MATLAB在函數極限定義教學中的應用

【摘要】函數的極限定義在高等數學的學習中非常重要，但是因為函數的極限定義比較抽象，學生不好理解，matlab繪圖可以幫助我們更直觀理解極限的定義。

【關鍵詞】matlab ?極限 ?應用

【中圖分類號】G420 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）10-0030-01

函數極限的定義在高等數學學習中非常重要，但是函數極限的定義比較抽象，在教學過程中學生難以理解，尤其是二元函數極限的定義更是教學中的難點，我們在教學中用matlab繪圖來幫助學生進行理解。我們從一元函數出發，用matlab先研究一元函數極限的定義再研究二元函數極限的定義。

1.一元函數極限的定義：

定義1[1]： 設函數y=f（x）在x0點附近有定義，若當x無限接近于x0時，函數f（x）的值無限接近于常數A，則稱當x趨于x0時，f（x）以A為極限。記為f（x）=A。

定義2[1]： 設在f（x）在x0的某空心鄰域內（x0）有定義，若存在一個常數A，>0，當0<|x-x0|<？啄時，都有|f（x）-A|<？啄，稱函數f（x）在點x0有極限，A稱為f（x）在點x0的極限，記為f（x）=A 。

對于函數定義的講解，我們用一個例子在說明。

例1.3x+1=4

我們結合matlab作出圖形來看這個例子。

x=0.96：0.00001：1.04;y1=3*x+1;y2=4;

y3=4+0.1;y4=4-0.1;y5=4+0.05;y6=4-0.05;

y7=4+0.01;y8=4-0.01;

plot（x，y1，'k'，x，y2，'b'，x，y3，'r'，x，y4，'r'，x，y5，'g'，x，y6，'g'，x，y7，'m'，x，y8，'m'）

從圖上可以看到極限定義1的描述，離1越接近，函數值到y=4的距離就越小，并且要多小就多小。為了衡量距離越來越小，可以用|f（x）-4|越來越小來衡量，反過來，可以給定一個越來越小的距離，離1越近的點屬于越小的距離區間。這就是定義2的描述。用matlab作圖可以幫助我們理解函數極限的定義2，在圖上我們可以看到，先給一個距離0.1，兩個紅線之間的點到藍線的距離都<0.1，再給一個距離0.05，兩個綠線之間的點到藍色線的距離都<0.05，最后給一個距離0.01，兩個品紅線之間的點到藍色線的距離都<0.01，也就是離x=1越近點的其函數值f（x）=3x+1離y=4的距離越小，也就是越來越接近y=4，要多接近就能多接近，這就是我們函數在一點處極限的定義。

我們還可以形象點講解。在講解的時候可以引一個從A地到B地的例子，坐火車從A地到B地，我們可以說自己離B地越來越近，所以B為我們的極限，也可以先畫出一個個距離標志，我們坐火車的時候可以說我們離B地有500km，隨著時間的推移，我們離B地有100km，50km，10km，5km，1km，300m，10m，0m。也就是隨著時間的推移，我們離B的距離越來越小。

2.二元函數極限的定義：

在二元函數極限定義里，學生最大的問題是二元函數的圖形想象不出，沒有圖形，極限的概念學生更是理解不了，我們試著用一元函數類似的方法來講解。

例2.z=在（0，0）點附近的變化趨勢？

用matlab 繪圖：

t=0：pi/20：2*pi;r=0：pi/20：pi/2;

[r，t]=meshgrid（r，t）;

x1=sin（r）.*cos（t）;y1=sin（r）.*sin（t）;

z1=cos（r）;surf（x1，y1，z1）;

hold on

x2=-1：0.01：1;y2=-1：0.01：1;

[X2，Y2]=meshgrid（x2，y2）;

z2=ones（size（x2））;Z2=meshgrid（z2）;

surf（X2，Y2，Z2）

利用這個圖我們可以解釋二元函數極限的定義：在xoy平面上的點（x，y）無限的接近（0，0）時，其對應的曲面上的點（x，y，）無限的接近z=1這個平面，也就是說該點的函數值到平面z=1的距離越來越小，這與一元函數的極限定義是類似的。

定義3[1]：設二元函數z=f（x，y）在點p0（x0，y0）的某個領域（p0，）內有定義，如果（p0，）內任意一點P（x，y）沿任何路徑，無限趨近p0（x0，y0）時，函數f（x，y）都無限接近一個常數A，則稱A為函數f（x，y）在P（x，y）→p0（x0，y0）時的極限，記作：f（x，y）=A。

定義4[2]：？坌？著>0，？堝？啄>0，當0<<，|f（x）-A|<？著，則稱函數f（x，y）在P（x，y）→p0（x0，y0）時的極限，記作：f（x，y）=A。

我們用matlab繼續繪圖，從圖形上我們就可以看到定義4的描述。

參考文獻：

[1]李彬主編.醫科高等數學[M].北京：北京郵電大學出版社，2010.8，6-7;113-114

[2]同濟大學數學系編.高等數學（第六版下冊）[M].北京：高等教育出版社，2007，6（2011，8重印）.58-59

[3]王正林，劉明編著.精通matlab7[M].北京：電子工業出版社，2006

作者簡介：

趙志芳（1981-），女，漢族，山西省稷山縣人，講師，碩士，主要從事高等數學教育研究。