多元統(tǒng)計(jì)分析在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用

【摘 要】多元統(tǒng)計(jì)分析方法在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用越來越廣泛，本文闡述了多元統(tǒng)計(jì)中的聚類分析、主成分分析和回歸分析方法在數(shù)學(xué)建模競賽中的應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】聚類分析 主成分分析 回歸分析 多元統(tǒng)計(jì)分析

【中圖分類號】G642 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】1674-4810（2015）01-0031-02

所謂數(shù)學(xué)建模，是指現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際問題用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來，得到數(shù)學(xué)建模，然后求解，以此解決現(xiàn)實(shí)問題的數(shù)學(xué)知識應(yīng)用過程。全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽創(chuàng)辦于1992年，每年一屆，目前已成為全國高校規(guī)模最大的基礎(chǔ)性學(xué)科競賽，也是世界上規(guī)模最大的數(shù)學(xué)建模競賽。隨著競賽的推廣，數(shù)學(xué)建模被越來越多的教師與學(xué)生所熟悉。

多元統(tǒng)計(jì)分析方法是處理多維數(shù)據(jù)不可缺少的工具，并日益顯示出其魅力。縱觀近幾年的數(shù)學(xué)建模競賽試題，每年都有大數(shù)據(jù)試題出現(xiàn)，要解決這些大數(shù)據(jù)問題，多元統(tǒng)計(jì)分析方法是必不可少的工具。

本文選擇了在建模試題中常用到的聚類分析、主成分分析和回歸分析，針對每種方法，詳細(xì)說明了其在具體競賽題中的應(yīng)用。

一 聚類分析在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用

以葡萄酒評價(jià)問題（2012高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽A題第2問）為例，葡萄酒的感官質(zhì)量是評價(jià)葡萄酒質(zhì)量優(yōu)劣的重要標(biāo)志。確定葡萄酒質(zhì)量時(shí)一般是通過聘請一批有資質(zhì)的評酒員進(jìn)行品評。每個(gè)評酒員在對葡萄酒進(jìn)行品嘗后對其分類指標(biāo)打分，然后求和得到其總分，從而確定葡萄酒的質(zhì)量。釀酒葡萄的好壞與所釀葡萄酒的質(zhì)量有直接的關(guān)系，葡萄酒和釀酒葡萄檢測的理化指標(biāo)會在一定程度上反映葡萄酒和葡萄的質(zhì)量，可輔助感官檢查。根據(jù)某一年份一些葡萄酒的評價(jià)結(jié)果和該年份這些葡萄酒與釀酒葡萄的成分?jǐn)?shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型，根據(jù)釀酒葡萄的理化指標(biāo)和葡萄酒的質(zhì)量對這些釀酒葡萄進(jìn)行分級。

本題要求對釀酒葡萄進(jìn)行分級，釀酒葡萄的成分直接影響著葡萄酒的質(zhì)量，選取優(yōu)質(zhì)營養(yǎng)成分高的葡萄釀酒，保證了葡萄酒的營養(yǎng)價(jià)值和保健價(jià)值。但是葡萄酒質(zhì)量的優(yōu)劣，不單從營養(yǎng)成分和養(yǎng)生價(jià)值上考慮，一瓶優(yōu)質(zhì)的葡萄酒，還要具備可觀賞性、純正的口感、芬芳的酒香等優(yōu)點(diǎn)，而這些優(yōu)點(diǎn)，都是由評酒員來給出評價(jià)。

對釀酒葡萄進(jìn)行分級，不單從葡萄的成分上考慮，還要結(jié)合最終釀成的葡萄酒質(zhì)量綜合考慮。因此將釀酒葡萄的各成分與評價(jià)員給予所釀成的葡萄酒的質(zhì)量打分綜合起來進(jìn)行聚類分析，將釀酒葡萄依據(jù)綜合指數(shù)進(jìn)行分類，結(jié)合聚類分析的結(jié)果以及綜合指標(biāo)的分?jǐn)?shù)將葡萄劃分等級。

在進(jìn)行聚類分析之前，需要對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)先處理：用釀酒葡萄各項(xiàng)理化指標(biāo)（多次測試后取平均值）以及酒樣的綜合指標(biāo)形成一個(gè)31列28行的原始資料陣，并將數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化。

將附件中的一組評酒員評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，算出各項(xiàng)所占權(quán)重并求和，最終求得10位品酒員對每個(gè)葡萄酒樣品的評價(jià)平均值，作為27種酒樣品的綜合評價(jià)指標(biāo)，并用葡萄酒的綜合指標(biāo)以及釀酒葡萄的理化指標(biāo)形成一個(gè)31列28行的原始資料陣，將其數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化，通過Matlab進(jìn)行聚類分析，得到酒樣品的8個(gè)類別，并列出每個(gè)酒樣品所對應(yīng)的綜合指標(biāo)，得出聚類分析樹狀圖：

不難發(fā)現(xiàn)紅葡萄酒樣品1、10、11、25單獨(dú)化為一類，而不與綜合指標(biāo)相近的酒品類為一組，根據(jù)這4種葡萄酒的理化指標(biāo)以及釀酒葡萄的成分對綜合指標(biāo)相近的組類進(jìn)行分析比較，得出酒品1的花色苷含量高達(dá)408.028mg/100g鮮重，單寧22.019mol/kg，總酚23.604、總黃酮9.480mmol/kg、順式白藜蘆醇3.195mg/kg，均高于第一類酒樣品理化指標(biāo)的數(shù)據(jù)。紅葡萄酒樣品10、11的花色苷含量較低，白藜蘆醇含量較高，樣品25氨基酸含量較低，果穗質(zhì)量含量較高，均與指標(biāo)相近的類別的理化指標(biāo)數(shù)據(jù)有較大差異。根據(jù)資料分析得出，新酒主要以花色苷為主色調(diào)，陳酒中單寧起到主導(dǎo)作用。有單寧存在，花色苷將減少。氨基酸的含量與人體血液中的氨基酸有著密切聯(lián)系，與脯氨酸成負(fù)相關(guān)，但與纈氨酸成正相關(guān)。這些含量的高低會影響葡萄酒的口感、色澤、純正度，從而評酒員對酒的打分存在差異。因此，聚類分析結(jié)果在對各項(xiàng)理化指標(biāo)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理時(shí)，達(dá)不到組間距離。

結(jié)合綜合指標(biāo)的高低和聚類分析的結(jié)果，以及每一種釀酒葡萄所對應(yīng)的紅葡萄酒樣品，將釀酒葡萄分為A、B、C、D，四個(gè)等級分別代表優(yōu)質(zhì)、良好、中等、差。

二 主成分分析在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用

以水資源短缺風(fēng)險(xiǎn)綜合評價(jià)（2011年數(shù)學(xué)建模夏令營B題第1問）為例，如何對水資源風(fēng)險(xiǎn)的主要因子進(jìn)行識別，對風(fēng)險(xiǎn)造成的危害等級進(jìn)行劃分，對不同風(fēng)險(xiǎn)因子采取相應(yīng)的有效措施規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)或減少其造成的危害，這對社會經(jīng)濟(jì)的穩(wěn)定、可持續(xù)發(fā)展戰(zhàn)略的實(shí)施具有重要的意義。

《北京統(tǒng)計(jì)年鑒（2009）》及市政統(tǒng)計(jì)資料提供了北京市水資源的有關(guān)信息。利用這些資料和自己獲得的其他資料，評價(jià)判定北京市水資源短缺風(fēng)險(xiǎn)的主要風(fēng)險(xiǎn)因子是什么。影響水資源的因素有很多，例如：氣候條件、水利工程設(shè)施、工業(yè)污染、農(nóng)業(yè)用水、管理制度、人口規(guī)模等。

為了尋找影響北京水資源嚴(yán)重短缺的主要風(fēng)險(xiǎn)因子，考慮了降水量、園林綠化覆蓋率、人均GDP、人口規(guī)模、污水處理率、工業(yè)用水、農(nóng)業(yè)用水、第三產(chǎn)業(yè)及其他用水、全年供水總量、全年水資源總量等10個(gè)影響因素。通過對1979～2009年各個(gè)因素?cái)?shù)據(jù)的分析，利用降維的思想，采用主成分分析法確定影響北京水資源嚴(yán)重短缺的主要風(fēng)險(xiǎn)因子。

將以上10個(gè)影響因素的數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化后得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行主成分計(jì)算，通過求累計(jì)貢獻(xiàn)率來判斷取2個(gè)主成分。主因子載荷矩陣（正交旋轉(zhuǎn)后）見下表：

由正交旋轉(zhuǎn)后的主因子載荷矩陣可知：

主成分1中各因子載荷值，絕對值比較大的是人口規(guī)模、人均GDP、園林綠化覆蓋率、污水處理率，分別為0.98252、0.9608、0.94997、0.93986；主成分2中各因子載荷值，絕對值比較大的是降水率、水資源總量，分別為0.83617、0.73066。

根據(jù)以上分析可知：在水資源短缺風(fēng)險(xiǎn)中載荷較大的指標(biāo)為人口規(guī)模、人均GDP、園林綠化覆蓋率、污水處理率、降水率、水資源總量。

三 回歸分析在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用

以上海世博會經(jīng)濟(jì)綜合評估（2010年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽B題）為例，2010年上海世博會是首次由中國舉辦的世界博覽會。從1851年倫敦的“萬國工業(yè)博覽會”開始，至今已開展了四十屆，第四十一屆在上海舉行。上海世博會的申辦成功，昭示著我國綜合國力和國際影響力的逐日提升，大國崛起的步伐正在穩(wěn)步邁出。上海世博會是我國向全世界展現(xiàn)自己、介紹自己的平臺；是與世界各國交流、合作的媒介，上海世博會能給我國帶來巨大的政治、經(jīng)濟(jì)和文化效益。

請你們根據(jù)自己的興趣愛好選擇某個(gè)側(cè)面，收集諸如世界各國舉辦世博會以及世博會產(chǎn)生影響等相關(guān)數(shù)據(jù)建立數(shù)學(xué)模型，利用所得數(shù)據(jù)，對2010年上海世博會的影響力進(jìn)行定量評估，得出準(zhǔn)確有說服力的結(jié)論。

本題可以根據(jù)世博會參觀人數(shù)，定量評估上海世博會對經(jīng)濟(jì)方面的短期影響力。采集世博會2010年5月1日～2010年9月9日每日參觀人數(shù)，定量評估上海世博會對經(jīng)濟(jì)方面的短期影響力。為了統(tǒng)一變量，我們首先將每日參觀人數(shù)進(jìn)行累加，建立相關(guān)預(yù)測模型，可計(jì)算出5月到9月的月參觀人數(shù)，再根據(jù)月參觀人數(shù)建立按月參觀人數(shù)變化的模型。

研究表明：世博會參觀者分布有其內(nèi)在不均衡性，如階段性持續(xù)遞增、鋸齒性曲線、不確定性、工作日和節(jié)假日分布差異等；世博會辦展質(zhì)量和吸引力是影響參觀者人數(shù)和分布的最主要因素；影響參觀者人數(shù)的外生變量，具有疊加和共振效應(yīng)，因而形成參觀者高峰日或低谷日。從前一屆世博會展期階段S、日程D、節(jié)假日H、L長假效應(yīng)（3天以上，含3天）、T氣溫和W氣候進(jìn)行分析得出：展期階段S和節(jié)假日H是影響世博會的最大因素，其余因素可忽略。因此建立如下模型：N= S+ H+C。

上海世博會至競賽日已經(jīng)進(jìn)行了4個(gè)多月，利用互聯(lián)網(wǎng)查到5月份和8月份每天的參觀人數(shù)數(shù)據(jù)，5月份和8月份分別為世博會第一階段和第二階段，即S分別為1和2。5月份和8月份的節(jié)假日H很容易查到。再由表中人數(shù)數(shù)據(jù)N，利用Matlab做多元線性回歸分析，得到：N=48462S+129610H+2.67330。

根據(jù)模型解出上海世博會9月之后的參觀人數(shù)N1=2802.7（萬），從而可以預(yù)測出上海世博會最終的參觀人數(shù)大約是N=N0+N1=7491.4（萬）。

利用Matlab作殘差分析圖，由殘差圖看出，只有28個(gè)點(diǎn)處出現(xiàn)異常點(diǎn)，其他數(shù)據(jù)的殘差離零點(diǎn)較近，且殘差的置信區(qū)間皆包含零點(diǎn)，故此模型得到的數(shù)據(jù)與所給數(shù)據(jù)較吻合，所以此模型較為合理。通過模型計(jì)算出的上海世博會總參觀人數(shù)的預(yù)測值與官方統(tǒng)計(jì)預(yù)測的7000萬人次接近，故此模型建立較為合理。

四 結(jié)束語

由此可見，多元統(tǒng)計(jì)分析方法是處理多維數(shù)據(jù)不可缺少的重要工具。近幾年數(shù)學(xué)建模競賽題目大多涉及大量數(shù)據(jù)，多元統(tǒng)計(jì)分析提供了多種處理同一數(shù)據(jù)的方法，成為解決數(shù)學(xué)建模中實(shí)際問題必不可少的重要方法。

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〔責(zé)任編輯：龐遠(yuǎn)燕〕