淺析多進制小波及其應用

董健衛 陳艷美

（1.廣東藥學院數學系，廣東 廣州510006；2.廣東技術師范學院計算機科學學院，廣東 廣州510665）

0 引言

小波分析由于其良好的時頻局部性能而成為有力的信號處理分析工具，它對信號用一組不同尺度的帶通濾波器進行濾波，將信號分解到不同的頻帶上進行分析處理。圖像信息可以看作是一類復雜的非線性非平穩的信號源，所以小波變換在圖像處理和模式識別中有著廣泛的應用。多進制小波是小波分析理論的一個重要分支,它在兼顧對稱性、光滑性、正交性和緊支性方面均優于二進制小波,能夠解決一些二進制小波難以解決的問題，因而得到廣泛的重視和研究。與二進制小波變換相比，M進制小波變換對信號頻帶的劃分更細致、更簡捷，比如對一幅圖像，只需分解一次就可得到M×M幅小波子圖像，而且各小波子圖像大小相同，非常便于各通道紋理特征的提取；而二進制小波經過M次變換才能得到3M+1幅小波子圖像，并且由于各小波子圖像大小不一致，在提取各頻帶紋理特征前，要采用插值的方法使圖像大小一致，增加了計算量和處理時間。因此，多進制小波在圖像處理及模式識別中會有更大的應用前景。

1 多進制小波分析

1.1 多進制小波的多分辨率分析

設M≥2為正整數,當L2（R）中存在閉子空間，滿足下列條件時：

（1）單調性：Vj?Vj－1

（3）伸縮性：u（x）∈Vj?u（Mx）∈Vj－1，?j∈Z

（4）Riesz基：存在g∈V0，使得{g（x－k）｜k∈Z}，構成V0的Riesz基，即對任何u∈V0，存在唯一序列{ak}∈l2，使反之，任何序列{ak}∈l2確定一函數u∈V0，且存在常數A，B，使得0＜A＜B且則稱{Vj}j∈Z為一個M進制的多尺度分析。

事實上，Vj由{Mj/2φ（Mjx－k）｜k∈Z}生成，Wj由{Mj/2ψs（Mjx－k）｜1≤s≤M-1，k∈Z}生成，其中，φ（x）為尺度函數，{ψs（x），1≤s≤M-1}為基本小波函數，當M=2時，基本小波函數僅有一個，它可以由φ（x）明確地表示，但當Mffgt;2時，基本小波函數有M-1個，不能用φ（x）簡單表示。從多尺度分析的定義知道尺度函數滿足一個尺度方程：

定義尺度方程的共軛濾波器為：

與二進制小波的雙尺度方程對應，多進制小波有細分方程。

設M為不小于2的正整數，當一個緩增分布f滿足

時，則稱f為細分分布，而上式(6)稱為細分方程[2]。

1.2 二維圖像的多進制小波分解和重構

二維圖像為一有限能量函數f（x，y）∈L2（R2），利用一維小波，可以構造二維張量積小波。可以證明，若φ（x）生成一L2（R）上的多分辨率分析，則φ（x，y）＝φ（x）φ（y）生成一L2（R2）上的多分辨率分析，此時有M2－1個小波函數ψs1，s2，即

類似一維情形，若f在Vj＋1中的投影fj＋1有表達式

2 八進制小波分解

八進制小波分解是標準的二進制小波分解的自然延伸，而它比之二進制小波分解的優點在于：八進制小波分解能把圖像信息分解到更多頻道上，從而可對圖像進行更細節的信息分析。鑒于八進制小波的這種特性能夠很好的適應紋理信息多頻道分布的特點，已在圖像處理和模式識別中有著廣泛的應用。如果使用八進制小波變換作為濾波器，那么一維的八進制小波變換是由1個低通濾波器和7個高通濾波器組成的濾波器組。因此，當一個一維信號經八進制小波變換后，得到1個模糊信號（低頻信號）和7個細節信號（高頻信號）。將一維的八進制小波變換推廣到二維的八進制小波變換，則變換所需的濾波器就由1個低通濾波器和63個高通濾波器組成的濾波器組。于是對于一幅圖像，經濾波后得到1幅原圖像的模糊像和63幅細節圖像。下面是本文在做八進制小波分解中所用的八進制Haar小波面具（如表1），以及八進制小波分解圖像示例（如圖1）。

表1 八進制Haar小波面具

圖1 圖像的八進制小波分解

對圖像進行二維八進制小波分解，產生64個子帶（子圖像），每個子帶（子圖像）如圖2所示，其中，L表示低頻，Hi（1≤i≤7）表示不同方向上的高頻。

圖2 圖像八進制小波分解示意圖

3 在圖像處理中的應用

3.1 在圖像變焦技術中的應用

在圖像變焦技術中，多進制小波變換可用于放大或者縮小圖像，在文獻[3]中基于多進制小波變換研究了圖像縮小問題。基本思想就是對原圖像做多進制小波分解，取其低頻部分作為縮小M倍的圖像。其優點就是可以直接得到任意整數倍數的縮小圖像,且只需在原來的圖像上一次完成。

3.2 在醫學圖像檢索中的應用

在醫學圖像檢索中，多進制小波也有很大的應用，在文獻[4]中就提出一種基于M進制小波變換的紋理特征圖像檢索算法，利用M進制小波變換運算效率高、占用內存小、易于硬件實現等特點，直接在M進制小波變換域提取多通道紋理特征,實現了圖像的快速檢索，得到了很好的應用。

3.3 在紋理圖像分割中的應用

多進制小波具有更多的分頻段特征，其優點是將一個信號的高頻分量縮小到窄的帶寬，同時比二進制小波變換更好的能量緊湊性，已有的研究結果[5－6]說明，紋理重要的信息都集中在中、高頻子帶，所以多進制小波的多頻段特征正好適合紋理分析。鑒于此，利用多進制小波變換對紋理圖像進行分解和特征提取，然后利用C－均值聚類方法[7]進行紋理分割，已經取得了很好的結果[8]。

多進制小波在圖像處理和分析中已有的應用還包括圖像壓縮、邊緣檢測、圖像融合、圖像分類等。

4 結束語

多進制小波是近幾年剛剛發展起來的小波分析理論的一個新的組成部分,它提供了更大的小波選擇范圍,并找到了具有更好性質的小波函數,而這些性質是二進制小波所不具備的。另外，它的多頻段特征非常適合紋理分析，因此多進制小波將會在圖像處理以及模式識別中有更大的應用。我們將多進制小波已成功應用于人臉識別等模式識別領域，其結果將另文發表。

［1］Stéphane Mallat.信 號 處 理 的 小 波 導 引[M].楊 力 華,等,譯.機 械 工 業 出 版 社,2002

［2］黃達人,畢寧,孫頎彧.多進制小波分析[M].浙江大學出版社,2001.

［3］楊曉梅.多進制小波變換及其在影像分析中的應用[J].中國圖象圖形學報,1999,4(2)：157-160.

［4］王立恒,楊燕,廖亞麗,等.基于移動Agent技術的醫學圖像檢索方法[J].武漢大學學報：理學版,2004,50(5)：624-628.

［5］User M.Texture Classification and Segmentation Using Wavelet Frames[J].IEEE Trans on Image Processing,1995,4(11)：1549-1560.

［6］Randen T,Husφy JH.Filtering for Texture Classification：A Comparative Study[J].IEEE Trans on Pattern Analysis and Machine Intelligence,1999,21(4)：290-310.

［7］Anderberg M R.Cluster Analysis for Applications[M].New York：Academic Press,1973.

［8］李鋒,黃達人,畢寧,等.基于多進制小波變換的紋理圖像分割[J].模式識別與人工智能,2004,17(3)：286-290.