????? 文獻標識碼：A

1?? 引言（Introduction）

線性代數是工、管、理科各專業的數學必修課，是學生學習后續專業課的數學工具，同時也是研究生入學必考的科目。線性代數這門課程的特點是，以我們學校為例，工科教學學時只有32學時，使用的教材是同濟大學數學系的第五版的線性代數，教材中的定義，定理證明抽象，忽略實用工具運用，學生不易理解。傳統的教學過程中，涉及的數據多，教師在黑板上進行大量數據的計算和推導，有部分同學覺得枯燥無味，容易走神溜號，這種現象大大降低了教學效果。

Matlab是英文Matrix Laboratory（矩陣實驗室）的縮寫。Matlab軟件是由美國Mathworks公司開發的，將計算、可視化和編程功能集成在非常便于使用的環境中，是一個交互式的，以矩陣計算為基礎的科學和工程計算軟件。在歐美高等院校，Matlab已經成為線性代數等高級課程的基本教學工具[1]。線性代數中幾乎所有的運算都可以用Matlab簡單的編程實現[2]。

把Matlab應用到線性代數的教學中，在課堂上可以吸引同學們的注意力，激發學生學習本門課程的熱情，提高教學效果。學生們在后續的專業課學習和工作中可以靈活使用線性代數這門數學工具。

2?? Matlab在線性代數教學中的作用（The role of

matlab in linear algebra teaching）

筆者結合課堂教學實踐，舉例說明Matlab在線性代數教學中的作用。

作用（1）Matlab計算功能強大，耗時短，易于解決線性代數計算中的高階問題。

行列式的計算問題。教師可以先講解行列式傳統的基本算法，2階3階可以用對角線法則，3階及以上可以轉化為上三角行列式，在黑板上手算幾個低階且基礎的例題，便于學生們掌握。對于5階以上的高階行列式轉化為上三角行列式的過程中，由于處理的數據比較多，容易出錯。對于高階行列式的計算，教師可以結合Matlab軟件，在計算機上演示，讓學生學會使用命令det（）即可。

例1 求行列式

在Matlab的Command window輸入命令

》

顯示A=

3???? 1??? -1???? 2

-5???? 1???? 3??? -4

2???? 0???? 1??? -1

1??? -5???? 3??? -3

再次輸入》

顯示ans=40??????? 注：算得行列式為40。

同學們會發現程序運行時間非常短，且不容易出錯。

作用（2）Matlab使用起來簡單，操作性強，可檢驗線性代數習題計算結果。

Matlab軟件易于操作，學生們很容易掌握。線性代數中行列式、矩陣的乘法、矩陣的逆、矩陣的秩、線性方程組的解、方陣的特征值、特征向量以及方陣的對角化等多方面的問題涉及的計算量是非常大的。學生在課后練習筆算以后，可以在計算機上通過Matlab軟件來驗證自己的筆算結果。讓學生利用數學軟件來判斷自己不能夠確定的數學問題或結論，或者是檢驗自己所進行的數學運算[3]。使現代的計算機運算與傳統的筆算集合起來，可以提高學生動手實踐能力，為以后專業課的學習和工作中用計算機解決數學問題打下基礎，同時大幅提升學生學習線性代數這門課程的熱情。

矩陣的乘法。教師先詳細介紹傳統的筆算方法。兩矩陣的乘積，首先需要滿足左矩陣的列數等于右矩陣的行數，兩矩陣方可進行乘法運算。乘積的結果矩陣，行數為左矩陣的行數，列數為右矩陣的列數。，矩陣C的元素C為矩陣A的第i行與矩陣B的第j列對應元素乘積之和，計算量不小。學生掌握了矩陣乘法的定義后，教師再介紹使用Matlab軟件，只需先在命令窗口輸入兩矩陣，再用命令A*B即可。

例2 已知，，求BA、AB。

在Matlab的Command window輸入命令

》；

》；

》C=B*A

顯示? ？？？ Error using==>；mtimes

Inner matrix dimensions must agree??? 注：表明矩陣B*A不成立，不能做乘積。

》D=A*Bendprint

顯示?? D=

9??? -2??? -1

9???? 9??? 11????????? 注：

逆矩陣問題。教師先詳細介紹傳統的筆算求解方法。傳統求方陣的逆矩陣，首先得判斷該方陣存在逆矩陣與否，如果對應的行列式不為零，方陣存在逆矩陣，否則不存在。筆算求方陣的逆矩陣有兩種，一種是求方陣對應的伴隨矩陣，。另一種方法是利用初等行變換得到。這兩種筆算的方法都非常基礎，計算量不小。學生先掌握上述兩種求逆矩陣的筆算法后，教師再介紹使用Matlab軟件，只需先在命令窗口輸入矩陣，再用命令即可。

例3 設A，，求

。

在Matlab的Command window輸入命令

》；

》

顯示? Warning： Matrix is close to singular or badly scaled??? 注：出現了奇異矩陣，奇異矩陣A不可逆。

》B=；

》

顯示? ans=

6?? 3?? 4

4?? 2?? 3

9?? 4?? 6???????????????? 注：解得B的逆矩陣。

矩陣的秩的問題。教師先詳細講授傳統方法有兩種：一種是按定義求，求最高階非零子式的階數；另一種方法是對矩陣做初等行變換，使矩陣轉換成行階梯型矩陣，其中非零行的行數為矩陣的秩。很明顯兩種傳統方法筆算的計算量都不小。學生掌握求秩的傳統算法，教師再介紹使用Matlab軟件，只需先在命令窗口輸入矩陣，再用命令即可。

例4 設A，求矩陣A的秩。

在Matlab的Command window輸入命令

》；

》

顯示 ans=3???????????? 注：秩為3。

矩陣的特征值與特征向量問題。教師先詳細介紹傳統方法，首先求得特征多項式的根，由解得對應的特征值；再求所對應的特征向量，由解得，上述兩步涉及求行列式，解線性方程組，計算量比較大。學生學會特征值，特征向量的筆算求法，教師再介紹使用Matlab軟件，只需先在命令窗口輸入矩陣，再用命令即可，其中對角陣D的對角元為矩陣A的特征值，矩陣V的列向量是相應的特征向量。

例5 求矩陣A的特征值和特征向量。

在Matlab的Command window輸入命令

》；

》

顯示?? V=

0.7071??? 0.5774??? 0.4082

-0.7071??? 0.5774??? 0.4082

0?? -0.5774??? 0.8165

D=

-1.0000???????? 0???????? 0

0?? -0.0000???????? 0

0???????? 0??? 9.0000

注：特征值-1對應的特征向量為矩陣V的第一列向量，特征值0對應的特征向量為矩陣V的第二列向量，特征值9對應的特征向量為矩陣V的第三列向量。

》

顯示ans =

1.0000??? 2.0000??? 3.0000

2.0000??? 1.0000??? 3.0000

3.0000??? 3.0000??? 6.0000

注：驗證了。

3?? 結論（Conclusion）

Matlab作為一種實用性很強的數學軟件在線性代數教學中發揮了很好的作用，但是也不能忽視傳統的筆算做題和概念及理論證明。使用Matlab軟件重視實用性，為學生后續的學習和工作做好準備，傳統的筆算做題和概念及理論證明培養了學生邏輯思維，兩者的結合可以產生創新，大大提高線性代數的教學效果，提升學生動腦動手能力。

參考文獻（References）

[1] 李秀珍，龐常詞.數學實驗[M].北京：機械工業出版社，2008.

[2] 郭文艷，趙鳳群.數學建模及Matlab軟件在矩陣運算教學中的

應用[J].大學數學，2013，29（4）：87-90.

[3] 尹麗，高勝哲.運用數學軟件提高高等數學教學質量[J].軟件

工程師，2012，12：34-35.

作者簡介：

尹? 麗（1981-），女，本科，講師.研究領域：基礎教學.

高? 輝（1978-），女，碩士，講師.研究領域：基礎教學.

萬? 瑩（1978-），女，本科，講師.研究領域：基礎教學.endprint

顯示?? D=

9??? -2??? -1

9???? 9??? 11????????? 注：

逆矩陣問題。教師先詳細介紹傳統的筆算求解方法。傳統求方陣的逆矩陣，首先得判斷該方陣存在逆矩陣與否，如果對應的行列式不為零，方陣存在逆矩陣，否則不存在。筆算求方陣的逆矩陣有兩種，一種是求方陣對應的伴隨矩陣，。另一種方法是利用初等行變換得到。這兩種筆算的方法都非常基礎，計算量不小。學生先掌握上述兩種求逆矩陣的筆算法后，教師再介紹使用Matlab軟件，只需先在命令窗口輸入矩陣，再用命令即可。

例3 設A，，求

。

在Matlab的Command window輸入命令

》；

》

顯示? Warning： Matrix is close to singular or badly scaled??? 注：出現了奇異矩陣，奇異矩陣A不可逆。

》B=；

》

顯示? ans=

6?? 3?? 4

4?? 2?? 3

9?? 4?? 6???????????????? 注：解得B的逆矩陣。

矩陣的秩的問題。教師先詳細講授傳統方法有兩種：一種是按定義求，求最高階非零子式的階數；另一種方法是對矩陣做初等行變換，使矩陣轉換成行階梯型矩陣，其中非零行的行數為矩陣的秩。很明顯兩種傳統方法筆算的計算量都不小。學生掌握求秩的傳統算法，教師再介紹使用Matlab軟件，只需先在命令窗口輸入矩陣，再用命令即可。

例4 設A，求矩陣A的秩。

在Matlab的Command window輸入命令

》；

》

顯示 ans=3???????????? 注：秩為3。

矩陣的特征值與特征向量問題。教師先詳細介紹傳統方法，首先求得特征多項式的根，由解得對應的特征值；再求所對應的特征向量，由解得，上述兩步涉及求行列式，解線性方程組，計算量比較大。學生學會特征值，特征向量的筆算求法，教師再介紹使用Matlab軟件，只需先在命令窗口輸入矩陣，再用命令即可，其中對角陣D的對角元為矩陣A的特征值，矩陣V的列向量是相應的特征向量。

例5 求矩陣A的特征值和特征向量。

在Matlab的Command window輸入命令

》；

》

顯示?? V=

0.7071??? 0.5774??? 0.4082

-0.7071??? 0.5774??? 0.4082

0?? -0.5774??? 0.8165

D=

-1.0000???????? 0???????? 0

0?? -0.0000???????? 0

0???????? 0??? 9.0000

注：特征值-1對應的特征向量為矩陣V的第一列向量，特征值0對應的特征向量為矩陣V的第二列向量，特征值9對應的特征向量為矩陣V的第三列向量。

》

顯示ans =

1.0000??? 2.0000??? 3.0000

2.0000??? 1.0000??? 3.0000

3.0000??? 3.0000??? 6.0000

注：驗證了。

3?? 結論（Conclusion）

Matlab作為一種實用性很強的數學軟件在線性代數教學中發揮了很好的作用，但是也不能忽視傳統的筆算做題和概念及理論證明。使用Matlab軟件重視實用性，為學生后續的學習和工作做好準備，傳統的筆算做題和概念及理論證明培養了學生邏輯思維，兩者的結合可以產生創新，大大提高線性代數的教學效果，提升學生動腦動手能力。

參考文獻（References）

[1] 李秀珍，龐常詞.數學實驗[M].北京：機械工業出版社，2008.

[2] 郭文艷，趙鳳群.數學建模及Matlab軟件在矩陣運算教學中的

應用[J].大學數學，2013，29（4）：87-90.

[3] 尹麗，高勝哲.運用數學軟件提高高等數學教學質量[J].軟件

工程師，2012，12：34-35.

作者簡介：

尹? 麗（1981-），女，本科，講師.研究領域：基礎教學.

高? 輝（1978-），女，碩士，講師.研究領域：基礎教學.

萬? 瑩（1978-），女，本科，講師.研究領域：基礎教學.endprint

顯示?? D=

9??? -2??? -1

9???? 9??? 11????????? 注：

逆矩陣問題。教師先詳細介紹傳統的筆算求解方法。傳統求方陣的逆矩陣，首先得判斷該方陣存在逆矩陣與否，如果對應的行列式不為零，方陣存在逆矩陣，否則不存在。筆算求方陣的逆矩陣有兩種，一種是求方陣對應的伴隨矩陣，。另一種方法是利用初等行變換得到。這兩種筆算的方法都非常基礎，計算量不小。學生先掌握上述兩種求逆矩陣的筆算法后，教師再介紹使用Matlab軟件，只需先在命令窗口輸入矩陣，再用命令即可。

例3 設A，，求

。

在Matlab的Command window輸入命令

》；

》

顯示? Warning： Matrix is close to singular or badly scaled??? 注：出現了奇異矩陣，奇異矩陣A不可逆。

》B=；

》

顯示? ans=

6?? 3?? 4

4?? 2?? 3

9?? 4?? 6???????????????? 注：解得B的逆矩陣。

矩陣的秩的問題。教師先詳細講授傳統方法有兩種：一種是按定義求，求最高階非零子式的階數；另一種方法是對矩陣做初等行變換，使矩陣轉換成行階梯型矩陣，其中非零行的行數為矩陣的秩。很明顯兩種傳統方法筆算的計算量都不小。學生掌握求秩的傳統算法，教師再介紹使用Matlab軟件，只需先在命令窗口輸入矩陣，再用命令即可。

例4 設A，求矩陣A的秩。

在Matlab的Command window輸入命令

》；

》

顯示 ans=3???????????? 注：秩為3。

矩陣的特征值與特征向量問題。教師先詳細介紹傳統方法，首先求得特征多項式的根，由解得對應的特征值；再求所對應的特征向量，由解得，上述兩步涉及求行列式，解線性方程組，計算量比較大。學生學會特征值，特征向量的筆算求法，教師再介紹使用Matlab軟件，只需先在命令窗口輸入矩陣，再用命令即可，其中對角陣D的對角元為矩陣A的特征值，矩陣V的列向量是相應的特征向量。

例5 求矩陣A的特征值和特征向量。

在Matlab的Command window輸入命令

》；

》

顯示?? V=

0.7071??? 0.5774??? 0.4082

-0.7071??? 0.5774??? 0.4082

0?? -0.5774??? 0.8165

D=

-1.0000???????? 0???????? 0

0?? -0.0000???????? 0

0???????? 0??? 9.0000

注：特征值-1對應的特征向量為矩陣V的第一列向量，特征值0對應的特征向量為矩陣V的第二列向量，特征值9對應的特征向量為矩陣V的第三列向量。

》

顯示ans =

1.0000??? 2.0000??? 3.0000

2.0000??? 1.0000??? 3.0000

3.0000??? 3.0000??? 6.0000

注：驗證了。

3?? 結論（Conclusion）

Matlab作為一種實用性很強的數學軟件在線性代數教學中發揮了很好的作用，但是也不能忽視傳統的筆算做題和概念及理論證明。使用Matlab軟件重視實用性，為學生后續的學習和工作做好準備，傳統的筆算做題和概念及理論證明培養了學生邏輯思維，兩者的結合可以產生創新，大大提高線性代數的教學效果，提升學生動腦動手能力。

參考文獻（References）

[1] 李秀珍，龐常詞.數學實驗[M].北京：機械工業出版社，2008.

[2] 郭文艷，趙鳳群.數學建模及Matlab軟件在矩陣運算教學中的

應用[J].大學數學，2013，29（4）：87-90.

[3] 尹麗，高勝哲.運用數學軟件提高高等數學教學質量[J].軟件

工程師，2012，12：34-35.

作者簡介：

尹? 麗（1981-），女，本科，講師.研究領域：基礎教學.

高? 輝（1978-），女，碩士，講師.研究領域：基礎教學.

萬? 瑩（1978-），女，本科，講師.研究領域：基礎教學.endprint