基于脈沖優化控制的軌道轉移修正

黃遠燦，陳冬方

(北京理工大學機電學院，北京100081)

0 引言

在空間飛行器軌道轉移任務中，飛行器受到導航誤差、軌道攝動、推力誤差、入軌狀態誤差等各種誤差因素的影響，將會偏離設計軌道，無法準確地按照設定的軌道達到目標位置。尤其在遠距離轉移時，必須在軌道轉移機動過程中進行中途多次修正，從而使飛行器準確到達目標范圍。為了防止飛行器最終軌跡偏離目標點太大，在飛行過程中要求實際軌跡逼近目標軌跡，但因飛行器攜帶燃料質量有限(即軌道機動能力有限)，所以軌道修正需要結合燃料和狀態誤差問題，進行綜合優化控制。

針對軌道轉移或攔截的優化控制問題，一些國內外學者已進行了相關研究［1-7］。所應用的優化方法一般根據飛行器推進方式進行設計。一種為大推力脈沖控制，另一種為有限推力或小推力的連續型推進方式。文獻［1］中設計了一種受限的二次型優化脈沖控制，其方法主要以最小能量的指標優化控制軌道交會。文獻［2］將優化能量的脈沖控制用于軌道攔截中。針對固定時間的軌道中段攔截問題，文獻［3］設計了一種連續的二次型調節器優化控制。針對深空軌道小推力優化設計，文獻［6］給出了基于偽光譜方法的有限推力軌道轉移優化設計。上述文獻優化控制指標主要是針對能量最小化，但未對軌跡誤差指標進行優化。如果在飛行任務中，對飛行軌道進行適當的修正，最終能減小飛行器與終端目標的偏差。故對軌跡誤差的優化控制，是值得繼續探討的問題，本文主要考慮以大推力脈沖推進系統進行優化控制。文獻［8］提出了一種固定時間間隔的二次型脈沖控制策略，其發展了離散二次型優化方法設計調節器，簡化控制器計算，使得工程應用化加強。因此本文利用該方法進行了軌道轉移優化策略設計。

對于空間飛行器控制模型選擇，主要有用于近圓軌道交會控制的CW(Clohessy-Wiltshire)模型［9］;用于橢圓軌道交會攔截控制的TH(Tschauner-Hempel)模型［10］。本文考慮地球非球形攝動因素的影響，基于攝動方法建立線性控制模型，通過控制使得跟蹤軌跡更接近于目標軌跡。為方便計算，同時對控制模型進行了簡化。

為此，本文通過分析軌道轉移中各種誤差因素，利用攝動法建立控制模型，考慮地球非球形攝動因素建立目標軌跡。然后綜合控制輸入和最小化狀態誤差的優化指標，采用固定時間間隔的線性二次型離散脈沖優化控制方法。最后，針對空間兩點位置的軌道轉移任務，仿真驗證了方法的有效性。

1 軌道轉移控制模型

1.1 問題的數學描述

在空間飛行器軌道轉移運行中，如果考慮轉移時間固定，則空間兩點之間存在一條飛行軌道。僅考慮空間飛行器與地球之間的運動，那么可以簡化為二體問題模型，但實際運行中飛行器受外部多種攝動因素的影響，其中主要有地球非球形攝動、日月引力、大氣阻力、太陽光壓的影響。根據Cowell的攝動力公式［11］，系統方程如下:

式中:anon為地球非球形攝動;a3SL為日月引力攝動;aAD為大氣阻力;aSR為太陽光壓;aoth為其他影響因素。

與此同時，從現有的工程經驗可知，為了達到較好的控制目標，空間飛行器在實際飛行中還需要考慮飛行器自身的一些影響因素。如自身導航測量誤差、姿態控制發動機、軌道控制發動機的攝動、入軌狀態誤差等各種誤差。通常將這類誤差分為兩種:一種為常值偏差或量測值偏差，如慣導量測偏差;另一種為基于白噪聲的隨機干擾，如飛行器工作時發動機的開關機擾動等。所以實際計算模型如下:

式中:athr為發動機干擾;ab為量測偏差;aON為其他噪聲干擾。

對于部分已知的攝動(如地球非球形攝動等)，在計算目標軌道時，可考慮列入目標實際軌道求解，得出一條較為精確的目標軌道。

對于控制方式，本文采用脈沖控制方式，即大推力脈沖式機動轉移。發動機在非常短暫的時間內產生大推力，使空間飛行器獲得脈沖速度。

式中:r(t)，r(t+τ)分別為脈沖控制前、后的位置;v(t)，v(t+τ)分別為控制前、后的速度;Δv為速度變化量的大小。

1.2 控制系統模型

為方便控制策略的應用，本文采用了線性控制模型。考慮軌道轉移的一般性，參照文獻［12］的攝動制導方法，建立控制模型方程。

依據二體問題模型，建立慣性地心坐標系［13］，系統模型方程如下:

假定以實際軌跡與目標軌跡的狀態之差作為控制狀態變量，有:

其中:

式中:r，v為實際位置和實際速度;ro，vo為目標位置和目標速度。

從上式線性化可得，系統方程可寫為如下形式:

其中:

考慮到f1～f6＜2×10－6，隨距離地心越遠系數變得越小。將A陣簡化為:

控制輸入u(t)為:

從而得到本文中的線性控制系統方程式(6)。

2 脈沖優化控制方法

根據線性脈沖控制系統理論［14］可知，本文考慮如下類型的脈沖線性系統:

式中:k=1，…，N;A為n×n陣;Bδ為n×m陣;σ為脈沖時間間隔。

在本系統中，假定采樣間隔時間為σ，因此將式(9)離散化可得:

根據優化性能指標，該優化問題可以看作線性調節器問題。考慮狀態參數和控制參數的最優值函數定義如下:

簡化得:

假設(A，Bδ)穩定，且(A，Q)可測，則離散時間的調節器為:

其中:

根據終端條件可得:

故求得最優反饋控制率為:

3 目標轉移軌道確定

如果基于二體理論假設，忽略攝動影響，在固定時間內的轉移，則可以用Lambert方法求解目標軌道。而實際上因為攝動因素的存在，會造成與目標軌道的偏移。為了減少實際轉移軌道與目標軌道的偏差控制，減少飛行中控制燃料的消耗，需要對目標軌道進行較為精確的定軌。

分析各項攝動力的影響，在空間中高空軌道上攝動影響因素最大的為地球非球形攝動力。目標軌道定軌則可以根據軌道的攝動因素精確分析軌道的受力情況，進而求得軌道的飛行軌跡。

求解方法為:已知空間兩點的位置和軌道轉移時間，則該問題為非線性方程兩點邊值問題求解。考慮地球非球形攝動J2項的影響，使用打靶法，設置給定誤差限制|r*－ro|＜ε，ε＞0，通過 Lambert算法解出初值和末端值。以該初值作為飛行軌道的初值進行數值迭代求解，從而獲得較為精確的目標參考軌跡。如要求更高的目標軌跡的精度，可根據實際工程需求，考慮多種攝動的影響因素，進行精確定軌。

4 數值仿真

本仿真以式(2)為模型，考慮系統中各種誤差、攝動因素的影響，驗證脈沖控制策略的正確和有效性。首先通過建立地心直角坐標系，假定空間中轉移位置兩點為:x0［3.201×106m，6.073×106m，3.402 ×106m］，xf［－2.185 ×107m，3.616 ×107m，2.442×104m］，以及固定轉移時間t=15 000 s。

根據給定的位置和時間，求解目標軌跡的位置和速度。首先利用Lambert方法求出初速度和末速度，根據打靶法，加入地球攝動J2項，反求出目標軌跡。仿真中加入日月引力、大氣阻力攝動的影響。發動機的影響為執行控制時，加入的干擾為athr=1×10－3m/s2;加入隨機噪聲干擾為 aON=1 ×10－4m/s2;慣導測量誤差為ab=1×10－4m/s2;位置測量誤差為±300 m;速度測量誤差為±2 m/s。

控制策略為每2 000 s執行一次控制，控制中系數矩陣 R，Q 分別為:R=10I(3×3)，Q=I(6×6)。

根據文獻［14］可知，線性脈沖系統控制可達的最小脈沖控制次數為p=［m/n］。在本系統中m=6，n=3，通過計算可得p=2，所以在仿真計算中，每次脈沖間隔執行兩次控制。相比文獻［5］中的方法，本文提出的周期脈沖控制方法在控制器的計算上不需每步均進行計算，從而減少了計算時間，簡化了工程計算量。仿真結果如圖1～圖3所示。

圖1 轉移參考軌跡與實際軌跡Fig.1 Trajectory of actual and target orbit

圖1 顯示實際軌跡和目標參考軌跡的運行圖。可以看出，飛行過程中受到各種干擾的影響，控制器能有效地修正運行軌跡。圖2中顯示實際運行軌跡和目標軌跡的位置和速度狀態差值，在末位置較好地跟蹤了目標軌跡。在末端時刻與終點的狀態位置和速度三個方向的偏差為:［585.9 m，－17.9 m，－447.4 m，0.463 m/s，0.243 m/s，－ 0.643 m/s］，距離終點位置為732 m，飛行器達到了預定目標區域。圖3顯示飛行中速度控制改變量的大小。

圖2 位置和速度的變化Fig.2 Change graph with position and velocity

圖3 脈沖速度控制變化Fig.3 Control of impulsive velocity

5 結束語

對于空間軌道轉移的修正問題，本文提出了一種簡化的二次型脈沖優化控制方法。在考慮攝動和測量誤差等因素條件下，利用攝動制導的方法建立系統控制模型，同時對系統進行線性簡化。文中給出的仿真驗證測試說明，最終誤差達到遠程軌道轉移中段要求的控制范圍。控制策略簡化了計算量，提高了飛行器控制實時計算性能，可用于軌道轉移任務中間段的修正控制。

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