用參數方程解決點軌跡方程的優越性

周志峰

一、問題提出

關于點的軌跡方程，之前已有大量的文章進行了分析與總結，求軌跡方程的方法一般可分為直譯法、定義法、相關點法、參數法、交軌法等，不同的方法適用不同的題型，但值得指出的是參數法有其特殊的優越性，在高考中相關點法的應用比較頻繁，但相關點發必須要找到所求點與相關點的代數關系，這需要學生有很強的數學能力，殊不知相關點法的題往往可用參數法來完成，從這個意義上說參數法應用更廣泛.

在江蘇省，參數法的學習是在選修4—4中，屬于理科生的選學部分，對于文科生就失去了這一機會，因此在高考中文科生做法較為單一，失分情況也較多，適當普及參數法，在求軌跡方程時有一定的積極意義.

二、例題剖析

題1? 已知在平面直角坐標系中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點為，右頂點為，設.

1. 求該橢圓的標準方程
2. 若P是橢圓上的動點，求線段PA中點M的軌跡方程

解（1）因為，所以，所以橢圓方程為.

（2）法一：設M點坐標為.

M為PA的中點，A點坐標為.

P點坐標為.

由于P點在橢圓上，將點P坐標代入橢圓方程得.

此方程即為點M的軌跡方程.

法二：

橢圓的參數方程為.endprint

設，則.

消去參數可得：.

法一為相關點法，在這題中點M之所以有軌跡產生，實質是由于點P是有軌跡的，利用相關點P的軌跡，依托M與P的關系，帶出點M的軌跡方程.

法二則為參數方程法，設橢圓離心角為參加，建立起所求點分別與參數的關系進而得到所求點兩坐標之間的關系，消參成為關鍵的一步.

在本題中兩種方法似乎看不出優越性，不妨再看題2.

題2?? 已知拋物線，A、B為拋物線上兩點，且OAOB，求AB中點M的軌跡方程.

分析：此題用相關點法做的困難在于很難用點A與點B的坐標來表示點M的坐標，這樣也就很難利用相關點A和點B 的軌跡來求出點M的軌跡方程。下面用參數方程來解決.

設，顯然OA與OB斜率都存在，不妨設直線OA的斜率為，則OB的斜率為，故直線OA方程為，代入拋物線方程得，得到：.

同理可得：，從而有，消參可得：.endprint

此題明顯用參數方程較為簡單，但是參數的選取是一個難點，對于參數的選取標準為所有條件都能用同一個參數表示，在這一題中抓住垂直關系，故所取參數為直線的斜率.

在《數學通訊》中曾有一文用幾何法來證明直線過定點，下面利用參數方程法來證明此結論.

由于，.

所以，又直線AB過點.

所以直線AB的方程為：.

整理得：.

由得任意性得：.當或時，AB軸.則直線OA：;直線OB：.代入拋物線，得.故.從而直線AB方程為，同樣過點.endprint

綜上直線AB過定點.利用參數法還可以得到另外兩個結論。結論1：.結論2：.

下面利用剛才通過參數方程得到的結論做一個簡單的應用.

三、應用??

設點A和點B為拋物線上任意一點，且，，求點M的軌跡方程.

解：設AB與軸交點為N，則，易知點M位于以ON為直徑的圓周上，故點M的軌跡方程為.

有時我們不見得會記得AB過定點這樣一個結論，在這樣的情況下，同樣可以仿照前面設直線AB斜率為為參數，得到，.

則點M位于以OB為直徑的圓上，圓心為，半徑.

所以圓方程為：.

整理得*.endprint

又因為，所以，可得代入*得

，整理得.

即，此為點M的軌跡方程.

四、簡析

軌跡方程是指求動點坐標之間的等量關系，由于某些問題中之間的等量關系比較難以直接發現，所以就出現了參數法求軌跡方程，也就是分別尋找與另外一個變量t之間的關系，即，再消去t就得到之間的軌跡方程，其間有幾個問題需要注意：

（1）參數法是求軌跡方程的重要方法，其關鍵在于選擇恰當的參數，一般來說，選參數的原則是：動點的變化隨參數的變化而變化，即參數要能反映動點的變化特征;參數要與題設的已知量有著密切的聯系

（2）注意參數t的取值范圍。由于有些曲線的方程中有一定的取值范圍，所以在設

參數時要特別注意參變量的取值范圍.

（3）求軌跡方程最后都要將參數方程化為普通方程，所以掌握適當的消參技巧也是必須

要突破的一個難點.

參數方法最大的優點是設立較少的參變量就可得到點坐標之間的關系。高考中很多題目如果選擇參數恰當的話，只要用一個參數便可，而如果選用其他方法則要引入多個變量，其運算與解題思路對學生來說是一個巨大的挑戰，這也從另一面體現了參數法的優點.

參考文獻：

[1] 謝豐牧.淺議軌跡及參數法求軌跡方程[J].科教導刊，2011（15）

[2] 楊躍.軌跡方程的幾種常用求法[J].讀與算，2012（1）

[3] 馮作維.軌跡問題方法談[J].理科考試研究（高中），2012（3）endprint